基于力學(xué)矢量加法的二維PAR過程及其實(shí)證研究

張 昴

(中國政法大學(xué)商學(xué)院，北京 102200)

金融時(shí)間序列分析在探索經(jīng)濟(jì)規(guī)律中發(fā)揮著越來越重要的作用。ARMA過程作為經(jīng)典的時(shí)間序列分析方法較好地反映了時(shí)間序列的線性特征。然而現(xiàn)實(shí)中許多時(shí)間序列往往隱含有高度的非線性特征，它們的變化受到許多復(fù)雜因素的綜合作用，這正是ARMA過程在實(shí)際應(yīng)用中真正需要解決的問題。

目前，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)已構(gòu)建了一系列非線性計(jì)量模型。Granger和 Anderson［1］提出了雙線性時(shí)間序列模型，給出了耦合的交叉項(xiàng)，邁出了非線性計(jì)量的重要一步。Granger［2］在研究ARMA模型時(shí)提出分?jǐn)?shù)階的差分，對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列自相關(guān)問題進(jìn)行處理，得到了較好的效果。Haggan和Ozalci［3］突破傳統(tǒng)建模的正態(tài)分布假定提出了指數(shù)自回歸(EXPAR)模型，為非線性計(jì)量分析提供了一個(gè)新方向。Chen和 Tsay［4］提出了變系數(shù)自回歸(FAR)模型，其泛化能力較強(qiáng)，較好地刻畫了時(shí)間序列的演變規(guī)律。人們也嘗試用幾何分形理論對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行研究，Edgar E.Peters［5］將分形幾何學(xué)理論引入資本市場(chǎng)的分析，為此后分形幾何學(xué)和混沌動(dòng)力學(xué)的迅速發(fā)展作了重要鋪墊。20世紀(jì)，憑借軟計(jì)算方法對(duì)不確定、不精確問題的較好適應(yīng)性，學(xué)術(shù)界掀起了一股軟計(jì)算方法研究的潮流。Lapedes和Farbar［6］開創(chuàng)性地運(yùn)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行分析建模，較好地刻畫了股票價(jià)格的復(fù)雜性、耦合性。近年來，人們不斷嘗試多種軟計(jì)算方法的組合預(yù)測(cè)。Li C和Cheng H H［7］提出PSO-RLSE與模糊控制論相結(jié)合的軟算法，對(duì)SP500序列進(jìn)行分析，從而證明其提出的混合計(jì)算方法的優(yōu)越性。張旭東等［8］將小波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合對(duì)深證300成分指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。Lahmiri S［9］創(chuàng)新性地采用離散小波技術(shù)和支持向量機(jī)對(duì)SP500股票價(jià)格變動(dòng)方向進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到了較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

復(fù)雜系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為當(dāng)今學(xué)術(shù)趨勢(shì)，尤其是交叉學(xué)科的研究思路和方法已經(jīng)漸漸得到廣泛的應(yīng)用。閆妍等［10］介紹了交叉相關(guān)矩陣、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等統(tǒng)計(jì)物理方法在全球股市價(jià)格波動(dòng)上的應(yīng)用。借鑒物理中關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的研究思路和方法，本文以經(jīng)典物理學(xué)矢量的非線性加法為依托解讀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的非線性，創(chuàng)建二維矢量形式的AR過程(phasor auto regressive model，PAR)，并對(duì)其進(jìn)行實(shí)證研究。

1 PAR過程的構(gòu)建

1.1 傳統(tǒng)AR過程的不足以及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的非線性根源

時(shí)間序列分析中常用的AR過程的一般形式為rt－ φ1rt－1－ …－ φprt－p=et，這是一個(gè)線性加法形式的方程。然而現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的許多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)通常既存在線性特征又存在非線性特征。以股票收益率序列為例，對(duì)其直接建立的線性AR過程并不能捕捉非線性部分的信息，此時(shí)模型的估計(jì)是有偏的，因此必然會(huì)帶來有效信息的損失。

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的非線性根源是各種因素綜合作用于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。本文用經(jīng)典物理學(xué)的力學(xué)理論來闡述經(jīng)濟(jì)指標(biāo)受到的諸多因素:一個(gè)方向上的力對(duì)應(yīng)一種作用因素，一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)指標(biāo)的實(shí)現(xiàn)受到了多種大小和不同方向力的作用。這是對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中經(jīng)濟(jì)指標(biāo)非線性根源的力學(xué)解讀。經(jīng)典物理學(xué)中力是按照矢量加法的平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算的，受力作用的物理指標(biāo)同樣要按照矢量法則進(jìn)行運(yùn)算。物理上的矢量法則的數(shù)學(xué)特征形式表現(xiàn)為不是按照線性疊加原理進(jìn)行的，即 f(aφ+bψ)≠af(φ)+bf(ψ)。受多種因素綜合作用的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，經(jīng)濟(jì)指標(biāo)呈現(xiàn)不按正比例變化的特征，因此經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的加法就不是線性法則，同樣要按照矢量法則進(jìn)行運(yùn)算。

1.2 非線性的矢量加法法則

平行四邊形OA1A3A2中，矢量加法的平行四邊形法則為OA3=OA1+OA2，如圖1所示。

圖1 矢量的平行四邊形加法法則

可以看出兩個(gè)指標(biāo)的矢量和OA3落在以O(shè)A1與為OA2為鄰邊的平行四邊形OA1A3A2的對(duì)角線上，它由大小和方向兩個(gè)要素唯一確定。注意到，OA3的大小并不等于OA1和OA2的大小直接相加的結(jié)果，即這是一種非線性的加法，OA3會(huì)根據(jù)OA1，OA2的大小和方向做出適應(yīng)性調(diào)整，這樣矢量的加法就可以適應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形態(tài)，進(jìn)而捕捉到數(shù)據(jù)內(nèi)部的非線性特征。

1.3 經(jīng)濟(jì)學(xué)用矢量做非線性加法的重要意義

在矢量分析中經(jīng)濟(jì)指標(biāo)OAi(i=1，2，3)有大小和方向兩個(gè)維度，這樣就能更好地體現(xiàn)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)大小的不確定性和方向的復(fù)雜性。二維視角下第t期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)OAt可以看作是第t－1期經(jīng)濟(jì)指標(biāo) OAt－1、第 t－2 期經(jīng)濟(jì)指標(biāo) OAt－2，…，第 t－p 期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)OAt－p的矢量組合，而不是傳統(tǒng)的線性加法組合(φ1rt－1+… + φprt－p)。從經(jīng)典物理學(xué)中力學(xué)矢量合成的角度來看，第t期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在多種因素作用下的實(shí)現(xiàn)可以看作是 OAt－1，OAt－2，…，OAt－p對(duì)應(yīng)因素的實(shí)現(xiàn)。由于 OAt會(huì)根據(jù) OAt－1，OAt－2，…，OAt－p的大小和方向做出適應(yīng)性調(diào)整，這樣指標(biāo)加法法則就可以捕捉到經(jīng)濟(jì)序列的非線性特征。

1.4 PAR過程及其圖解

基于將矢量加法法則應(yīng)用于非線性過程的合理性，本文把影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)rt的各種因素對(duì)應(yīng)于物理學(xué)上不同大小、不同方向的力，把受多種作用力影響的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在二維平面上進(jìn)行矢量疊加，進(jìn)而提出同時(shí)具有大小和方向的二維矢量形式AR 過程:rt－ φ1rt－1－ …－ φprt－p=et。矢量方程等號(hào)兩邊矢量大小一致，方向相同。如圖2所示，其中ORt是有大小和方向的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)序列，ON是服從二維正態(tài)分布的白噪聲。二維白噪聲豐富地再現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的噪聲信息沖擊，凸顯了經(jīng)濟(jì)指標(biāo)波動(dòng)的復(fù)雜性。

圖2 PAR過程圖解

PAR 過程 rt－φ1rt－1－…－φprt－p=et是一個(gè)矢量方程，它表明第t期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)rt可以看作是第t－1 期經(jīng)濟(jì)指標(biāo) rt－1，第 t－2 期經(jīng)濟(jì)指標(biāo) rt－2，…，第t－p期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)rt－p的矢量組合。rt的大小和方向根據(jù)此矢量組合進(jìn)行適應(yīng)性調(diào)整。

經(jīng)典物理學(xué)上對(duì)矢量過程分析的方法是正交分解變換。正交分解變換的一般步驟:首先按照力學(xué)上化曲為直的等效替代思想，對(duì)多因素、多作用力的非線性運(yùn)動(dòng)做正交化分解;然后計(jì)算水平方向、豎直方向正交分量的線性運(yùn)動(dòng);最后再根據(jù)矢量加法法則合成曲線運(yùn)動(dòng)。

2 PAR過程在二維平面的運(yùn)算

2.1 PAR過程的坐標(biāo)方程

為了平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)算方便，把指標(biāo)數(shù)據(jù)映射到［0，1］區(qū)間內(nèi)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。同時(shí)為了確定指標(biāo)rt在二維平面中的方向，將指標(biāo)rt按照大小沿ORt方向從最低點(diǎn)O出發(fā)畫在直徑d為1的圓中，對(duì)應(yīng)得出唯一的矢量ORt(正值數(shù)據(jù)刻畫在第1象限和負(fù)值數(shù)據(jù)刻畫在第3象限)。當(dāng)然，也可以把經(jīng)濟(jì)指標(biāo)畫在橢圓或者其他平面幾何中，選擇圓作為分析框架是因?yàn)閳A具有更好的中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱性，并且在圓中坐標(biāo)的表示及三角函數(shù)運(yùn)算比較簡單。

需要指出的是當(dāng)且僅當(dāng)在45°角的情況下，作用力的水平分量和豎直分量才會(huì)相等，此時(shí)作用力在兩個(gè)正交方向才能同時(shí)有效地發(fā)揮作用，這是力作用效果最大化的體現(xiàn)，也是作用效果的極大值點(diǎn)。于是序列中的最大數(shù)據(jù)rmax在圓中應(yīng)該映射為

由于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)序列的最小值不能標(biāo)準(zhǔn)化為0(此時(shí)沒有力的作用)，因此采用正比例形式的最大值標(biāo)準(zhǔn)化方法。此時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化公式為基于此下面推導(dǎo)將指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化到區(qū)間后的二維坐標(biāo)形式。

在圓里面，取直徑OO'為1，記任意一條弦OR的弦切角(與水平線正方向的夾角)為α，如圖3所示。

圖3 經(jīng)濟(jì)指標(biāo)rt的二維正交分解

根據(jù)弦切角定理，在圓上弦所對(duì)的圓周角等于弦切角，于是有∠OO'R=α。在直角△OO'R中，OO'=1，進(jìn)而得出通過上述推導(dǎo)得出如下結(jié)論:在直徑為1的圓中任意圓周角α對(duì)應(yīng)弦的弦長為sinα。此時(shí)R點(diǎn)在水平方向、豎直方向的正投影分別為sinαcosα，sinαsinα，于是 R點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(sinαcosα，sinαsinα)［11］。因－π/2＜α＜π/2，而負(fù)值數(shù)據(jù)刻畫在第3象限，其坐標(biāo)仍然表示為(sinαcosα，－sinαsinα)。為了統(tǒng)一，本文采用，這樣坐標(biāo)在兩個(gè)象限的表示是一致的。

反過來對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化后的時(shí)間序列{rt}，相當(dāng)于已知弦 OR的弦長為rt，求其弦切角為αt=arcsinrt，再用αt表示R點(diǎn)坐標(biāo)。以標(biāo)準(zhǔn)化后的股票收益率序列{rt}為例，平面直角坐標(biāo)系中，ORt是第t個(gè)交易日的股票收益率，大小為rt，對(duì)應(yīng)的弦切角為αt=arcsinrt，坐標(biāo)形式為(sinαtcosαt，

把標(biāo)準(zhǔn)化收益率序列{rt}中數(shù)據(jù)都在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行正交分解，就得到了二維形式的矢量收益率序列(xt，yt)，標(biāo)準(zhǔn)化收益率和二維形式的收益率序列(xt，yt)的關(guān)系為

這樣PAR過程在二維平面就可以表示為:

2.2 PAR方程的系數(shù)計(jì)算辦法

本文采用離差平方和的最小二乘法方法做PAR回歸方程的系數(shù)估計(jì)。

實(shí)際測(cè)量值rt與回歸值之間存在著偏差，稱為殘差，記作 ei(i=1，2，3，…，n)。PAR 回歸方程的殘差由兩個(gè)分量序列的殘差構(gòu)成:

相應(yīng)的二維形式PAR回歸方程的殘差平方和為

最小二乘法就是尋找系數(shù)φ1，…，φp的最佳估計(jì)值，使得離差平方和最小。由于Q是關(guān)于的二次函數(shù)，微積分學(xué)上二次函數(shù)的極小值總是存在的，因此根據(jù)微積分中求函數(shù)極值的原理，使Q對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)值為0時(shí)離差平方和Q即可達(dá)到最小。于是有:

線性方程組的解是唯一存在的，把兩個(gè)分量序列數(shù)據(jù)帶入上面的線性方程組，在Excel中進(jìn)行運(yùn)算，即可求得PAR過程滯后p階的各項(xiàng)系數(shù)。

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

為了證明PAR過程在刻畫時(shí)間序列非線性特征的有效性和精確性，本研究選取比較成熟的美國股票市場(chǎng)指數(shù)SP500每交易日的股票收盤價(jià)格序列{pn}進(jìn)行分析。價(jià)格序列的時(shí)間段為2010年10月1日至2015年2月17日，利用公式rn=lnpn－lnpn－1計(jì)算得出1 100個(gè)對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)。選用前1 000個(gè)樣本數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后100個(gè)樣本數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證集。數(shù)據(jù)來源于Yahoo Finance，利用Eviews8.0和Excel2010對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和分析。

基于圓中45°弦對(duì)應(yīng)序列中最大數(shù)據(jù)的特性，我們將收益率序列映射到區(qū)間內(nèi)。設(shè)時(shí)間序列{rn}中的最大值為rmax，則歸一化后的數(shù)據(jù)對(duì)r'正交分解得到矢量收益率的兩個(gè)分量序列{rx}和{ry}。

接下來本文對(duì)時(shí)間序列{rn}，{rx}和{ry}進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。

3.2 收益率序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)收益率序列{rn}以及矢量收益率序列兩個(gè)正交維度分量序列{rx}和{ry}的平穩(wěn)性，使用帶截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的ADF單位根檢驗(yàn)對(duì)3個(gè)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 3個(gè)序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

從表1可以看出，3個(gè)序列ADF檢驗(yàn)的p值在5%的臨界水平下均顯著，因此收益率序列均通過ADF檢驗(yàn)，此時(shí)應(yīng)當(dāng)拒絕序列不平穩(wěn)的假設(shè)，認(rèn)為3個(gè)序列都是平穩(wěn)的，符合AR過程分析的基本條件。

3.3 收益率傳統(tǒng)AR過程定階及系數(shù)輸出

根據(jù)Box和Jenkins所提出的AR模型建立方案。觀察序列{rn}的偏自相關(guān)函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)該序列在AR(3)和AR(5)顯著。模型相應(yīng)參數(shù)的輸出如表2所示。

表2 {rn}序列AR(3)和AR(5)系數(shù)的t檢驗(yàn)結(jié)果

3.4 收益率PAR過程定階及系數(shù)計(jì)算

PAR過程要求{rx}和{ry}兩個(gè)分量序列建立相同的滯后項(xiàng)及系數(shù)。比較{rx}，{ry}的偏自相關(guān)函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)兩序列在AR(3)和AR(5)兩期滯后項(xiàng)顯著，其相應(yīng)的顯著性t檢驗(yàn)結(jié)果如表3和表4所示。

表3 {rx}序列AR(3)和AR(5)系數(shù)的t檢驗(yàn)結(jié)果

表4 {ry}序列AR(3)和AR(5)系數(shù)的t檢驗(yàn)結(jié)果

因此確立PAR(3)和PAR(5)過程如下:

此模型的坐標(biāo)方程可表示為

下面用最小二乘法求出系數(shù)φ3，φ5的值，此時(shí)PAR回歸方程的離差平方和為

解方程可得PAR過程的系數(shù)。下面給出一步靜態(tài)預(yù)測(cè)示例。用Excel計(jì)算前1 000個(gè)收益率樣本數(shù)據(jù)、求得的AR(3)和AR(5)系數(shù)及其一步收益率(2014年9月24日)預(yù)測(cè)，如表5所示。

表5 前1 000個(gè)樣本數(shù)據(jù)建立的PAR過程及其一步預(yù)測(cè)

3.5 預(yù)測(cè)與評(píng)價(jià)

用最小二乘法對(duì)SP500收益率序列逐步進(jìn)行100步靜態(tài)預(yù)測(cè)進(jìn)而還原價(jià)格序列。本文參照文獻(xiàn)［12］關(guān)于時(shí)間序列預(yù)測(cè)的5個(gè)常用指標(biāo)對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行評(píng)價(jià)。

平均預(yù)測(cè)誤差平方和的平方根(RMSE):

Theil不相等系數(shù)(U):

平均絕對(duì)誤差(MAE):

平均預(yù)測(cè)誤差(MFE):

平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE):

表6 序列{rn}和序列{rn}預(yù)測(cè)的誤差結(jié)果

從預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出:本文提出的收益率序列的PAR過程與收益率序列直接建立的AR過程相比，在對(duì)SP500收益率序列(2010年10月1日至2014年9月23日)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)時(shí)，5種指標(biāo)評(píng)價(jià)誤差均較低，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度相對(duì)較高，優(yōu)勢(shì)明顯。

3.6 結(jié)果分析

對(duì)收益率構(gòu)建的傳統(tǒng)AR過程和PAR過程都建立了AR(3)和AR(5)兩期滯后模型，其中PAR過程的預(yù)測(cè)精度更高。一方面PAR過程把不同大小、不同方向作用力和作用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的各種因素對(duì)應(yīng)起來，用經(jīng)典物理學(xué)的力學(xué)理論展現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)指標(biāo)受到的各種復(fù)雜作用因素，挖掘到了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的非線性根源。另一方面PAR過程對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的非線性矢量加法運(yùn)算和二維平面上有方向的白噪聲信息沖擊豐富地再現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的復(fù)雜性，有力地克服了傳統(tǒng)AR過程不能刻畫經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中由多因素造成的非線性特征的缺陷，較好保留了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的非線性信息，適應(yīng)了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的復(fù)雜性發(fā)展規(guī)律。

4 結(jié)束語

現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的時(shí)間序列由于受到許多復(fù)雜因素的影響和作用往往呈現(xiàn)出一些非線性的特征，所以對(duì)時(shí)間序列建立的傳統(tǒng)線性AR模型就不能捕捉經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的非線性信息。本研究用經(jīng)典物理學(xué)中矢量的加法法則為基礎(chǔ)解讀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的非線性，創(chuàng)立時(shí)間序列的矢量分析法，并與AR過程相結(jié)合，開創(chuàng)二維形式的矢量AR過程。在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)矢量經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行正交化分解得到兩個(gè)正交分量序列{rx}和{ry}，由此給出了PAR過程在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)方程。通過觀察兩個(gè)正交分量序列共同顯著的偏自相關(guān)函數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的二維形式PAR方程，進(jìn)一步用離差平方和的最小二乘法推導(dǎo)出PAR坐標(biāo)方程的系數(shù)。最后，對(duì)SP500收益率序列建模時(shí)PAR過程和傳統(tǒng)AR過程建立的是兩期相同滯后項(xiàng)的模型，對(duì)時(shí)間序列{rn}、{rx}和{ry}進(jìn)行100步靜態(tài)預(yù)測(cè)進(jìn)而還原得到價(jià)格序列，采用 RMSE，U，MAE，MFE，MAPE對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。結(jié)果表明:PAR過程的預(yù)測(cè)精度顯著高于傳統(tǒng)的AR過程，進(jìn)一步論證了PAR過程在詮釋經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)復(fù)雜的非線性特征時(shí)的有效性。

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