旋轉(zhuǎn)狀態(tài)柔性附件航天器振動(dòng)及其變結(jié)構(gòu)控制

倪 博 王 璐

1. 上海精密計(jì)量測(cè)試研究所，上海201109

2. 同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092

中心剛體和柔性附件組成的剛?cè)嵯到y(tǒng)在航空航天工程等先進(jìn)工業(yè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，如衛(wèi)星、太陽能帆板、板形天線、汽車發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和葉片等。主體結(jié)構(gòu)簡化為剛體，而附加結(jié)構(gòu)簡化為柔性附件，即柔性懸臂梁或懸臂板結(jié)構(gòu)。過去對(duì)中心剛體—柔性懸臂梁系統(tǒng)的研究較為廣泛［1-2］，而很少對(duì)中心剛體—柔性懸臂板系統(tǒng)進(jìn)行研究，主要原因是難以進(jìn)行精確的動(dòng)力學(xué)分析。

目前，對(duì)柔性梁板的動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)控制問題國內(nèi)外研究已較成熟［3-4］，而推導(dǎo)系統(tǒng)的剛—柔耦合動(dòng)力學(xué)方程多采用有限元法［5］。采用Hamilton 理論對(duì)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行建模，其動(dòng)力學(xué)方程往往是非線性、時(shí)變和耦合的，很難得到方程的解析解。利用模態(tài)分解法可以使方程得到解耦。過去對(duì)平板彎曲振動(dòng)的頻率求解一直采用梁函數(shù)組合級(jí)數(shù)逼近法，對(duì)于無自由邊界的平板誤差比較小，但是對(duì)于多自由邊界的平板往往誤差較大。采用Hamilton狀態(tài)空間法可以確定平板的頻率色散關(guān)系，能較精確的求解多自由邊的懸臂平板振動(dòng)頻率?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制法在柔性航天器結(jié)構(gòu)的控制上廣泛應(yīng)用［6］，能夠很好的解決非線性系統(tǒng)的控制問題。

本文基于Hamilton 變分原理［7］和Mindlin 厚板理論［8］，建立了中心剛體—柔性板系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。利用模態(tài)分解法，考慮系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的離心力，建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。采用滑模變結(jié)構(gòu)控制法［9-10］，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)模型的控制器。在柔性附件上設(shè)計(jì)控制力抑制其橫向振動(dòng)，給出中心剛體—懸臂厚板位移的動(dòng)力學(xué)控制規(guī)律。

1 帶有柔性附件的航天器模型的動(dòng)力學(xué)方程

1.1 中心剛體—柔性懸臂板系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)模型如圖1 所示。分析時(shí)基于Mindlin 板理論，忽略系統(tǒng)重力的影響。建立固定的慣性坐標(biāo)系OXYZ，連體的本體坐標(biāo)系為oxyz。設(shè)矩形板的長寬分別為a 和2b;板厚為h;板的質(zhì)量密度為ρ;中心剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jh;平板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jp;控制扭矩為Th;控制力的載荷密度為f(x，y，t);中心剛體的半徑為rh;剛體角位移為θ(t);角速度為Ω;板的橫向位移為w(x，y，t)，x∈［0，a］，y∈［－b，b］;t 為時(shí)間。

設(shè)懸臂板中平面內(nèi)任意一點(diǎn)相對(duì)慣性坐標(biāo)系的位移為p。表達(dá)式如下

圖1 中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)模型

由于考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，板的動(dòng)能除了平動(dòng)動(dòng)能之外還有局部轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。因此，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總動(dòng)能為中心剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，板的動(dòng)能以及局部轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。其表達(dá)式為

式中，“·”為對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)。

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總勢(shì)能Ep為板的彈性勢(shì)能，包括懸臂板的彎曲應(yīng)變能、剪切應(yīng)變能及離心力產(chǎn)生的變形能。表達(dá)式為

其中，結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能的表達(dá)式為

離心力在板上產(chǎn)生的變形能為

式中，D 為平板的抗彎剛度，D = Eh3/12(1 － v2);C=κGh，κ 是剪切折算系數(shù)，κ =π2/12;G 為剪切模量G=E/2(1 +v)，ν 為泊松比。Δx 和Δy 分別為懸臂板x 方向和y 方向的位移引起的縮短量，Δx =

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的Hamilton 原理為:

基于Hamilton 變分原理，對(duì)系統(tǒng)的勢(shì)能、變形能、外力做功進(jìn)行變分，建立中心剛體—柔性板的動(dòng)力學(xué)方程:

1.2 中心剛體—柔性懸臂板系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

懸臂厚板的邊界條件為

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，對(duì)板上任意點(diǎn)的橫向位移、截面轉(zhuǎn)角模態(tài)分解，式(7)經(jīng)整理、無量綱化后可得中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)無量綱形式的動(dòng)力學(xué)方程為:

無量綱參數(shù)的表達(dá)式為

設(shè)Y=［~θ ~q］，X=［YT］T，

2 變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)分為2 步。1)設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制的切換函數(shù)，要求等效運(yùn)動(dòng)方程具有滿意的動(dòng)態(tài)性能;2)根據(jù)滑動(dòng)模態(tài)的到達(dá)條件進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。在進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制策略選取時(shí)，采用如下形式的切換函數(shù)［9－10］。

其中，C∈Rm×2(n+1)為系數(shù)矩陣，m 為控制向量維數(shù)，2(n+1)為狀態(tài)空間向量維數(shù)。S =0 構(gòu)成了變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)中的切換面。Xe=［θeq˙q］T?？紤]柔性附件的前四階振動(dòng)模態(tài)，取n =4，m =5。

因此，4個(gè)切換面的具體形式如下

式中，qi為柔性附件的前4 階橫向彎曲模態(tài)坐標(biāo)。

變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)的目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律使得切換面以外的相點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，并在切換面上運(yùn)動(dòng)漸近趨于原點(diǎn)。采用如下等速趨近律

其中，Pi＞0，sgn(si)為符號(hào)函數(shù)。容易驗(yàn)證＜0成立，到達(dá)條件滿足。

對(duì)式(13)求導(dǎo)，并考慮到式(11)和(14)，可得變結(jié)構(gòu)控制律滿足的等式為

3 數(shù)值算例

采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，分析研究了作大運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)的中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)的振動(dòng)抑制。數(shù)值模擬時(shí)，取特征長度為板的寬度取參數(shù)P1=c2=0.4，c3=0.2，c4=0.2。

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為X=［0 －0.005 －0.002－0.001 －0.0005 1 0.005 0.002 0.001 0.0005］，現(xiàn)截取勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)柔性附件的前4 階振動(dòng)模態(tài)，作動(dòng)器的位置為(0.1a，0.8b)，(0.9a，0.8b)，(0.1a，－0.8b)，(0.9a，－0.8b)。控制力位置應(yīng)避開前4 階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)。圖2 ～7 給出的數(shù)據(jù)都是無量綱參數(shù)。

圖2 變結(jié)構(gòu)控制前柔性薄板前4 階模態(tài)的響應(yīng)

圖3 變結(jié)構(gòu)控制前柔性厚板前4 階模態(tài)的響應(yīng)

圖2 給出了中心剛體—旋轉(zhuǎn)懸臂薄板的四階橫向振動(dòng)模態(tài)響應(yīng)。模態(tài)坐標(biāo)的幅值大約為9. 0 ×10－3，5.8 ×10－3，0.8 ×10－3，0.5 ×10－3。圖3 給出了本文理論下中心剛體—旋轉(zhuǎn)懸臂厚板的4 階橫向振動(dòng)模態(tài)響應(yīng)。模態(tài)坐標(biāo)的幅值大約為8. 2 ×10－3，5.2 ×10－3，7.8 ×10－4，4.8 ×10－4。由圖2 和3 可知，在未施加變結(jié)構(gòu)控制時(shí)，系統(tǒng)的橫向振動(dòng)十分劇烈。

圖4 給出了變結(jié)構(gòu)控制后中心剛體—旋轉(zhuǎn)懸臂薄板的4 階橫向振動(dòng)模態(tài)響應(yīng)。模態(tài)坐標(biāo)的幅值最大值大約為8. 2 × 10－3，4. 1 × 10－3，6. 3 × 10－4，3.0 ×10－4。圖5 給出了變結(jié)構(gòu)控制后中心剛體—旋轉(zhuǎn)懸臂厚板的4 階橫向振動(dòng)模態(tài)響應(yīng)。模態(tài)坐標(biāo)的幅值最大值大約為6.4 ×10－3，4.0 ×10－3，6.2 ×10－4，2.9 ×10－4。由圖4 和5 可知，在施加變結(jié)構(gòu)控制后，柔性板的橫向振動(dòng)顯著減少，系統(tǒng)能很快到達(dá)穩(wěn)定位置。

圖6 給出了施加變結(jié)構(gòu)控制后，中心剛體—旋轉(zhuǎn)柔性厚板的前四階模態(tài)相軌跡圖。由圖中可以明顯看出，變結(jié)構(gòu)控制后的系統(tǒng)很快進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，并沿著滑動(dòng)模態(tài)滑動(dòng)，趨于穩(wěn)定。

圖4 變結(jié)構(gòu)控制后柔性薄板前4 階模態(tài)的響應(yīng)

圖5 變結(jié)構(gòu)控制后柔性厚板前4 階模態(tài)的響應(yīng)

圖6 變結(jié)構(gòu)控制后柔性厚板前4 階模態(tài)的相軌跡

圖7 給出了系統(tǒng)到達(dá)期望位置中心剛體—柔性厚板系統(tǒng)所需模態(tài)控制力的變化規(guī)律。由圖可知，前4 階模態(tài)控制力的無量綱最大值約為0.15，0.7，3，11.5。在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定之前，模態(tài)控制力曲線不斷抖動(dòng)，直至系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定時(shí)，控制力曲線趨于穩(wěn)定。

4 分析與結(jié)論

以往研究剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模和振動(dòng)控制時(shí)，往往采用中心剛體—柔性梁系統(tǒng)而不是中心剛體—柔性板系統(tǒng)，其主要原因是動(dòng)力學(xué)分析比較困難。以往的論文主要采用有限元分析對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。本文采用與傳統(tǒng)不同的平板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法，利用Hamilton 變分原理，從能量守衡的角度推導(dǎo)出中心剛體—柔性板系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

圖7 變結(jié)構(gòu)控制后柔性厚板前四階模態(tài)控制力變化規(guī)律

本文采用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，對(duì)航天器動(dòng)力學(xué)與控制問題進(jìn)行了研究。實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)的漸近穩(wěn)定性，還抑制了柔性板的彈性振動(dòng)。從數(shù)值模擬結(jié)果看:1)在未施加變結(jié)構(gòu)控制情況下，系統(tǒng)的模態(tài)振動(dòng)十分劇烈，高階時(shí)尤為明顯，振動(dòng)幅值并未隨時(shí)間變化而減少;2)Mindlin 厚板理論下的板的振動(dòng)響應(yīng)無論是變結(jié)構(gòu)控制前還是控制后，模態(tài)坐標(biāo)的幅值都比薄板理論下的小。在相同時(shí)間內(nèi)，厚板理論的頻率振動(dòng)程度也比薄板理論來的劇烈，施加控制后達(dá)到期望位置的無量綱時(shí)間也較薄板理論少。采用厚板理論更符合工程實(shí)際;3)施加變結(jié)構(gòu)控制后，系統(tǒng)模態(tài)沿著滑模面移動(dòng)，逐漸趨于穩(wěn)定，模態(tài)振動(dòng)明顯得到了改善。模態(tài)控制力在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定前不斷變化，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定后，控制力也趨于穩(wěn)定。分析結(jié)果表明，本文采用的控制策略和算法是可行的，能夠較好地實(shí)現(xiàn)航天器柔性板的穩(wěn)定性。

本文提供的動(dòng)力學(xué)分析與控制方法可望能為航天器動(dòng)力學(xué)分析與控制提供理論基礎(chǔ)與參考數(shù)據(jù)。

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