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    正切數(shù)與集合的純偶組合數(shù)*

    2015-12-05 07:26:10顧江民
    湖州師范學(xué)院學(xué)報 2015年8期
    關(guān)鍵詞:數(shù)表正整數(shù)性質(zhì)

    顧江民

    (浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,浙江 東陽322100)

    0 引言

    正切數(shù)(戴煦數(shù))是從許多組合問題中提出來的,在數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,一直是許多專家、學(xué)者研究的熱點.文[1]介紹了Akiyama-Tanigawa算法,文[2]利用這種算法給出了Bernoulli數(shù)的一種新算法.本文利用Akiyama-Tanigawa算法給出正切數(shù)的一種新算法.筆者發(fā)現(xiàn),正切數(shù)與一類數(shù)有著密切的關(guān)系,我們稱之為純偶組合數(shù).

    定義1 由

    確定的系數(shù)G(n,m)稱為純偶組合數(shù)(m為正整數(shù)).

    定義2[3]正切數(shù)Dn定義為:

    我們看正切數(shù)表,它的算法是:第零行數(shù)是1,1,1,…,第一行數(shù)-1·1+3·1,-4·1+10·1,-9·1+21·1,…,即為2,6,12,…,第二行數(shù)-1·2+3·6,-4·6+10·12,-9·12+21·20,…,即為16,96,312,…依次規(guī)律,第n行第m個數(shù)為an,m,確定第n+()1 行第m個數(shù)an+1,m為:

    由這種遞推關(guān)系得到一個類似楊輝三角的數(shù)表,可以確定各行的首位數(shù)為正切數(shù)(圖1).運用文[2]的方法可以得到第n行的首位數(shù)為:

    1 主要結(jié)論

    定理G(n,k)為純偶組合數(shù),則正切數(shù):

    圖1 正切數(shù)表Fig.1 Tangent table

    推論 伯努利數(shù):

    2 純偶組合數(shù)的性質(zhì)

    性質(zhì)1G(n,1)=1,?n∈N*;G(n,m)=0,(n<m).

    證明 由

    易得:

    故有G(1,m+1)=0.

    性質(zhì)2 純偶組合數(shù)有以下遞歸關(guān)系[4~8]:

    證明 設(shè)函數(shù):

    首先由(1)式可知:

    則有:

    其次,因為:

    對比(4)式與(5)式x2n系數(shù)可得:

    3 定理的證明

    證明 設(shè)

    兩邊求導(dǎo)得:

    根據(jù)定義2可知:

    所以,

    正切數(shù)與Bernoulli數(shù)有關(guān)系式[5]:

    4 同余式與附表

    利用正切數(shù)表的有關(guān)性質(zhì)可給出幾個同余式.

    對任意的正整數(shù)n,m,k,有:

    一般地,設(shè)g(n,k)組成的下三角矩陣是G(n,k)組成矩陣的逆,即

    (g(n,k))=(G(n,k))-1.

    則有:

    純偶組合數(shù)陣G(n,k)見表1,純偶組合數(shù)陣的逆g(n,k)見表2.

    表1 純偶組合數(shù)陣G(n,k)Table 1 Pure even combinations matrix

    表2 純偶組合數(shù)陣的逆g(n,k)Table 2 Pure even combinations inverse matrix

    [1]Akiyama S,Tanigawa Y.Muktiple zeta values at non-positive integers[J].The Ramanujan Journal,2001,5(4):327-351.

    [2]Kaneko M.The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers[J].Journal of Integer Sequences,2000,12:1-6.

    [3]羅見今.徐有壬《測圓密率》對正切數(shù)的研究[J].西北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006,36(5):853-857.

    [4]顧江民,朱偉義.二進(jìn)純偶多項式及應(yīng)用[J].咸陽師范學(xué)院學(xué)報,2010,25(2):11-14.

    [5]顧江民.方差多項式與Bernoulli多項式[J].江西科學(xué),2011,29(4):450-452.

    [6]顧江民.Euler數(shù)與集合的純偶排列數(shù)[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報,2013,28(12):5-9.

    [7]朱偉義.高階Bernoulli數(shù)與Stirling數(shù)的幾個恒等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006(1):83-85.

    [8]王天明.近代組合學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2008.

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