分解的二維非對稱Tsallis交叉熵圖像閾值選取

吳詩婳， 吳一全,， 周建江

（1. 南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210016；2. 華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室，湖北 武漢 430074；3. 北京科技大學(xué)新金屬材料國家重點實驗室，北京 100083；4. 南昌航空大學(xué)，江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西 南昌 330063）

分解的二維非對稱Tsallis交叉熵圖像閾值選取

吳詩婳1， 吳一全1,2,3,4， 周建江1

（1. 南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210016；2. 華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室，湖北 武漢 430074；3. 北京科技大學(xué)新金屬材料國家重點實驗室，北京 100083；4. 南昌航空大學(xué)，江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西 南昌 330063）

現(xiàn)有的Tsallis交叉熵能夠度量圖像分割前后的差異，但公式復(fù)雜，計算效率不高，據(jù)此，提出了基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵圖像閾值選取方法。首先給出了非對稱Tsallis交叉熵的定義，提出了一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取方法；然后，將其拓展到二維，推導(dǎo)出相應(yīng)的閾值選取公式；最后，在此基礎(chǔ)上提出了二維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取的分解算法，使求解二維非對稱Tsallis交叉熵閾值法的運算轉(zhuǎn)化到兩個一維空間上，將計算復(fù)雜度從O(L4)降低為O(L)。大量實驗結(jié)果表明，與基于混沌粒子群優(yōu)化的二維Tsallis灰度熵法、二維斜分對稱交叉熵法，二維斜分對稱Tsallis交叉熵法等方法相比，該方法分割性能優(yōu)，運行時間短，可望滿足實際應(yīng)用系統(tǒng)對分割的實時要求。

圖像分割；閾值選取；非對稱Tsallis交叉熵；二維直方圖；分解

圖像分割是圖像處理與分析的前期關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，分割質(zhì)量的優(yōu)劣直接影響著后續(xù)處理的結(jié)果[1]。閾值分割是一種簡單、快速、有效的圖像分割方法，該方法實質(zhì)上是需要快速選取合適的閾值，據(jù)此實現(xiàn)圖像中目標(biāo)和背景的分離，是實際中常用的圖像分割方法[2-4]。在工業(yè)CT無損檢測、金相顯微組織識別與分析等領(lǐng)域有著重要的實際應(yīng)用。在現(xiàn)有的閾值分割法中，基于熵的方法一直是研究的熱點之一[5-8]。該方法通常利用窮舉、優(yōu)化、遞推等算法，搜索特定準(zhǔn)則函數(shù)下的最優(yōu)閾值。

Kapur等[9]提出的一維最大熵閾值選取方法較為簡單有效，是實際中常被選用的典型閾值選取方法。Abutaleb[10]將其拓展到二維，增強了抗噪性，但計算量大幅增加，運行時間長。Du等[11]提出了基于粒子群優(yōu)化的二維最大熵閾值選取法，大大減少了運行時間。但粒子群優(yōu)化算法在搜索最優(yōu)閾值的過程中易陷入局部極值，且存在進化后期收斂速度慢、精度低等缺點。Li和Lee[12]將一維最大熵法擴展，提出了一維最小交叉熵法，取得良好的分割效果。文獻[13]將最小交叉熵法推廣到二維，雖然增強了抗噪性，但搜索的運算量大幅增加到 O(L4)（L為圖像灰度級數(shù)）。為此，文獻[14]采用混沌彈性粒子群優(yōu)化算法，大幅提高了方法的運行速度。然而最大熵和最小交叉熵均存在零點處無定義值的缺陷。為了更好地衡量圖像的不確定性，Sahoo和Arora[15]將統(tǒng)計力學(xué)中的Tsallis熵首次引入到圖像分割中，由此提出了二維Tsallis熵閾值選取方法。Tsallis熵引入可變參數(shù)來描述系統(tǒng)的非可加性程度，充分地考慮了圖像中目標(biāo)和背景的相互關(guān)系，具有靈活性和普適性，但二維Tsallis熵閾值法依然存在運算速度過慢的問題。文獻[16]將最小交叉熵與Tsallis熵相結(jié)合，同時考慮目標(biāo)和背景兩者的信息量差異和相關(guān)性，提出二維最小Tsallis交叉熵閾值法，取得了良好的分割效果。但是對背景復(fù)雜或噪聲較強的圖像分割效果不盡理想。文獻[17]給出了基于粒子群優(yōu)化的二維對稱Tsallis交叉熵閾值分割方法，但是該方法無法導(dǎo)出遞推算法，且二維對稱Tsallis交叉熵閾值選取公式相對繁長，影響了算法的運算效率，運行速度仍有一定的提升空間。若能尋求簡潔的Tsallis交叉熵公式來度量圖像信息量變化，并縮小搜索空間，可望在保證分割效果的基礎(chǔ)上，加快運行速度。

鑒于以上問題及分析，本文首先定義了非對稱Tsallis交叉熵，并推導(dǎo)了一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取公式，依據(jù)分割前后圖像之間的最小非對稱 Tsallis交叉熵選取閾值；然后，將一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取進行推廣，給出了二維非對稱Tsallis交叉熵定義及其閾值選取準(zhǔn)則，在此基礎(chǔ)上，進一步推導(dǎo)出其快速遞推公式，使得計算復(fù)雜度由O(L4)下降到O(L2)；最后，提出了二維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取的分解算法，將二維運算分解為兩個一維運算，大幅縮小了搜索范圍，算法的計算復(fù)雜度從O(L2) 進一步下降到O(L)。利用本文一維非對稱Tsallis交叉熵法對大量灰度圖像進行了閾值分割實驗，并與混沌粒子群優(yōu)化(chaotic particle swarm optimization, CPSO)的二維Tsallis灰度熵法[18]、二維斜分對稱交叉熵法[19]、二維斜分對稱Tsallis交叉熵法[20]進行了比較并給出評價。

1 一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取方法

1.1 非對稱Tsallis交叉熵的定義設(shè)任意兩個概率分布和， 滿 足 pi≥ 0 , qi≥0，則可定義P和Q之間的非對稱Tsallis交叉熵為：

式中， q ≥ 0 為常數(shù)。非對稱Tsallis交叉熵的非廣延程度可通過調(diào)整參數(shù)q決定。非對稱Tsallis交叉熵是兩個概率分布差異性的度量值，具有非負性。當(dāng)且僅當(dāng)P =Q 時，取得最小的零值[21]。

當(dāng)q無限逼近1時，有：

1.2 一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取公式

假設(shè) f (m,n)是一幅大小M × N 、灰度級數(shù)為L的圖像。其中灰度級為 i的所有像素點數(shù)之和為h(i)( i =0,1,… , L -1)，即灰度級i出現(xiàn)的頻率現(xiàn)用閾值t按灰度級將圖像像素劃分成目標(biāo)類和背景類目標(biāo)類先驗概率和灰度均值分別為和背景類先驗概率和灰度均值為圖像中所有像素點的灰度級總和為若令：

對于給定圖像， F ＞ 0 且F為常數(shù)，去除該常值因子后，基于一維非對稱Tsallis交叉熵的圖像閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)為：

2 基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取方法

2.1 二維非對稱 Tsallis交叉熵閾值選取及其遞推算法

設(shè)大小M × N 圖像的灰度級 f(m,n)取0,1,… , L -1，像素點(m,n)的鄰域平均灰度級為其中D為像素點的8-鄰域，W為鄰域 D中的像素個數(shù)。若用h(i,j)(0 ≤ h (i,j) ≤ M × N)表示(灰度級i，鄰域平均灰度級 j)出現(xiàn)的頻數(shù)，則相應(yīng)的聯(lián)合概率為

假設(shè)閾值向量(t,s)將二維直方圖{p(i,j)}分為4個區(qū)域(圖1)。圖像中的暗(亮)像素視為目標(biāo)(背景)，則區(qū)域0對應(yīng)目標(biāo)區(qū)域，區(qū)域1對應(yīng)背景區(qū)域，而區(qū)域2和區(qū)域3對應(yīng)邊界點和噪聲點區(qū)域。通常邊界點和噪聲點的數(shù)量與圖像總像素個數(shù)相比很少，因此可假設(shè)在區(qū)域2和區(qū)域3上所有的 p(i,j)≈ 0 。

圖1 二維直方圖的區(qū)域劃分

目標(biāo)區(qū)域的先驗概率 ωo(t ,s)和灰度均值向量μo(t , s)為：

相應(yīng)地，背景區(qū)域的先驗概率 ωb(t ,s)和灰度均值向量 μb(t,s)為：

總體灰度均值向量為：

現(xiàn)將式(4)推廣至二維情況，則基于二維非對稱Tsallis交叉熵的圖像閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)為：

式中：

因此，二維非對稱Tsallis交叉熵法的最佳閾值向量 (t*,s*)為：

為了減少上述二維非對稱Tsallis交叉熵法的運算量，可采用快速遞推公式計算準(zhǔn)則函數(shù)中的中間變量，避免重復(fù)運算。若令則

具體遞推過程如下：

類似可推出 μj( t,s)、voi(t,s)、voj(t,s)、vbi(t,s)、vbj(t,s)的遞推公式。采用遞推算法可使二維非對稱Tsallis交叉熵法的計算復(fù)雜性由 O(L4)減少到O(L2)，提高運算速度。

2.2 二維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取的分解算法

為了進一步減少二維非對稱Tsallis交叉熵法的運算量，本文嘗試給出其基于分解的閾值選取算法。由于通常邊界點和噪聲點的數(shù)量與圖像總像素個數(shù)相比很少，在忽略二維直方圖中邊緣和噪聲區(qū)域的前提下，該算法通過求解兩個一維非對稱Tsallis交叉熵法的閾值來替代原始二維非對稱Tsallis交叉熵法的最佳閾值，計算復(fù)雜度可望進一步減少到O(L)，具體推導(dǎo)過程如下：

由其二維直方圖中二元對(i,j)的頻數(shù)，可得到像素灰度級和鄰域平均灰度級的邊緣分布，記為Vi和由此可見，Vi和 Hj分別對應(yīng)于原始像素的灰度級圖像和鄰域平均灰度級圖像。

相應(yīng)的最佳閾值t*和s*滿足：

假設(shè)區(qū)域2和區(qū)域3上所有的 p (i,j)≈ 0 ，有：

因此，二維Tsallis交叉熵閾值選取的準(zhǔn)則函數(shù)可寫為：

最佳閾值向量（t*,s*）滿足：

綜上所述，二維非對稱Tsallis交叉熵閾值的求解可轉(zhuǎn)化為求原像素灰度級圖像的一維最佳閾值t*和鄰域平均灰度級圖像的一維最佳閾值 s，然后將其組合為二維最佳閾值向量 (t*,s*)。由此，原本的二維搜索空間L×L代之以兩個長為L的一維搜索空間，計算復(fù)雜度減少為O(L+L)=O(L) 。

該算法本質(zhì)上是先根據(jù)灰度級圖像選取閾值，分割出目標(biāo)，再通過鄰域平均灰度級圖像選取閾值濾除噪聲，從而達到二維的分割效果。由于基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵法同時考慮了灰度級和鄰域平均灰度級信息，對實際圖像尤其是有噪圖像分割可取得更好地效果。

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵法的有效性，針對大量灰度級圖像，做了閾值分割實驗，并將本文提出的基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵法與CPSO的二維Tsallis灰度熵法、二維斜分對稱交叉熵法、二維斜分對稱Tsallis交叉熵法以及本文提出的一維非對稱Tsallis交叉熵法進行了比較。選取工業(yè)CT圖像1、圖像2，金相顯微圖像1、圖像2等4幅圖像及其分割結(jié)果為例加以說明。圖2～5(a)圖分別為4幅灰度圖像的原始圖像，圖2～5(b)～(f)圖依次為采用上述5種方法進行閾值分割后的圖像。其中4種二維閾值選取方法的最佳分割閾值及運行時間分別見表 1、表 2。實驗環(huán)境為Intel(R) Core(TM) i5 CPU 2.0 GHz、4 G RAM、Matlab R2013a。

如圖2所示，二維斜分對稱交叉熵法、二維斜分對稱Tsallis交叉熵法、一維非對稱Tsallis交叉熵法能分割出基本的形狀，但是外圍輪廓以及內(nèi)部孔洞區(qū)域輪廓模糊不清、不夠準(zhǔn)確，如圖2(d)、(e)中，物件上端凹陷處彎鉤形已不易辨識。此外，上述3種方法的分割結(jié)果中，物件內(nèi)部的孔洞尺寸均偏小，部分孔洞甚至未被分割出來。CPSO的二維Tsallis灰度熵法的分割效果在一定程度上有所改善，但仍存在孔洞偏小的問題，不能準(zhǔn)確識別物件內(nèi)部孔洞區(qū)域。本文方法在完整清晰地分割出物件外邊界的同時，能準(zhǔn)確地保留物件內(nèi)部孔洞的邊界形狀。從圖3可以看出，5種分割結(jié)果相比，零件輪廓邊界粗糙、不準(zhǔn)確，且對零件內(nèi)部缺陷的分割效果較差，不利于后續(xù)工業(yè)CT圖像的無損檢測。由圖4可見，二維斜分對稱交叉熵法、一維非對稱Tsallis交叉熵法的分割結(jié)果中存在大量虛警目標(biāo)，圖4(b)、(e)的右上角可見含有大量陰影，湮沒了部分的金相組織信息。二維斜分對稱交叉熵法、二維斜分對稱Tsallis交叉熵法降低了虛警率，但金相組織分割不準(zhǔn)確，如圖4(c)、(d)中部某些分叉的分支不清晰甚至丟失。而本文方法在減少虛警目標(biāo)的同時，能更好地保留金相組織的紋理和細節(jié)特征。從圖5(c)、(d)、(e)可以看出，二維斜分對稱交叉熵法、二維斜分對稱Tsallis交叉熵法、一維非對稱Tsallis交叉熵法丟失部分細小組織的信息，不利于后續(xù)的金相組織檢測與識別。CPSO的二維Tsallis灰度熵法保留了部分細節(jié)信息，但與本文方法相比，金相組織區(qū)域趨于粗放，不夠清晰準(zhǔn)確。綜上所述，本文提出的基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵圖像閾值選取方法所得目標(biāo)區(qū)域準(zhǔn)確，邊界輪廓清晰，細節(jié)豐富，具有較優(yōu)的抗噪性和穩(wěn)定性。

圖2 工業(yè)CT圖像1及其分割結(jié)果

圖3 工業(yè)CT圖像2及其分割結(jié)果

圖4 金相顯微圖像1及其分割結(jié)果

圖5 金相顯微圖像2及其分割結(jié)果

表1 4種二維閾值選取方法的最佳閾值比較

表2 4種二維閾值選取方法的運行時間比較(×10-1s)

從表2可以看出，本文所提出的基于分解的二維非對稱Tsallis交叉熵法與其他3種方法相比，運行時間最短，約為CPSO的二維Tsallis灰度熵法的一半，僅為二維斜分對稱交叉熵法、二維斜分對稱Tsallis交叉熵法的10%左右。

4 結(jié) 論

本文定義的非對稱 Tsallis交叉熵改善了對稱Tsallis交叉熵公式冗長，計算效率低的問題，首先給出了分割前后圖像之間的一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)，據(jù)此可有效地進行圖像閾值分割；然后將一維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取進行推廣，給出了二維非對稱Tsallis交叉熵的定義及其閾值選取公式，并采用遞推算法減少計算冗余度，算法的運算量從O(L4)降低到O(L2)。在此基礎(chǔ)上，提出了二維非對稱Tsallis交叉熵閾值選取分解算法，由此將二維運算分解為兩個一維運算，算法的運算量從O(L2)降低到O(L)，進一步提高了二維非對稱Tsallis交叉熵法的運行速度。針對多幅灰度級圖像所進行的大量閾值分割實驗結(jié)果表明，與CPSO的二維Tsallis灰度熵法、二維斜分對稱交叉熵法，二維斜分對稱Tsallis交叉熵法以及本文中提出的一維非對稱Tsallis交叉熵法相比，本文提出的分解的二維非對稱Tsallis交叉熵圖像閾值選取方法分割后的圖像邊界形狀更接近原始圖像，細節(jié)紋理特征更加清晰，所需的運行時間大約只有二維斜分對稱Tsallis交叉熵法的10%，在圖像分割效果及方法運行時間兩個方面均優(yōu)勢明顯。

[1] 王 萍, 馮衛(wèi)家, 屈 展, 等. 一種復(fù)雜背景下非規(guī)則帶狀區(qū)域的分割算法[J]. 天津大學(xué)學(xué)報, 2012, 45(2): 135-139.

[2] 關(guān) 波, 王俊元, 杜文華, 等. 刀具輪廓亞像素精度閾值分割算法研究[J]. 圖學(xué)學(xué)報, 2014, 35(6): 950-953.

[3] Yin Jun, Wu Yiquan, Zhu Li. Multi-thresholding based on symmetric Tsallis-cross entropy and particle swarm optimization [J]. Advanced Materials Research, 2013, 760: 1457-1461.

[4] 張 弘, 范九倫. 二維Arimoto熵直線型閾值分割法[J].光子學(xué)報, 2013, 42(2): 234-240.

[5] Sanyal N, Chatterjee A, Munshi S. An adaptive bacterial foraging algorithm for fuzzy entropy based image segmentation [J]. Expert Systems with Applications, 2011, 38(12): 15489-15498.

[6] 吳一全, 吳詩婳, 占必超, 等. 基于改進的二維交叉熵及Tent映射PSO的閾值分割[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2012, 34(3): 603-609.

[7] Horng M H. A multilevel image thresholding using the honey bee mating optimization [J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 215(9): 3302-3310.

[8] Agrawal S, Panda R, Bhuyan S, et al. Tsallis entropy based optimal multilevel thresholding using cuckoo search algorithm [J]. Swarm and Evolutionary Computation, 2013, (11): 16-30.

[9] Kapur J N, Sahoo P K, Wong A K C. A new method for the gray-level picture thresholding using the entropy of the histogram [J]. Computer Vision, Graphics and Image Processing, 1985, 29(1): 273-285.

[10] Abutaleb A S. Automatic thresholding of gray-level picture using two-dimensional entropy [J]. Pattern Recognition, 1989, 47(1): 22-32.

[11] Du Feng, Shi Wenkang, Chen Liangzhou, et al. Infrared image segmentation with 2-D maximum entropy method based on particle swarm optimization(PSO) [J]. Pattern Recognition Letters, 2005, 26(5): 597-603.

[12] Li C K, Lee C H. Minimum cross entropy thresholding [J]. Pattern Recognition, 1993, 26(4): 617-625.

[13] 雷 博, 范久倫. 灰度圖像的二維交叉熵閾值分割法[J].光子學(xué)報, 2009, 38(6): 1572-1576.

[14] 吳一全, 張曉杰, 吳詩婳. 基于混沌彈性粒子群優(yōu)化與基于分解的二維交叉熵閾值分割[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報, 2011, 45(3): 301-307.

[15] Sahoo P K, Arora G. Image thresholding using two-dimensional Tsallis-Havrda-Charvát entropy [J]. Pattern Recognition Letters, 2006, 27(6): 520-528.

[16] 唐英干, 邸秋艷, 關(guān)新平, 等. 基于最小Tsallis交叉熵的閾值圖像分割方法[J]. 儀器儀表學(xué)報, 2008, 29(9): 1868-1872.

[17] 唐英干, 邸秋艷, 趙立興, 等. 基于二維最小Tsallis交叉熵的圖像閾值分割方法[J]. 物理學(xué)報, 2009, 58(1): 9-15.

[18] 吳一全, 吳詩婳, 張曉杰. 利用混沌PSO或分解的2維Tsallis灰度熵閾值分割[J]. 中國圖象圖形學(xué)報, 2012, 17(8): 902-910.

[19] 紀(jì)守新, 吳一全, 占必超. 基于二維對稱交叉熵的紅外圖像閾值分割[J]. 光電子?激光, 2010, 21(12): 1871-1876.

[20] 吳一全, 沈 毅, 剛 鐵, 等. 基于二維對稱Tsallis交叉熵的小目標(biāo)圖像閾值分割[J]. 儀器儀表學(xué)報, 2011, 32(10): 2161-2167.

[21] Furuichi S, Yanagi K, Kuriyama K. Fundamental properties of Tsallis relative entropy [J]. Journal of Mathematical Physics, 2004, 45(12): 4868-4877.

Image Threshold Selection Based on Two-Dimensional Asymmetric Tsallis Cross Entropy and Decomposition

Wu Shihua1, Wu Yiquan1,2,3,4, Zhou Jianjiang1
(1. College of Electronic and Information Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Jiangsu 210016, China; 2. State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment & Technology, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430074, China; 3. State Key Laboratory for Advanced Metals and Materials, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China; 4. Nanchang Hangkong University, Key Laboratory of Image Processing and Pattern Recognition, Nanchang Jiangxi 330063, China)

The existing Tsallis cross entropy can measure the difference between the original image and its segmentation result, but it has the drawback of complex formula and low computational efficiency. Thus two-dimensional asymmetric Tsallis cross entropy threshold selection method based on decomposition is proposed. Firstly, the asymmetric Tsallis cross entropy is defined and a one-dimensional threshold selection method based on the asymmetric Tsallis cross entropy is put forward. Then it is extended to the two-dimensional space, and the corresponding threshold selection formulae are derived. Finally, the decomposition algorithm of two-dimensional asymmetric Tsallis cross entropy thresholding is proposed on this basis. As a result, the computations of two-dimensional asymmetric Tsallis cross entropy thresholding method are converted into two one-dimensional spaces. The computational complexity is greatly reduced from O(L4) to O(L). A large number of experimentalresults show that, compared with two-dimensional maximum Tsallis gray entropy method based on chaos particle swarm optimization, symmetric cross entropy method based on two-dimensional histogram oblique segmentation, symmetric Tsallis cross entropy method based on two-dimensional histogram oblique segmentation and so on, the proposed method has superior image segmentation performance and short running time, which can meet the real-time processing requirement of segmentation in the practical application systems.

image segmentation; threshold selection; asymmetric Tsallis cross entropy; two-dimensional histogram; decomposition

TP 391.41

A

2095-302X(2015)05-0763-08

2015-02-25；定稿日期：2015-06-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(60872065)；數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室開放基金資助項目(DMETKF2014010)；新金屬材料國家重點實驗室開放基金資助項目(2014-Z07)；江西省圖像處理與模式識別重點實驗室開放基金資助(2015)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(SJLX15_0116)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目(2012)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助(2015)

吳詩婳(1992-)，女，江蘇南京人，碩士研究生。主要研究方向為圖像處理。E-mail：wshimage@163.com

吳一全(1963-)，男，江蘇啟東人，教授，博士，博士生導(dǎo)師。主要研究方向為圖像處理與識別。E-mail：nuaaimage@163.com