基于D-S證據(jù)理論的飛行事故預(yù)測模型

薛明浩，端木京順，甘旭升，閔桂龍

（1.空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，陜西 西安 710051；2.空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院，陜西 西安 710051）

飛行事故預(yù)測是在對歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析的基礎(chǔ)上，對未來可能發(fā)生的飛行事故預(yù)先做出近乎合理的推測判斷［1］。準(zhǔn)確的飛行事故預(yù)測可以為飛行安全管理提供幫助，對有效地預(yù)防飛行事故具有十分重要的意義。

針對飛行事故預(yù)測國內(nèi)外學(xué)者已做了大量的研究［2-3］。如灰色預(yù)測法［4］、時(shí)間序列［5］一般是選取某種函數(shù)建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并通過歷史數(shù)據(jù)對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正，然后利用模型進(jìn)行預(yù)測，但預(yù)測模型收斂性、精度等均受到不同程度的限制；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BP）［6-7］具有很強(qiáng)的非線性映射能力，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足，但也存在易陷入局部極小點(diǎn)和過擬合等缺點(diǎn)，使得其應(yīng)用受到限制；最小二乘支持向量機(jī)（LS-SVM）［8］較好地解決了小樣本、非線性、局部極小點(diǎn)等問題，但求解時(shí)存在二次規(guī)劃問題，求解速度相對較慢?；诖?，本文針對單個(gè)預(yù)測模型存在不同缺點(diǎn)以及難以達(dá)到理想預(yù)測精度的問題，提出一種基于證據(jù)理論的飛行事故組合預(yù)測模型，分別采用時(shí)間序列、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)對飛行事故進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)每個(gè)模型的相對誤差確定該模型在組合中的權(quán)重，從而確立基本信任分配函數(shù)，并運(yùn)用D-S證據(jù)理論［9］對函數(shù)進(jìn)行融合，進(jìn)而對未來的飛行事故發(fā)生情況進(jìn)行預(yù)測。

1 三種預(yù)測模型

1.1 時(shí)間序列預(yù)測模型

時(shí)間序列預(yù)測模型就是將預(yù)測對象時(shí)間序列反映的發(fā)展過程和趨勢進(jìn)行類推，以預(yù)測其未來可能達(dá)到的水平。時(shí)間序列預(yù)測模型主要包括穩(wěn)定模型和非穩(wěn)定模型，由于飛行事故存在一定的周期波動(dòng)，其時(shí)間序列通常屬于非穩(wěn)定模型，因此這里采用差分自回歸滑動(dòng)平均法（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型［10］，其模型表達(dá)式為

式中：Yt為t 時(shí)刻的實(shí)際值；α 為參數(shù)，α=τ（1-φ1-φ2-φp），其中τ=E（Yt）；εt為t 時(shí)刻的隨機(jī)誤差；p、q分別為自回歸階數(shù)和滑動(dòng)平均階數(shù)；φ1，φ2，…，φp為自回歸參數(shù)；θ1，θ2，…，θq為滑動(dòng)平均參數(shù)。

對于飛行事故，ARIMA 模型建模主要過程有模型識別、平穩(wěn)化處理、參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)等，具體步驟如下：

（1）通過對時(shí)間序列的分布圖、自相關(guān)函數(shù)的分析，對時(shí)間序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識別。

（2）通過對非平穩(wěn)序列的差分變換使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列。

（3）通過赤池信息量準(zhǔn)則（Akaike’s Information Criterion，AIC）來確定ARMA 模型階數(shù)p 和q。AIC準(zhǔn)則函數(shù)為

（4）估計(jì)模型的未知參數(shù)，并檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性及模型本身的合理性。

（5）將歷史數(shù)據(jù)代入模型，以驗(yàn)證模型是否有效；否則，轉(zhuǎn)入第（3）步。

（6）利用所建立模型進(jìn)行預(yù)測分析。

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種基于誤差逆向傳播算法訓(xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，但算法存在收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)以及網(wǎng)絡(luò)性能差等缺點(diǎn)。針對以上缺點(diǎn)，采用分組批處理的訓(xùn)練方式，不僅可使不同學(xué)習(xí)率在訓(xùn)練樣本循環(huán)訓(xùn)練完成后得到適當(dāng)調(diào)整，又能減小調(diào)整學(xué)習(xí)率的時(shí)間，從而加快收斂速度；將每個(gè)訓(xùn)練樣本的梯度值平均在一起，以獲得更精確、更符合全局的梯度估計(jì)和較好的泛化能力；使用復(fù)合誤差函數(shù)Gλ（m）來代替?zhèn)鹘y(tǒng)算法中的全局均方誤差函數(shù)E（m），以此來加快收斂速度和減小陷入局部最優(yōu)的可能性；采用分開調(diào)整輸出層學(xué)習(xí)率β1 和隱含層學(xué)習(xí)率β2 的方法替代傳統(tǒng)算法中固定不變的學(xué)習(xí)率β［11］。

分組批處理的訓(xùn)練方式中，對于各分組Pi（1≤i≤n）個(gè)訓(xùn)練樣本，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際輸出值（）與理想輸出值）間的全局均方誤差函數(shù)可表示為

復(fù)合誤差函數(shù)Gλ（m）的具體展開式為

式中：λ=exp（-｜ΔE（m）｜／E（m）），其中ΔE（m）為誤差變化量，ΔE（m）=E（m）-E（m-1），E（m）為分組樣本在第m 次循環(huán)學(xué)習(xí)時(shí)的全局均方誤差。

1.3 最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測模型

最小二乘支持向量機(jī)（LS-SVM）是支持向量機(jī)的一種拓展，它適用于飛行事故預(yù)測這樣的小樣本情況，使用最小二乘支持向量機(jī)模型進(jìn)行飛行事故預(yù)測就是將已有的飛行事故數(shù)據(jù)作為輸入值，經(jīng)過變換，得到學(xué)習(xí)樣本，建立預(yù)測模型，從而預(yù)測未來時(shí)刻飛行事故的預(yù)測值。其關(guān)鍵問題在于如何重構(gòu)線性空間，找到輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系。

設(shè)訓(xùn)練樣本為｛（x1，y2），…，（xm，ym）｝，xi∈Rm，yi∈R（i=1，2，…，m，m 為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)）。將訓(xùn)練樣本映射到高維特征空間，并采用如下的回歸估計(jì)函數(shù)對該空間進(jìn)行線性回歸：

式中：w 為權(quán)值向量；b 為偏差；φ（x）為從輸入空間到高維特征空間的非線性映射。

基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，可將回歸問題等效為如下的約束優(yōu)化問題：

s.t.yi=wTφ（xi）+b（i=1，2，…，m）

式中：c為正規(guī)化參數(shù)；ξ為非相關(guān)隨機(jī)誤差。

用Lagrange方法求解該優(yōu)化問題，可得

式中：α為Lagrange乘子，α=［α1，α2，…，αm］。

根據(jù)Mercer條件，選用RBF核函數(shù)，利用最小二乘法可求出回歸估計(jì)函數(shù)：

式中：σ為核寬度。

由此可見，LS-SVM 預(yù)測模型僅需要確定正規(guī)化參數(shù)c和σ，而其最優(yōu)參數(shù)組合在實(shí)際運(yùn)用時(shí)應(yīng)根據(jù)需要來確定。

2 證據(jù)理論相關(guān)概念及預(yù)測模型

2.1 D-S證據(jù)理論基礎(chǔ)

定義1 設(shè)Θ 為識別框架，?X?Θ，m（X）表示用［0，1］區(qū)間上一個(gè)確定值來賦予2Θ中每一個(gè)元素，即m（X）：2Θ→［0，1］，滿足：

式中：m（X）為事件X 的基本信任分配函數(shù)，它表示證據(jù)對X 的信任程度。

D-S證據(jù)理論相較于其他評價(jià)方法最大的優(yōu)勢是能將不同評價(jià)結(jié)論實(shí)施合成。設(shè)在識別框Θ 上有2個(gè)證據(jù)是完全獨(dú)立的基本可信函數(shù)，分別為m1和m2，對應(yīng)焦元為，則D-S合成算法規(guī)則為［9］

式中：C 表示合成后的函數(shù)，若待合成的函數(shù)多于2個(gè)，則可通過上述方法將之前的合成結(jié)果與下一個(gè)函數(shù)再次合成，直至所有函數(shù)完成合成，這種方法便于將不同的預(yù)測模型進(jìn)行融合。

2.2 基于D-S證據(jù)理論的飛行事故組合預(yù)測模型

假設(shè)歷史飛行事故率通過預(yù)測模型進(jìn)行訓(xùn)練后，每個(gè)模型產(chǎn)生的預(yù)測誤差為（i=1，2，3），其中為飛行事故率的預(yù)測值，yi為飛行事故率的實(shí)際值，在對各個(gè)預(yù)測模型進(jìn)行融合之前，需要提取各個(gè)待融合模型的權(quán)重。在飛行事故預(yù)測模型中，各個(gè)預(yù)測模型的權(quán)重被視為證據(jù)理論的基本信度值，其對應(yīng) 的信度 值（i=1，2，3）。而權(quán)重的確定又與預(yù)測精度有密切的關(guān)系，預(yù)測精度高，則該算法在組合中所占的權(quán)重大；預(yù)測精度低，相應(yīng)的權(quán)重就小。因此，權(quán)重ωi可表示為關(guān)于ei的函數(shù)：

為避免某種預(yù)測模型出現(xiàn)相對誤差為0 的情況，這里引入ε，ε=0.000 1，進(jìn)而可得到組合預(yù)測結(jié)果：Y==1。所以，基于D-S證據(jù)理論權(quán)重融合的飛行事故率預(yù)測的具體流程如下（見圖1）：

（1）選擇預(yù)測模型的輸入變量和輸出變量，并對輸入樣本做相應(yīng)的預(yù)處理。例如對于時(shí)間序列預(yù)測模型，飛行事故率本身就是一維時(shí)間序列，其中歷史飛行事故率為自變量，待測飛行事故率為因變量；而對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機(jī)，需要將一維歷史數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，以獲得數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)信息；此外，為了加快樣本訓(xùn)練速度和模型的收斂速度，提高模型預(yù)測精度，還可以采用歸一化方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行如下預(yù)處理：

（2）將處理完的數(shù)據(jù)作為輸入量，分別采用三種預(yù)測模型對a—b年份的飛行事故率進(jìn)行預(yù)測，計(jì)算各模型的相對誤差，并采用平均絕對百分比誤差（MAPE）來評價(jià)預(yù)測模型的預(yù)測效果，其表達(dá)式為

（3）根據(jù)計(jì)算得到的各個(gè)預(yù)測模型的相對誤差，運(yùn)用D-S合成法測，計(jì)算各模型的權(quán)重wi，這里選取待測年份前三年的預(yù)測結(jié)果作為融合樣本。

（4）利用權(quán)重融合模型求得的各模型權(quán)重，可得出三種預(yù)測模型融合后最終的輸出值。

3 實(shí)例分析

飛行事故萬時(shí)率作為飛行安全水平的重要指標(biāo)，一方面是飛行員素質(zhì)、飛機(jī)可靠性、訓(xùn)練水平以及飛行安全管理工作好壞的綜合表現(xiàn)，另一方面也是衡量空軍戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱的重要標(biāo)志。因此，本文選取美國空軍1988—2010年的飛行事故萬時(shí)率［12-13］作為預(yù)測模型研究的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（見表1），并基于D-S證據(jù)理論融合模型對待測年份的飛行事故率進(jìn)行預(yù)測，具體過程如下：

表1 美國空軍1988—2010年飛行事故萬時(shí)率Table 1 10 000hour-rates of flight accidents in United States Air Force from 1988to 2010

（1）采用時(shí)間序列模型對1988—2010 年的飛行事故萬時(shí)率進(jìn)行預(yù)測，并計(jì)算相對誤差。建模前先利用EViews軟件對1988—2010 年飛行事故萬時(shí)率時(shí)間序列模型進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)（見表2），檢驗(yàn)結(jié)果表明ADF 檢驗(yàn)t-統(tǒng)計(jì)量為-0.591 073（遠(yuǎn)大于1%、5%、10%的檢驗(yàn)臨界值），故為非平穩(wěn)序列，印證了之前根據(jù)事故率為非平穩(wěn)序列而采用差分自回歸滑動(dòng)平均法的判斷。因此，需將原有的非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列后才能進(jìn)行預(yù)測，而通過一階差分變換后ADF 單位根檢驗(yàn)結(jié)果（見表3）顯示ADF檢驗(yàn)t-統(tǒng)計(jì)量為-6.601 631（小于1%、5%、10%的檢驗(yàn)臨界值），表明差分后的時(shí)間序列為平穩(wěn)序列，可以對時(shí)間序列進(jìn)行ARMA 建模。根據(jù)AIC準(zhǔn)則，預(yù)測模型的自相關(guān)函數(shù)滯后數(shù)p 和偏相關(guān)函數(shù)滯后數(shù)q 都取4［14］，利用EViews軟件，可得到2007—2009年飛行事故萬時(shí)率時(shí)間序列模型的預(yù)測值及相對誤差，見表4。

表3 一階差分后的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 ADF unit roots test results of first-order difference

表4 2007—2009年飛行事故萬時(shí)率時(shí)間序列模型預(yù)測值與實(shí)際值的比較Table 4 Actual and predicted values of time series of flight accidents from 2007to 2009

（2）分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和最小二乘支持向量機(jī)模型（LS-SVM 模型）對2007—2009年的飛行事故萬時(shí)率進(jìn)行預(yù)測，并計(jì)算相對誤差。其輸入及輸出數(shù)據(jù)采用相空間重構(gòu)方法獲得，這里嵌入維數(shù)取5，延遲時(shí)間取1，可以得到2007—2009年的飛行事故萬時(shí)率BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機(jī)模型的預(yù)測值及相對誤差，見表5。

（3）根據(jù)各模型的相對誤差，通過權(quán)重提取模型，可以分別得到2007—2009年三種預(yù)測模型對應(yīng)的權(quán)重，見表6。

表5 2007—2009年飛行事故萬時(shí)率BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和LS-SVM 模型預(yù)測值與實(shí)際值的比較Table 5 Comparison of actual values and predicted values of BP neural network and LS-SVM from 2007to 2009

表6 2007—2009年三種預(yù)測模型對應(yīng)的權(quán)重Table 6 Weights of the 3prediction models from 2007 to 2009

（4）將求出的各模型對應(yīng)權(quán)重當(dāng)作相應(yīng)的基本信任分配函數(shù)，通過Dempster合成法則進(jìn)行二重融合，得到最終的權(quán)重為0.123 4、0.228 3、0.648 3，最后對2010年度的飛行事故萬時(shí)率進(jìn)行預(yù)測，其預(yù)測結(jié)果見表7。由表7 可以看出，在2007—2010年飛行事故萬時(shí)率的預(yù)測值中，采用DS證據(jù)理論融合模型（DS模型）的預(yù)測值的平均絕對百分比誤差MAPE值（1.954%）小于任何一個(gè)單一預(yù)測模型，表明組合模型的預(yù)測精度優(yōu)于其中任一單一預(yù)測模型，且預(yù)測值與實(shí)際值非常接近，具有較高的預(yù)測精度。

表7 2007—2010年飛行事故萬時(shí)率四種預(yù)測模型預(yù)測值與實(shí)際值的比較Table 7 Comparison of actual values and predicted values of 4prediction models from 2007to 2010

4 結(jié)論

為了進(jìn)一步提高飛行事故預(yù)測精度，本文通過三種預(yù)測模型對待測年份前3年的飛行事故率進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)得出的各模型預(yù)測值與實(shí)際值的相對誤差，利用D-S證據(jù)理論對三種預(yù)測模型進(jìn)行融合，計(jì)算出融合后各模型的權(quán)重，進(jìn)而對待測年份的飛行事故率進(jìn)行預(yù)測。實(shí)例研究結(jié)果表明，采用D-S證據(jù)理論融合后的預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果比任何單一預(yù)測模型的精度都高，且融合過程簡單易行，為飛行事故預(yù)測提供了一種新的有效方法。

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