基于時(shí)移小波-灰色理論的邊坡位移預(yù)測(cè)模型研究

郭海慶，張 敏，黃 濤，艾純斌

(1.河海大學(xué)a.巖土工程科學(xué)研究所;b.巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098;2.中國(guó)市政工程?hào)|北設(shè)計(jì)研究總院有限公司海南洋浦分公司，海南洋浦 570125)

1 研究背景

邊坡變形穩(wěn)定性問(wèn)題一直是巖土工程領(lǐng)域備受關(guān)注的問(wèn)題之一，了解邊坡在不同時(shí)期的變形問(wèn)題直接關(guān)系到整個(gè)工程的成敗，因此，預(yù)測(cè)邊坡變形問(wèn)題得到了廣大學(xué)者的關(guān)注。目前國(guó)內(nèi)外常用的預(yù)測(cè)模型［1］有基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型如 BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，聚類模型和基于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型，如ARMA模型、ARCH模型。每種模型各有優(yōu)缺點(diǎn)，也有其適用的范圍。灰色系統(tǒng)理論是我國(guó)鄧聚龍教授［2］于1982年提出來(lái)的，是通過(guò)生成變換弱化原始序列的隨機(jī)性，將無(wú)規(guī)序列生成有規(guī)序列，能有效地對(duì)生成序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。而小波分析具有多分辨率的特性，在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種很有生命力的信號(hào)處理技術(shù)，它的一個(gè)重要應(yīng)用即數(shù)據(jù)去噪，數(shù)據(jù)去噪能對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理的同時(shí)保留真實(shí)信號(hào)的突變點(diǎn)。

本文將灰色理論和小波理論結(jié)合起來(lái)對(duì)監(jiān)測(cè)邊坡位移數(shù)據(jù)的偶然誤差和系統(tǒng)誤差進(jìn)行去噪處理，采用小波－MGM(1，n)［3］預(yù)測(cè)模型，通過(guò) MatLab 軟件對(duì)測(cè)得的深度位移信號(hào)進(jìn)行分解和重構(gòu)來(lái)模擬真實(shí)信號(hào)［4］，預(yù)測(cè)邊坡的位移變形，該模型較傳統(tǒng)的MGM(1，n)模型預(yù)測(cè)精度高，可為邊坡的治理和防護(hù)提供一定的參考依據(jù)。

2 時(shí)移小波-灰色理論在邊坡監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

2.1 時(shí)移小波相關(guān)性去噪基本方法

由測(cè)斜儀監(jiān)測(cè)的原始位移曲線由于受到自然因素、人為因素等的影響常呈齒狀突變分布，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪預(yù)處理來(lái)提高M(jìn)GM(1，n)預(yù)測(cè)模型的精度。目前常用的經(jīng)典小波去噪方法有模極大值去噪［5］方法、相關(guān)性去噪方法、小波閾值去噪方法。本文采用小波相關(guān)性去噪方法，時(shí)移小波系數(shù)相關(guān)性去噪源于空域相關(guān)性去噪方法［6］的研究?？沼蛳嚓P(guān)性去噪方法針對(duì)的是信號(hào)序列分解后不同尺度小波系數(shù)序列的相關(guān)性，而時(shí)移小波系數(shù)相關(guān)性去噪法針對(duì)的是不同時(shí)間信號(hào)序列分解同一層小波系數(shù)的相關(guān)性。時(shí)移小波系數(shù)相關(guān)去噪先將各時(shí)間的信號(hào)序列進(jìn)行小波分解，分解成近似系數(shù)和不同尺度小波系數(shù)，再算出各尺度小波系數(shù)序列的臨時(shí)同尺度相關(guān)系數(shù)，利用上述相關(guān)性，區(qū)別出相關(guān)系數(shù)很小的噪音所在的尺度，經(jīng)處理重構(gòu)后得出近似真實(shí)信號(hào)。去噪步驟如下:

(1)選定一種小波，對(duì)幾組相關(guān)信號(hào)進(jìn)行小波(小波包)分解，在MatLab中的分解命令為

(2)求這幾組信號(hào)的每個(gè)尺度的小波系數(shù)兩兩相關(guān)的相關(guān)系數(shù)。

(3)求各層小波系數(shù)鄰時(shí)的兩兩相關(guān)系數(shù)的層相關(guān)均值及所有均值的總相關(guān)均值。

(4)將層相關(guān)均值大于或等于總相關(guān)均值的該層小波系數(shù)全保持不變。

(5)將層相關(guān)均值小于總相關(guān)均值的該層小波系數(shù)用時(shí)間軸上的自相關(guān)系數(shù)來(lái)篩選，將自相關(guān)性明顯突出的小波系數(shù)保留，其他的去除。

(6)將選擇置零處理后的小波系數(shù)C在MatLab中小波重構(gòu)，得到去噪后的真實(shí)信號(hào)，重構(gòu)命令為

2.2 邊坡監(jiān)測(cè)值的小波－MGM(1，n)預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)方法

預(yù)測(cè)模型MGM(1，n)需要的是等間隔的數(shù)據(jù)序列，而我們所監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)一般不是等時(shí)間間隔的，因此在利用小波－MGM(1，n)模型時(shí)先采用分段線性插值對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，模型預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)方法如下［7］:

(1)選擇用來(lái)信號(hào)分解的基本小波類型，運(yùn)用MatLab中已有的小波分解的命令對(duì)深度－位移曲線進(jìn)行小波分解。

(2)建立MGM(1，n)模型，模型采用生成數(shù)列建模，設(shè)(t)(i=1，2，3，…，n)為n 個(gè)灰時(shí)間序列(t)(i=1，2，3，…，n)為相應(yīng)的一次累加生成序列，即

MGM(1，n)模型的n元一階常微分方程為

則式(5)可寫成矩陣形式，即

則式(6)的連續(xù)時(shí)間響應(yīng)式為

為求辨識(shí)參數(shù)A(v)和B(v)，將式(5)進(jìn)行離散化得到:

由最小二乘法得到A(v)，B(v)(A(v)，B(v)的最小二乘估計(jì))

式中:L=

模型MGM( 1，n) 的計(jì)算值為

(3)將得到的預(yù)測(cè)值在MatLab重構(gòu)，得到生成和預(yù)測(cè)的深度－位移曲線。

(4)計(jì)算預(yù)測(cè)曲線和實(shí)測(cè)曲線的殘差和自相關(guān)系數(shù)來(lái)校核模型的精度。

3 工程實(shí)例

3.1 工程概況

邊坡位于錦屏一級(jí)水電站壩址區(qū)右岸，地勢(shì)陡峻、基巖裸露、相對(duì)高差1 000 m有余，為典型的深切“V”型谷坡，其穩(wěn)定性對(duì)確保施工期和運(yùn)行階段的工程安全非常重要。該右岸開挖邊坡在2007年布置了3套活動(dòng)式測(cè)斜儀監(jiān)測(cè)邊坡內(nèi)部的位移，本文主要依托該邊坡布設(shè)在1 885 m高程拌和平臺(tái)的測(cè)斜孔VE01測(cè)點(diǎn)當(dāng)年的累積位移值進(jìn)行分析研究。本測(cè)斜管的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)包括A向(左右岸向，向左為正)和B向(上下游向，下游為正)，下文針對(duì)B向的系列值來(lái)進(jìn)行處理分析。

圖1為2007年6月至10月共9 d的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。高程1 885拌和平臺(tái)VE01的測(cè)值變幅一般都較大，這與該部位巖性及邊坡開挖有一定關(guān)系。后面的建模分析及預(yù)測(cè)以這9 d(6月16日至9月4日)的數(shù)據(jù)為主。表1為這9 d的具體監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。

圖1 VE01點(diǎn)B向的深度－累積位移Fig.1 Curves of cumulative displacement(in direction B)vs.elevation of point VE01

3.2 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)移小波處理與灰色模型建模分析

對(duì)于該系列累積位移值，首先采用時(shí)移小波相關(guān)性去噪方法對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)降噪處理。由于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔不等，因此先對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段線性預(yù)插值處理，然后對(duì)處理后的數(shù)據(jù)建立時(shí)移小波－MGM(1，n)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行分析。

為得到更加精確的預(yù)測(cè)值，本文的灰色預(yù)測(cè)模型MGM(1，n)采用了2種小波函數(shù)(分別為db5，db2)來(lái)進(jìn)行去噪分解處理，這2種小波的分解層數(shù)均為6層，各記為db5－6，db2－6，并以此為基礎(chǔ)在MatLab中編程實(shí)現(xiàn)了這2種小波－MGM(1，n)模型的預(yù)測(cè)。第1組預(yù)測(cè)模式db5小波是選取前6天的實(shí)測(cè)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，第7天的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性;第2組預(yù)測(cè)模式db2小波是選取前8天的實(shí)測(cè)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，第9天的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，利用殘差自相關(guān)系數(shù)來(lái)校核擬合值和預(yù)測(cè)值的準(zhǔn)確性。

(1)對(duì)VE01點(diǎn)B向9天的監(jiān)測(cè)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪平滑處理后，得到去噪后的深度－累積位移曲線見(jiàn)圖2。

(2)對(duì)去噪后深度－位移曲線做小波函數(shù)為db5的分解層數(shù)為6的6－1預(yù)測(cè)(即6組預(yù)測(cè)1組)以及預(yù)測(cè)曲線和實(shí)測(cè)曲線的殘差比較，預(yù)測(cè)曲線和殘差值分別見(jiàn)圖3和圖4。

表1 VE01點(diǎn)B向累積位移—深度監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Table 1 Monitored data of cumulative displacement(in direction B:upstream-downstream direction)vs.elevation of point VE01

圖2 VE01點(diǎn)B向去噪前后的深度－累積位移曲線Fig.2 Curves of cumulative displacement(in direction B)vs.elevation of point VE01 before and after de-noising

圖3 db5－6分解6－1曲線Fig.3 Six measured curves and one prediction curve with wavelet function db5 and 6 decomposition layers

對(duì)該種小波預(yù)測(cè)模式進(jìn)行精度檢驗(yàn)，其殘差自相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表2。

(3)對(duì)深度－位移曲線作小波函數(shù)為db2的分解層數(shù)為6的8－1預(yù)測(cè)(即8組預(yù)測(cè)1組)以及預(yù)測(cè)曲線和實(shí)測(cè)曲線的殘差比較，預(yù)測(cè)曲線和殘差值結(jié)果分別見(jiàn)圖5和圖6。

對(duì)該種小波預(yù)測(cè)模式進(jìn)行精度檢驗(yàn)，其殘差自相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表3。

圖4 db5－6分解6－1殘差Fig.4 Residuals of six measured curves and one prediction curve with wavelet function db5 and 6 decomposition layers

圖5 db2－6分解8－1曲線Fig.5 Eight measured curves and one prediction curve with wavelet function db2 and 6 decomposition layers

通過(guò)對(duì)小波函數(shù)為db5和db2的分解和重構(gòu)和比較殘差和殘差自相關(guān)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)時(shí)移小波－灰色理論能夠很好地模擬真實(shí)信號(hào)并預(yù)測(cè)出深度－位移曲線，用小波函數(shù)db2作6層分解的(8組預(yù)測(cè)1組)模式的效果不及用小波函數(shù)db5作6層分解的(6組預(yù)測(cè)1組)模式。當(dāng)然并不局限于這2種模式，可以通過(guò)改變小波函數(shù)、分解層次和基礎(chǔ)數(shù)據(jù)組數(shù)來(lái)尋求最佳的預(yù)測(cè)模式。

圖6 db2－6分解8－1殘差Fig.6 Residuals of eight measured curves and one prediction curve with wavelet function db2 and 6 decomposition layers

表2 db5－6－1小波預(yù)測(cè)的殘差自相關(guān)系數(shù)Table 2 Residual autocorrelation coefficient of db5 wavelet prediction

表3 db2－8－1小波預(yù)測(cè)的殘差自相關(guān)系數(shù)Table 3 Residual autocorrelation coefficient of db2 wavelet prediction

4 結(jié)論

本文基于時(shí)移小波－灰色理論基礎(chǔ)，利用Mat-Lab的軟件包工具箱，對(duì)測(cè)得的深度位移曲線進(jìn)行去噪處理并將時(shí)移小波進(jìn)行分解與重構(gòu)，得到如下結(jié)論:

(1)時(shí)移小波系數(shù)相關(guān)性去噪，利用了不同時(shí)間的白噪音的不相關(guān)性和真實(shí)信號(hào)的相關(guān)性，能較好地對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪平滑處理。

(2)小波－MGM(1，n)預(yù)測(cè)模型利用n組相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)下一階段的數(shù)據(jù)的精度較高，該方法可以任意選擇Daubechies(db N)小波系列中的函數(shù)類型、分解層數(shù)、起始曲線以及基礎(chǔ)數(shù)據(jù)組數(shù)，可以作出幾組預(yù)測(cè)，比較殘差后，選擇最佳預(yù)測(cè)曲線。

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