砂土液化等級預(yù)測的主成分-Logistic回歸模型

王軍龍

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，西安 710600)

1 研究進(jìn)展

砂土液化是在循環(huán)往復(fù)荷載作用下，飽和砂土層孔隙水位升高，有效應(yīng)力降低，造成地基承載力部分或者全部喪失，形成的一種破壞性嚴(yán)重的區(qū)域性地質(zhì)災(zāi)害。20世紀(jì)60年代以來，幾次大的地震，如日本新瀉地震(1964)、美國阿拉斯加地震(1964)、中國唐山大地震(1978)以及神戶大地震(1995)、汶川特大地震(2008)等均因砂土液化導(dǎo)致堤防或建筑物大規(guī)模的破壞，給人類造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失，砂土液化問題引起了工程界的廣泛關(guān)注［1－2］?？紤]單因素判定砂土液化具有一定的片面性，多因素綜合評判就成為砂土液化判別分析的一種可行方法。據(jù)此，國內(nèi)外的學(xué)者提出了多種綜合預(yù)測模型和方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量機(jī)模型、模糊綜合評價(jià)法、距離判別法、投影尋蹤模型、分形-插值模型［3－9］等。

總結(jié)上述模型和方法，可以將其分為2種類型:①以砂土液化分類標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)采用一定的數(shù)學(xué)方法建立模型，這類模型和方法主要包括模糊綜合評價(jià)法、投影尋蹤模型和分形-插值模型，其中投影尋蹤模型和分形-插值模型將砂土分類標(biāo)準(zhǔn)直接轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，易于使用，這類模型的有效性依賴于分類標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確性;②以一定的砂土液化樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對已有的模型和方法進(jìn)行訓(xùn)練，從而建立砂土液化預(yù)測模型，模型的有效性依賴于訓(xùn)練樣本的數(shù)量，這類模型和方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量機(jī)模型和距離判別法等。

從模型的通用性和實(shí)用性考慮，具有一定數(shù)學(xué)表達(dá)式的模型更易于被理解和應(yīng)用，其只需將實(shí)際數(shù)據(jù)輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式中即可計(jì)算出預(yù)測結(jié)果。為了建立簡單實(shí)用的砂土液化預(yù)測模型，本文結(jié)合主成分分析和Logistic回歸模型來描述砂土液化等級與影響因素之間的映射關(guān)系，建立了砂土液化預(yù)測的數(shù)學(xué)表達(dá)式。根據(jù)數(shù)據(jù)樣本的不同，該模型可以實(shí)現(xiàn)上述2種類型，即砂土液化分類標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)，以及砂土液化實(shí)例數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)。最后，工程實(shí)例分析結(jié)果顯示，本文建立的砂土液化預(yù)測模型簡單實(shí)用，預(yù)測效果良好，可以在工程中推廣應(yīng)用。

2 基本方法

對于砂土液化預(yù)測問題，砂土液化等級為類別變量［9］(不液化(Ⅰ)、輕微液化(Ⅱ)、中等液化(Ⅲ)、嚴(yán)重液化(Ⅳ)4個(gè)等級)，砂土液化指標(biāo)為連續(xù)變量，對于這種連續(xù)變量到類別變量之間的函數(shù)關(guān)系，可以采用Logistic回歸分析進(jìn)行描述。由于砂土液化指標(biāo)之間具有高度的相關(guān)性，直接建立Logistic模型，可能導(dǎo)致模型不穩(wěn)定、解釋上的沖突等［10］。為此，本文在建立Logistic回歸模型之前，采用主成分分析降低指標(biāo)之間的相關(guān)性，將多個(gè)指標(biāo)綜合為少數(shù)幾個(gè)彼此獨(dú)立的主成分，從而避免多重共線性的影響。

2.1 主成分分析

主成分分析是一種將多維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，簡化為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo)(主成分)的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。其建模過程具體如下:

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理。假設(shè)有m個(gè)樣本(i=1，2，…，m)，n 個(gè)指標(biāo)(j=1，2，…，n)，對原始數(shù)據(jù) X=進(jìn)行均值化處理，可保留數(shù)據(jù)內(nèi)的變異信息［11］:

(2)計(jì)算均值化數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣S=(sij)n×n。

(3)計(jì)算協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量。S的n個(gè)特征值記為:λ1≥λ2≥…≥λn，標(biāo)準(zhǔn)化特征向量為ajj=(aj1，aj2，…，ajn)，則第 i個(gè)樣本的第 j個(gè)主成分為

2.2 Logistic回歸模型

Logistic回歸分析的目的是建立經(jīng)驗(yàn)公式，以便由自變量預(yù)測因變量概率分布。令y=1，2，3，4表示砂土液化的4個(gè)等級。令q1=p(y≤1)，q2=p(y≤2)，…，q3=p(y≤3)，常用的 Logistic回歸模型是［12］:

式中:βi0為截距，i=1，2，…，4;β1，…，βn為斜率系數(shù);x1，…，xn為自變量。

由已有觀測值能估計(jì)出 βi0，β1，…，βn，從而砂土液化各等級的概率表達(dá)式:

這時(shí)對于給定的自變量x1，…，xn的值，由回歸方程可以預(yù)測 q1，q2，q3，再由 p(y=1)=q1，p(y=2)=q2－q1，…，p(y=3)=q3－ q2，p(y=4)=1－q3可以預(yù)測各砂土液化等級概率。根據(jù)各類別的概率，由可以確定響應(yīng)變量屬于類別y=l。

3 砂土液化等級預(yù)測的主成分-Logistic回歸模型

3.1 類型Ⅰ:砂土液化等級的數(shù)學(xué)表達(dá)

首先本文建立第1種類型的主成分-Logistic回歸模型，即模型的建立以砂土液化等級分類標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，應(yīng)用效果完全依賴于砂土液化等級分類標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確性。

3.1.1 評價(jià)指標(biāo)與分類標(biāo)準(zhǔn)

影響砂土液化的因素很多，但大體上可分為3大類:第1類是砂土特性，如土的種類、顆粒組成和密實(shí)度;第2類是土層埋藏條件;第3類是地震因素或稱地震條件。參考以往研究，選擇震級M，地面加速度最大值gmax，標(biāo)貫擊數(shù) N63.5，比貫入阻力 Ps，相對密度Dr，平均粒徑D50，地下水位dw7個(gè)因素作為評價(jià)指標(biāo)。各指標(biāo)的分類標(biāo)準(zhǔn)詳見文獻(xiàn)［9］。

3.1.2 生成樣本數(shù)據(jù)

由于本文模型的建立和參數(shù)的確定是由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，因此需要利用砂土液化分類標(biāo)準(zhǔn)來生成數(shù)據(jù)作為建?；A(chǔ)。由于正態(tài)分布是自然界中最常見的分布形式之一，按照各指標(biāo)的分類標(biāo)準(zhǔn)，每個(gè)指標(biāo)在每個(gè)等級范圍內(nèi)按照正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生20個(gè)樣本，其中分布參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差(3σ原理)按照下式確定:

式中:Cmax和Cmin分別為等級最大值和最小值為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

采用Matlab軟件normrnd()函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)，對于每個(gè)指標(biāo)采用同一組隨機(jī)數(shù)值，共形成80個(gè)評價(jià)樣本，將不液化(Ⅰ)、輕微液化(Ⅱ)、中等液化(Ⅲ)、嚴(yán)重液化(Ⅳ)分別賦予響應(yīng)值 4，3，2，1，具體如表1所示。

3.1.3 建立預(yù)測模型

首先按照本文介紹的主成分分析步驟，計(jì)算得到協(xié)方差矩陣的特征值為0.002，0.006，0.010，0.018，0.019，0.061，2.267，特征值 2.267 累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為95.1%＞85%，因此取其對應(yīng)的特征向量a=(－0.166，－0.366，0.497，0.388，0.425，0.338，0.382)。根據(jù)式(1)和式(2)得到主成分計(jì)算公式為

表1 樣本數(shù)據(jù)Table 1 Sample data

根據(jù)式(7)可計(jì)算各樣本對應(yīng)的主成分值，并用于建立Logistic回歸模型。獲得樣本的主成分值以后，采用Logistic模型建立各樣本對應(yīng)的主成分與經(jīng)驗(yàn)等級(響應(yīng)值)之間的函數(shù)關(guān)系。以SPSS軟件實(shí)現(xiàn)Logistic模型參數(shù)的求解，具體可以參閱相關(guān)軟件的介紹資料，本文不再復(fù)述軟件求解過程，得到模型表達(dá)式如下:

將各指標(biāo)實(shí)測值代入式(8)至式(11)中即可計(jì)算砂土液化屬于各等級的概率，從而確定砂土液化等級。Logistic回歸模型對上述樣本的擬合結(jié)果與實(shí)際結(jié)果完全一致，說明其可以很好地表達(dá)砂土液化等級分類標(biāo)準(zhǔn)。

3.2 類型Ⅱ:砂土液化實(shí)例的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)

上述第1種類型的主成分-Logistic回歸模型實(shí)現(xiàn)了砂土液化等級分類標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)，但是很容易發(fā)現(xiàn)砂土液化等級分類標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)產(chǎn)生的樣本完全滿足所有指標(biāo)的分級標(biāo)準(zhǔn)，而實(shí)際工程中，許多指標(biāo)數(shù)據(jù)并不可能同時(shí)屬于某個(gè)等級，并且分類標(biāo)準(zhǔn)的劃分具有主觀性。下面以砂土液化實(shí)例作為樣本數(shù)據(jù)來建立主成分-Logistic回歸模型，從理論上講這類模型應(yīng)該更符合實(shí)際，但是由于樣本數(shù)量的限制，也不易達(dá)到理想的預(yù)測效果。

3.2.1 評價(jià)指標(biāo)和樣本數(shù)據(jù)

同樣采用上述7個(gè)因素作為評價(jià)指標(biāo)，采用文獻(xiàn)［13］中提供的25組數(shù)作為分析樣本，具體數(shù)據(jù)詳見文獻(xiàn)［13］。其中前20組數(shù)據(jù)作為建模樣本數(shù)據(jù)，后5組數(shù)據(jù)則作為檢驗(yàn)樣本，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果。

3.2.2 建立模型

以20組建模樣本數(shù)據(jù)，按照本文介紹的主成分分析步驟，計(jì)算得到協(xié)方差矩陣的特征值為0.016，0.036，0.044，0.114，0.185，0.355，0.734，最大的前3個(gè)特征值累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為85.8%＞85%，因此取其對應(yīng)的特征向量計(jì)算前3個(gè)主成分。根據(jù)式(1)和

式(2)得到主成分計(jì)算公式為

根據(jù)以上各式可計(jì)算各樣本對應(yīng)的主成分值，并用于建立Logistic回歸模型。獲得了樣本的主成分值以后，采用Logistic模型建立各樣本對應(yīng)的主成分與經(jīng)驗(yàn)等級(響應(yīng)值)之間的函數(shù)關(guān)系。以SPSS軟件實(shí)現(xiàn)Logistic模型參數(shù)的求解，得到模型表達(dá)式如下:

將各指標(biāo)實(shí)測值代入式(15)至式(18)中即可計(jì)算砂土液化屬于各等級的概率，從而確定砂土液化等級。Logistic回歸模型對前20個(gè)樣本的擬合結(jié)果與實(shí)際結(jié)果完全一致，說明其可以很好地表達(dá)砂土液化等級與砂土液化指標(biāo)之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。

4 工程應(yīng)用

下面以實(shí)例數(shù)據(jù)驗(yàn)證和比較上述2種類型的主成分-Logistic回歸模型對砂土液化等級的預(yù)測效果。由于第1種類型的主成分-Logistic回歸模型采用的是分類標(biāo)準(zhǔn)生成的數(shù)據(jù)，首先以其對文獻(xiàn)［13］中提供的25組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，檢驗(yàn)預(yù)測效果，并與分形-插值模型［9］和可拓物元模型［13］進(jìn)行對比分析。本文僅列出了3種預(yù)測結(jié)果與實(shí)際結(jié)果存在差異的樣本，見表2。

從表2的預(yù)測結(jié)果可以看出，本文所建立的主成分-Logistic回歸模型與可拓物元模型具有相同的預(yù)測效果，都僅出現(xiàn)了2處與實(shí)際不一致的地方，預(yù)測準(zhǔn)確率92%，而分形－插值模型出現(xiàn)了3處與實(shí)際不一致的地方，預(yù)測準(zhǔn)確率88%，稍低于主成分-Logistic回歸模型。上述結(jié)果說明了本文所建立的第一種類型的主成分-Logistic回歸模型預(yù)測效果良好，可以使用。

表2 樣本實(shí)測值和不同模型的預(yù)測結(jié)果Table 2 Measured values of samples and model-predicted results

其次，以5組檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)對第2種類型的主成分-Logistic回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)，并與第1種類型的主成分-Logistic回歸模型進(jìn)行對比分析，結(jié)果見表3。

表3 2種類型的主成分-Logistic回歸模型預(yù)測結(jié)果Table 3 Predicted results of two types of PCA-Logistic models

從表3的結(jié)果可以看出，2種類型的主成分-Logistic回歸模型對樣本的預(yù)測等級完全一致，僅最后一個(gè)樣本與實(shí)際結(jié)果存在差異，從對各等級的概率結(jié)果來看，第2種類型的主成分-Logistic回歸模型計(jì)算樣本25屬于等級Ⅰ的概率更大(0.340＞0.117)，說明樣本25更偏向于等級Ⅰ，從這個(gè)角度來看，第2種類型的主成分-Logistic回歸模型預(yù)測結(jié)果確實(shí)更符合實(shí)際。如果能利用更多的實(shí)例數(shù)據(jù)，相信可以得到更好的預(yù)測效果。

5 結(jié)論

(1)現(xiàn)有砂土液化等級的多指標(biāo)預(yù)測模型可以分為2種類型:第1類以砂土液化等級分類標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，預(yù)測效果依賴于分類標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確性;第2類以實(shí)例數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，預(yù)測效果依賴于樣本的數(shù)量。

(2)根據(jù)砂土液化分類標(biāo)準(zhǔn)生成樣本數(shù)據(jù)，以主成分分析對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，以Logistic模型描述砂土液化等級與影響因素之間的映射關(guān)系(分類標(biāo)準(zhǔn))，建立了第1種類型的主成分-Logistic回歸模型，工程實(shí)例分析結(jié)果顯示該模型預(yù)測效果良好，可以在實(shí)際中應(yīng)用。

(3)以工程實(shí)例數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本建立第2種類型的主成分-Logistic回歸模型，用于描述砂土液化等級與影響因素之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，與第1種類型的主成分-Logistic回歸模型的對比結(jié)果顯示，第2種類型的主成分-Logistic回歸模型預(yù)測結(jié)果更符合實(shí)際情況，在具有較多實(shí)例數(shù)據(jù)時(shí)，其更具有應(yīng)用價(jià)值。

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