顯式積分求解橡膠元件剛度的方法研究

李海濤，周相榮，李 佳，王 強

(上海船舶設備研究所 減振中心,上海 200031)

顯式積分求解橡膠元件剛度的方法研究

李海濤，周相榮，李 佳，王 強

(上海船舶設備研究所 減振中心,上海 200031)

應用顯式積分與隱式積分兩種求解方法計算橡膠元件的垂向靜剛度，其中顯式積分采用斜坡、正弦、光滑三種加載函數進行位移加載。通過對比分析計算結果與試驗數據發(fā)現(xiàn)，其中斜坡加載的動能在計算初始時出現(xiàn)振蕩，而光滑加載與正弦加載的動能整個過程均并沒有出現(xiàn)振蕩；在大變形時，隱式積分求解方法由于出現(xiàn)網格畸變從而導致程序收斂失敗，此時顯式積分求解體現(xiàn)出優(yōu)勢，并且三種加載函數的計算結果幾乎無差別，并且與試驗數據吻合度比較好，最大誤差為5.7%。對于橡膠元件大變形問題，應用顯式積分求解靜剛度的方法是可行的，并且不同的加載函數會直接影響計算結果，尤其是在初始計算階段的結果的準確性有很大的影響。

振動與波；橡膠元件；大變形；靜剛度；顯式積分；加載函數

橡膠是一種在外力作用下能發(fā)生較大的形變，并且當外力解除后又能迅速恢復其原來形狀的有機高分子材料，在工程上廣泛用于制作減振降噪元件，如發(fā)動機減振器、機器支座、橡膠金屬懸掛元件等。靜剛度是橡膠元件設計時首先需要滿足的技術參數，能夠準確地預測其靜剛度特性曲線，對后續(xù)開發(fā)是否成功起到關鍵性作用。

橡膠材料應力—應變關系是具有高度非線性的彈性，這種材料行為稱為超彈性。超彈性材料在大應變值時，依然保持彈性，所以在計算橡膠元件的剛度尤其是在大變形時，要考慮到橡膠的超彈性，利用隱式積分求解橡膠元件非線性剛度時，會因大變形造成網格過度畸變或體積自鎖從而導致程序收斂失敗[1,2]。大變形問題的網格設計非常困難，設計網格時必須使單元形狀在整個分析中是合理有效的。對于網格大變形的靜態(tài)求解問題可以應用顯式積分方法求解，并且用顯式求解方法不會出現(xiàn)存在收斂問題，相對隱式算法的靜態(tài)求解更容易一些，并且當遇到大模型時，顯式也比隱式求解對系統(tǒng)資源的占有率較低，但是采用顯式求解方法需要解決的兩個重要問題是準靜態(tài)加載函數和加載時間的選擇。使用了顯式積分方法，不可避免地引入了動能，但是在準靜態(tài)加載過程中,若是內能光滑地變化，而不會有太大振蕩，并且動能在加載結束后能夠很快收斂于0，則認為此準靜態(tài)過程模擬質量很高[3,4]。國內，有學者通過選取適當質量縮放因子和采用材料的黏性阻尼來提高橡膠彈簧垂向靜剛度的顯式分析計算效率[5]。

本文應用隱式積分與顯式積分兩種方法計算某型號橡膠元件的垂向靜剛度，其中顯式積分采用斜坡、正弦、光滑三種加載函數進行位移加載，研究了斜坡加載、光滑加載與正弦加載對顯式積分準靜態(tài)過程的影響，并將計算結果與試驗數據進行對比分析，分析在大變形下顯式積分、隱式積分求解橡膠元件靜剛度的優(yōu)劣，得出了一些結論，供工程應用參考。

1 顯式積分求解靜態(tài)問題的基本原理

在求解靜態(tài)問題時，利用隱式積分求解方法，常常會因材料大變形，造成網格過度畸變或體積自鎖從而導致程序收斂失敗，此時可以通過顯式積分求解方法模擬準靜態(tài)求解靜態(tài)問題，并且用顯式求解方法不會出現(xiàn)存在收斂問題，相對隱式算法的靜態(tài)求解更容易一些，并且當遇到大模型時，顯式也比隱式求解對系統(tǒng)資源的占有率較低。

顯式求解方法是真正的動態(tài)求解過程，其最初是為了模擬高速沖擊問題而設計的。動態(tài)問題相對于靜態(tài)問題在求解過程中最大的不同是：慣性力發(fā)揮了主導性作用。所以將顯示動態(tài)過程應用于準靜態(tài)問題求解時，需要降低慣性力，并且使其對整個分析過程的影響可以忽略。但是降低慣性力會直接增加加載時間，所以在應用準靜態(tài)分析方法時，要在盡量降低慣性力影響的狀態(tài)下用最短時間進行模擬。

對于一個準靜態(tài)過程在其自然時間內進行分析，一般均可以得到準確的靜態(tài)結果，但是若是按照自然時間計算整個過程則計算代價會非常大。在靜態(tài)分析過程中，結構的最低階模態(tài)通?？刂浦Y構的響應，一般理想的是加載時間為最低階模態(tài)周期的10倍，以確保整個求解過程為真正的準靜態(tài)。對于準確、高效的準靜態(tài)分析要求施加的載荷盡可能光滑，任何突發(fā)的運動均會產生應力波，并且導致分析過程振蕩，結果不準確。光滑的加載方式是指加速度從一個增量步到下一個增量步只能改變一個相對小量，則其速度、位移也是光滑的。在數學上則表示為該加載曲線及其1階與2階導數均是光滑的。

本文采用三種加載方式進行位移加載：斜坡加載、光滑加載與正弦加載，加載函數如式(1)—式(3)所示，式中，t0為準靜態(tài)加載結束時間，t為時間，x0為加載的位移值，x(t)為位移x0的準靜態(tài)加載函數。

斜坡函數

2 有限元模型的建立

本文設計的橡膠元件主要由彈性裝置與質量環(huán)組成，質量環(huán)與彈性裝置通過螺栓緊固連接（如圖1），彈性裝置主要由內環(huán)與外環(huán)通過橡膠硫化組成，橡膠元件垂向最大變形量為10 mm。結構中橡膠材料的應力—應變曲線如圖2所示，并且橡膠材料采用Yeoh超彈模型進行模擬。超彈理論認為材料具體一種與應變率無關的非線性彈性特性，該類材料應力—應變關系可以用單位體積應變能來度量[6]，如式(4)。

圖1 橡膠元件

圖2 橡膠應力—應變曲線

Yeoh[7]通過分析應變能函數，忽略掉對應變能影響小的I2，將應變能函數簡化為I1的函數，完整的Yeoh模型表示為I1的三次多項式。式(5)應變能中的系數C10、C20、C30需要通過材料靜態(tài)單向拉、壓，剪切等試驗確定。一般受試驗條件限制，通常橡膠材料試驗只做單向壓縮、拉伸試驗，而Yeoh模型的好處是僅依靠單向拉、壓試驗數據就可以比較好地預測剪切等其它復雜的材料行為

將圖1所示的橡膠元件三維模型進行適當簡化處理，將不影響結構特性但是會影響網格質量的如螺栓孔、凸臺、倒角、螺栓、平墊片等結構省去，并將簡化后的模型導入Abaqus內，作為計算模型，并對其劃分六面體網格，如圖3所示。實際中，質量環(huán)與彈性裝置是通過螺栓進行緊固連接的，并且變形是發(fā)生在橡膠部分，所以可以通過綁定（Tie）接觸將質量環(huán)與彈性裝置固定。彈性裝置的橡膠與內外環(huán)是通過硫化固連在一起的，可以通過綁定（Tie）接觸進行模擬。將橡膠元件的內環(huán)通過耦合（Couple）約束到參考點2（RP-2），對參考點2施加位移載荷；質量環(huán)上表面區(qū)域通過耦合（Couple）約束到參考點1（RP-1），用位移約束進行固定。

圖3 橡膠元件有限元模型

本文采用隱式積分與顯式積分兩種方法計算橡膠元件的垂向靜剛度，其中顯式算法采用式（1）—式（3）所示的三種加載方式進行10 mm的位移加載，三種位移加載曲線如圖4所示。并且應用顯式積分求解橡膠元件垂向靜剛度時，對其垂向結構響應影響最大的是垂向第1階模態(tài)。通過計算得知橡膠元件的垂向第1階模態(tài)頻率為50 Hz，所以在計算橡膠元件時，加載時間為0.2 s。

圖4 加載曲線

3 計算結果分析

3.1 三種加載函數對顯示積分準靜態(tài)的影響

在查看橡膠元件靜剛度數值前，應該確定整個分析過程是否為準靜態(tài)。在橡膠元件受壓的過程中，內能主要是由于橡膠變形所產生的，而動能則是內環(huán)運動所產生的，所以可以比較整個模型分析過程的內能與動能歷史。為了確定整個過程為一個準靜態(tài)過程，動能應該不超過內能的5%～10%，并且整個過程的動能還要滿足不能振蕩，若是在光滑加載的情況下卻出現(xiàn)振蕩的能量結果，則計算結果是不合理的。

圖5為三種加載函數橡膠元件準靜態(tài)過程的動能與內能歷史對比曲線，動能與動能歷史對比曲線，從前三個內能與動能對比可以看出，三種加載方式在整個準靜態(tài)過程動能均遠遠小于內能，但是三種加載方式的動能在整個過程卻并不相同，其中斜坡加載的動能出現(xiàn)振蕩，并且在完成加載后動能也沒有收斂于0；而光滑加載與正弦加載的動能整個過程均是光滑地增大與光滑地減小，沒有出現(xiàn)振蕩，并且正弦加載的動能最大值也要小于光滑加載的30%。所以從對比動能與內能的方面，光滑加載與正弦加載的準靜態(tài)過程的模擬準確性要好于斜坡加載形式，光滑加載與正弦加載的計算結果相對于斜坡加載是更可靠的。

3.2 計算結果與試驗結果對比分析

將應用顯式積分、隱式方法求解得到的橡膠元件的力—位移曲線與試驗測得的力—位移曲線繪制在同一坐標系內，如圖6所示，隱式積分求解橡膠元件的靜剛度時，僅能計算到加載位移為5 mm，加載位移大于5 mm后便會出現(xiàn)網格畸變從而導致程序收斂失敗，所以對于變形量大于5 mm后，隱式積分算法失效。

圖6 橡膠元件力—位移曲線對比

圖5 三種加載方式能量對比

在變形量為0～0.5 mm，斜坡加載函數的計算結果明顯大于試驗數據、光滑加載、正弦加載與隱式積分求解的結果，與試驗數據最大誤差為62.1%，而這主要是由于斜坡加載方式在計算初始時，動能出現(xiàn)明顯波動造成的，如圖5所示，而另外兩種加載函數的計算結果與實驗數據的誤差均小于4%；在位移加載到1 mm以后，三種加載函數求解的力—位移曲線幾乎一致，主要是加載到1 mm以后三種加載過程的動能均不存在振蕩現(xiàn)象，并且遠遠小于內能的5%。由圖6所示可知，針對橡膠元件應用隱式積分與顯示積分（在位移為0～1 mm部分排除斜坡加載方式的計算結果）這兩種方法計算得到力—位移曲線在位移為0～5 mm內重合度很好。在位移為0～2 mm，顯式與隱式求解的力—位移曲線幾乎重合；在位移為2 mm～5 mm，顯式與隱式求解的力—位移曲線逐漸存在誤差，具體表現(xiàn)為：顯式求解的力—位移曲線在相同位移對應的力的逐漸小于隱式求解的，并且試驗獲得的力—位移曲線在介于兩者之間。在位移為0～5 mm內，隱式積分計算結果與試驗結果最大誤差在位移為5 mm處，為1.8%；顯式積分計算結果與試驗結果最大誤差也是在位移為5 mm處，為4%。在位移為5 mm～10 mm時，由于網格畸變從而導致隱式積分收斂失敗，此時只能應用顯式積分求解，顯式積分計算得到力—位移曲線與試驗數據隨著位移的增加誤差不斷增大，最大誤差達到5.7%，而造成產生這種誤差的原因是在橡膠在高度變形狀態(tài)下，橡膠的自由面進一步減少，而顯式積分中的體積壓縮模型無法精確模擬這一高度變形工況。對于橡膠元件大變形問題，顯式積分求解的力-位移曲線與試驗數據吻合度比較好，所以在最初設計時應用顯式積分求解靜剛度的方法是可行的。

4 結語

應用顯式積分與隱式積分兩種求解方法計算橡膠元件大變形下的靜剛度，其中顯式積分求解時采用斜坡、正弦、光滑三種加載函數進行位移加載。在小變形時，光滑加載與正弦加載的計算結果相對于斜坡加載是更可靠的，與隱式求解的結果、試驗數據吻合度很好；在大變形時，隱式積分求解方法由于出現(xiàn)網格畸變從而導致程序收斂失敗，此時顯式積分求解體現(xiàn)出優(yōu)勢，三種加載函數的計算結果幾乎無差別，并且與試驗數據吻合度比較好，最大誤差為5.7%。所以對于橡膠元件大變形問題，應用顯式積分求解靜剛度的方法是可行的，并且不同的加載函數會對計算結果，尤其是在初始計算階段的結果有很大的影響。

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Study on Explicit Integration Used for Solving the Stiffness of Rubber Element

LI Hai-tao,ZHOU Xiang-rong,LIJia,WANG Qiang
(Shanghai Marine Equipment Research Institute,Shanghai 200031,China)

The vertical static stiffness of rubber element is solved by the explicit integration and implicit integration, and three loading functions including ramp,sinusoidal and smooth function,are chosen in explicit integration.It is indicated by simulation analysis and experimental results that the kinetic energy of ramp function exists the oscillation,while the kinetic energy of smooth and sine function exists the no oscillation during the initial step time.In the large-strain,implicit integration is failing because of mesh distortion,then the explicit integration is high-efficiency and the simulation results are consistent with experimental results,the maximum error is 5.7%.It is efficient that the explicit integration is used for solving the large-strain stiffness of rubber element and the different loading functions affect the simulation results directly,especially during the initial step time.

vibration and wave;rubber element;large strain;static stiffness;explicit integration;loading function

O422.6

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.046

1006-1355(2015)02-0209-04

2015－01－10

作者信息：李海濤(1989－)，男，遼寧朝陽人，碩士研究生，研究方向為設備振動噪聲控制。E-mail:leewaver@163.com