函數(shù)奇偶性、周期性及圖象對稱性關(guān)系分析

謝瓊先

【摘 要】函數(shù)奇偶性、周期性及圖象對稱性的關(guān)系在數(shù)學(xué)中的重要性眾所周知，但其三者之間究竟有著什么樣的關(guān)系呢，本文就此進(jìn)行分析與探討。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)奇偶性;周期性;圖象的對稱性;關(guān)系分析

在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，其奇偶性、周期性及圖象的對稱性是非常重要的性質(zhì)，解題中有著廣泛的應(yīng)用。筆者在此想從函數(shù)的奇偶性、周期性定義出發(fā)進(jìn)行類比、聯(lián)想，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)探討它們之間及圖象的對稱性之間的相互聯(lián)系及應(yīng)用。

（一）首先奇偶函數(shù)及周期函數(shù)的定義及定義式：f（-x）=f（x）;f（-x）=-f（x）;f（x+T）=f（x）函數(shù)的奇偶性定義中涉及兩個(gè)方面關(guān)系，f（-x）與f（x），f（-x）與-f（x）。有理由問一下周期函數(shù)定義中若考慮兩方面關(guān)系又會怎樣呢？即有問題：f（x+T）=-f（x）時(shí)，f（x）的周期性怎樣呢？不難證明，此時(shí)2T為f（x）的周期;其次，再對比f（-x）.f（x）。把f（x+T）=f（x）與f（x+T）=-f（x）中f（x）用f（-x）代換，則又將有什么結(jié)論呢？同樣不難證明：若f（x+T）=f（-x），則f（x）為偶函數(shù)時(shí)，T為f（x）的周期;f（x）為奇函數(shù)時(shí)，2T為f（x）的周期.若f（x+T）=-f（-x），則f（x）為偶函數(shù)時(shí)，2T為f（x）的周期;f（x）為奇函數(shù)時(shí)，T為f（x）的周期。但事實(shí)上此時(shí)f（x）不一定是偶函數(shù)或奇函數(shù)，那么單從f（x+T）=f（-x）或f（x+T）=-f（-x）就不一定：若f（x+T）=f（-x）能推出f（x）的周期，可以證明：若f（x+T）=f（-x），則f（x+T）為偶函數(shù);若f（x+T）=-f（-x），則f（x+T）為奇函數(shù)。

至此，小結(jié)前面結(jié)果即有下面結(jié)論。

定理1：若f（x+T）=f（x），則f（x）是周期函數(shù)，且T為f（x）的周期;若f（x+T）=-f（x），則f（x）是周期函數(shù)，且2T為f（x）的周期;定理2：若f（x+T）=f（-x），則f（x）為偶函數(shù)時(shí)，T為f（x）的周期;f（x）為奇函數(shù)時(shí)，2T為f（x）的周期.定理3：若f（x+T）=-f（-x），則f（x）為偶函數(shù)時(shí)，2T為f（x）的周期;f（x）為奇函數(shù)時(shí)，T為f（x）的周期。定理4：若f（x+T）=f（-x），則對定義域內(nèi)任意x都成立;若f（x+T）=-f（-x），則f（x+T）為奇函數(shù)。（以上定理中函數(shù)定義域假定為R，同時(shí)等式對定義域內(nèi)任意x都成立，且T≠0）

把定理2，3結(jié)合起來，即有f（x+T）為偶函數(shù)且f（x）為偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)，且T為f（x）的周期;f（x+T）為奇函數(shù)且f（x）為奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)，且2T為f（x）的周期;從而可得下列定理;定理5：給出三個(gè)判斷：（1）f（x+T）為偶函數(shù)。（2）f（x）為偶函數(shù)，（3）f（x）是周期函數(shù)，且T為f（x）的周期;則以其中任兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論可得三個(gè)真命題。定理6：給出三個(gè)判斷：（1） f（x+T）為奇函數(shù)。（2）f（x）為奇函數(shù)，（3）f（x）是周期函數(shù)，且2T為f（x）的周期;則以其中任兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論可得三個(gè)真命題。

（二）另一方面，從奇函數(shù)與偶函數(shù)函數(shù)圖象的對稱性方面聯(lián)想f（x+T）的奇偶性與f（x）函數(shù)圖象的對稱性又有：定理7：f（x+T）為偶函數(shù)。f（x）的圖象關(guān)于直線x=T對稱;f（x+ T） 為奇函數(shù)。f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ T ，0）對稱。

至此，再結(jié)合對稱性與奇偶性的等價(jià)關(guān)系及定理4.5 又有定理8：給出三個(gè)判斷：（1） f（x） 圖象關(guān)于直線x=0 對稱。（2） f（x） 的圖象關(guān)于直線x= T對稱。（3）f（x） 是周期函數(shù)，且T為f（x）的周期;則以其中任兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論可得三個(gè)真命題。定理9：給出三個(gè)判斷：（1） f（x） 圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱（2） f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ T ，0） 對稱（3）f（x） 是周期函數(shù)，且2T為f（x）的周期;則以其中任兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論可得三個(gè)真命題。推論1： f（x） 為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x= T 對稱，則f（x） 是周期函數(shù)，且T為f（x）的周期;推論2： f（x） 為奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x= T 對稱，則f（x） 是周期函數(shù)，且2T為f（x）的周期。

（三）最后考慮對稱的一般性

f（x） 的圖象關(guān)于直線x= a 對稱且關(guān)于直線x= b 對稱。同樣可得到。定理10：給出三個(gè)判斷：（1） f（x） 圖象關(guān)于直線x=a 對稱。（2） f（x） 的圖象關(guān)于直線x=b對稱。（3）f（x） 是周期函數(shù)，且2（a-b）為f（x）的周期;則以其中任兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論可得三個(gè)真命題。定理11：給出三個(gè)判斷：（1） f（x） 圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱（2） f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0） 對稱（3）f（x）是周期函數(shù)，且4（b-a）為f（x）的周期;則以其中任兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論可得三個(gè)真命題。

以上結(jié)論從一定成度上反映了函數(shù)的奇偶性，周期性與圖象的對稱性的內(nèi)在聯(lián)系，利用這些結(jié)論不難解決一些相關(guān)問題。

總之，函數(shù)的奇偶性周期性及其圖象的有機(jī)結(jié)合在解一些綜合的函數(shù)問題是非常有用的，具備這些知識，在作題時(shí)會起到事半功倍的作用。

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（作者單位：江西省贛州市尋烏中學(xué)）