一個(gè)課本題根及其變式的探究

何洪標(biāo)　藍(lán)云波

人們都說(shuō)木有本，水有源，題有根.要想脫離茫茫的題海，必須追根溯源.所謂題根，就是那些源于基礎(chǔ)，又高于基礎(chǔ)，提煉于解題實(shí)踐，又能廣泛應(yīng)用于解題實(shí)踐的結(jié)論、習(xí)題、例題、各類試題.在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，若能重視題根及其變式的應(yīng)用，總能達(dá)到舉一反三、跳出題海并提高解題能力的功效.本文以課本中的一個(gè)著名題根為例，結(jié)合今年的高考題和模擬題談?wù)勊捌渥兪降膽?yīng)用，現(xiàn)分析如下.

1 課本題根及其應(yīng)用

題根 （人教A版選修22教材第32頁(yè)習(xí)題B組第1大題第3小題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式ex>1+xx≠0.

分析 要證明不等式，常見的做法是作差或作商，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用其最值證明不等式.結(jié)合此題，可用作差法.

證明 設(shè)f（x）=1+x-ex，x∈-∞，+∞，則f′（x）=1-ex，令f′（x）>0，得x<0，令f′（x）<0，得x>0.所以f（x）在-∞，0上單調(diào)遞增，在0，+∞上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）x+1x≠0.

點(diǎn)評(píng) 本題難度雖不大，卻是非常重要的不等式，在各類考試中經(jīng)?？疾?，其重要性不亞于課本中的重要定義、定理、性質(zhì).

例1 （2015年湖北卷第22題第1問(wèn)）求函數(shù)f（x）=1+x-ex的單調(diào)區(qū)間，并比較1+1nn與e的大小.

分析 利用本文的題根，并進(jìn)行恰當(dāng)賦值，即可得到所證不等式.

解析 f（x）的定義域?yàn)?∞，+∞，f′（x）=1-ex，令f′（x）>0，得x<0，令f′（x）<0，得x>0.所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞，0，單調(diào)遞減區(qū)間為0，+∞.當(dāng)x>0時(shí)，f（x）

點(diǎn)評(píng) 本題直接考查了課本的一個(gè)題根，體現(xiàn)出高考源于課本高于課本的原則.是課本題根的直接應(yīng)用.

例2 （2015年廣東卷）設(shè)a>1，函數(shù)f（x）=（1+x2）ex-a.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：f（x）在-∞，+∞上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)Mm，n處的切線與直線OP平行（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），證明：m≤3a-2e-1.

分析 （Ⅰ）可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.（Ⅱ）可利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性使問(wèn)題得到證明.（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出一個(gè)等式，結(jié)合所要證的結(jié)論并利用分析法，在進(jìn)行等式代換后，可知最后只需證明的不等式即是本文所給出的題根.

解析 （Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=2xex+（1+x2）ex=（x+1）2ex，x∈R.因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f′（x）≥0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞，+∞，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）證明 由（Ⅰ）知f（x）在-∞，+∞上單調(diào)遞增，且f（0）=1-a<0，fa-1=aea-1-a=aea-1-1.因?yàn)閍>1，所以a-1>0，a-1>0，

所以ea-1>1，故ea-1-1>0，故fa-1>0，所以x0∈0，a-1，使得f（x0）=0，又因?yàn)閒（x）在-∞，+∞上單調(diào)遞增，所以f（x）在-∞，+∞上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）證明 f′（x）=（x+1）2ex，令f′（x）=0，解得x=-1，所以點(diǎn)P-1，2e-a，所以kOP=a-2e.又因?yàn)閒（x）在點(diǎn)Mm，n處的切線與直線OP平行，所以f′（m）=kOP，即（m+1）2em=a-2e.而要證m≤3a-2e-1，只需證（m+1）3≤a-2e，

而（m+1）2em=a-2e，只需證（m+1）3≤（m+1）2em，只需證m+1≤em.

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-x-1，x∈R.所以h′（x）=ex-1.令h′（x）>0，解得x>0，令h′（x）<0，解得x<0.所以h（x）在-∞，0上單調(diào)遞減，在0，+∞單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=0，所以ex≥x+1，所以m+1≤em，所以m≤3a-2e-1得證.

點(diǎn)評(píng) 本題以課本的一個(gè)題根為依托進(jìn)行構(gòu)建試題，考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和分析法.第三問(wèn)較為隱蔽，若能利用分析法進(jìn)行逆向思考，則能化難為易.

例3 （2015年陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題二）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-1.

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證；g（a）≤0；

（Ⅲ）求證：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<（n+1）n+1.

分析 （Ⅰ）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化變?yōu)楹愠闪?wèn)題.（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.（Ⅲ）由題意得出課本題根，并進(jìn)行恰當(dāng)賦值，化為等比數(shù)列求和問(wèn)題.

解析 （Ⅰ）由題意知f′（x）=ex-a≥0對(duì)x∈R恒成立，且ex>0，故a的取值范圍為a≤0.

（Ⅱ）由a>0，及f′（x）=ex-a可得，函數(shù)f（x）在-∞，lna上單調(diào)遞減，在lna，+∞上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）的最小值為g（a）=flna=elna-alna-1=a-alna-1，則g′（a）=-lna，故當(dāng)a∈0，1時(shí)，g′（a）>0，當(dāng)a∈1，+∞時(shí)，g′（a）<0，從而可知g（a）在0，1上單調(diào)遞增，在1，+∞上單調(diào)遞減，且g（1）=0，故g（a）≤0.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)a=1時(shí)，總有f（x）=ex-x-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)x>0時(shí)，總有ex>x+1.于是可得x+1n+1

令x+1=1n+1，即x=-nn+1，可得1n+1n+1

令x+1=2n+1，即x=-n-1n+1，可得2n+1n+1

令x+1=3n+1，即x=-n-2n+1，可得3n+1n+1

……

令x+1=nn+1，即x=-1n+1，可得nn+1n+1

把以上各式相加得：1n+1n+1+2n+1n+1+…+nn+1n+1

=e-n1-en1-e=e-n-11-e=1-e-ne-1<1e-1<1.

故對(duì)任意的正整數(shù)n，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1

點(diǎn)評(píng) 本題是課本題根的精彩應(yīng)用，與數(shù)列知識(shí)進(jìn)行交匯，體現(xiàn)出在知識(shí)交匯處命題的思路，并由此得到一個(gè)優(yōu)美的數(shù)列不等式，令人拍案叫絕.

2 題根變式及其應(yīng)用

題根固然重要，其變式也不可輕視.由本文題根知，當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，恒有ex>x+1，兩邊取對(duì)數(shù)得lnex>ln（x+1），所以當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，恒有l(wèi)n（x+1）

例4 （2015年福建卷第20題第1問(wèn)）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），證明：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）

分析 由題根變式顯然得證，還可使用作差法，構(gòu)造函數(shù)通過(guò)最值證明不等式.

解析 令F（x）=f（x）-x=ln（x+1）-x，x∈0，+∞.

則有F′（x）=1x+1-1=-xx+1，當(dāng)x∈0，+∞時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，所以F（x）在0，+∞上單調(diào)遞減，故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）0時(shí)，f（x）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了本文課本題根的變式，它在解題中也具有重要地位.以此變式為依據(jù)的考題屢見不鮮，應(yīng)引起足夠的重視.

例5 （2015年廣東卷）數(shù)列{an}滿足：a1+2a2+…+nan=4-n+22n-1，n∈N*.

（Ⅰ）求a3的值；

（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn；

（Ⅲ）令b1=a1，bn=Tn-1n+1+12+…+1nann≥2.證明：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn<2+2lnn.

分析 （Ⅰ）逐一賦值可求解，兩式相減更快捷.（Ⅱ）繼續(xù)兩式相減，注意n=1的討論.（Ⅲ）由（Ⅱ）所求結(jié)果代入進(jìn)行化簡(jiǎn)求和，可用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，再進(jìn)行適當(dāng)放縮，通過(guò)題根變式使問(wèn)題得到圓滿解決.

解析 （Ⅰ）因?yàn)閍1+2a2+…+nan=4-n+22n-1；當(dāng)n=2時(shí)，a1+2a2=4-2+222-1=2；當(dāng)n=3時(shí)，a1+2a2+3a3=4-3+223-1=114，兩式相減得，a3=14.

（Ⅱ）因?yàn)閍1+2a2+…+nan=4-n+22n-1，①

所以當(dāng)n≥2時(shí)，

a1+2a2+…+（n-1）an-1=4-n+12n-2， ②

①減去②得nan=n+12n-2-n+22n-1=n2n-1，

所以an=12n-1.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=12n-1.

所以Tn=a1+a2+…+an=1+12+122+…+12n-1=1-12n1-12=2-12n-1.

即數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn=2-12n-1.

（Ⅲ）設(shè)cn=1+12+13+…+1n.則n≥2時(shí)，bn=Tn-1n+1+12+13+…+1n12n-1

=Tn-1cn-cn-1+cnTn-Tn-1=cnTn-cn-1Tn-1.

所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=b1+b2+…+bn=1+（c2T2-c1T1）+（c3T3-c2T2）+…+（cnTn-cn-1Tn-1）

=1+cnTn-c1T1=

1+12+13+…+1n2-12n-1<

21+12+13+…+1n.

設(shè)f（x）=ln（x+1）-x，-10，所以f（x）在-1，0上單調(diào)遞增，所以當(dāng)-1

所以12+13+…+1n

所以n≥2時(shí)，Sn<21+lnn=2+2lnn.當(dāng)n=1時(shí)，Sn=b1=1<2=2+2ln1.

綜上，對(duì)任意正整數(shù)n，恒有Sn<2+2lnn.

點(diǎn)評(píng) 本題以數(shù)列為載體，考查了題根變式的重要應(yīng)用.若能在平時(shí)的解題訓(xùn)練中注重題根及其變式，在求和之后不難使命題得到證明.

通過(guò)對(duì)一個(gè)課本題根與其變式的分析，溝通了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)散了數(shù)學(xué)思維.使無(wú)邊的題?；癁橛羞呺H的綠洲，能有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，并達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.在以后的教學(xué)中，題根教學(xué)是極為重要的一環(huán)，要引起教師的足夠重視.

作者簡(jiǎn)介 何洪標(biāo)，男，漢族，廣東興寧人.1968年7月生，中學(xué)高級(jí)教師，“嘉應(yīng)名師”，興寧市“學(xué)科帶頭人”，興寧一中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng).發(fā)表論文多篇.

藍(lán)云波，男，漢族，廣東興寧人.1981年10月生.中學(xué)一級(jí)教師.致力于高中數(shù)學(xué)教學(xué)和初等數(shù)學(xué)研究工作.已在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等專業(yè)期刊發(fā)表論文二十余篇.