縱橫聯(lián)系 互相詮釋 把握本質

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》第七條指出，“要強調對數(shù)學本質的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里”[1].可以說，把握教學內容本質是實現(xiàn)有效教學的根基.不論課堂教學形式怎樣變化，教師教學技能多么高超，如果一個教師不能深刻認識并準確把握教學內容的本質，就不能引導學生發(fā)現(xiàn)并理解所學內容的本質，也就不能實現(xiàn)學習中的有效遷移.

因此，教師必須深刻理解所教內容的本質，把握知識之間的縱橫聯(lián)系，并在教學中，合理選用、恰當運用教學方法或方式，引導學生學會運用聯(lián)系的觀點指導數(shù)學學習，認識內容本質，并在持續(xù)的學習中通過相互詮釋意義，進一步深刻理解這一本質，進而在學習相關內容過程中實現(xiàn)思維的“正遷移”，從而不斷提高學習能力和創(chuàng)新能力.

1 提出問題

例如“等比數(shù)列的前n項和”是數(shù)列這一章的重要內容之一，特別是等比數(shù)列前n項和公式及其推導更是重中之重.在眾多的推導方法中，教材中選擇的所謂“錯位相減法”尤為重要，主要是因為此法可以解決一類數(shù)列求和問題，更具有一般性.

但是在實際教學中，很多教師都對這個公式推導過程中，等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（q≠0，1）兩邊同時乘以公比q感到難以理解，學生更是在這種模模糊糊、似懂非懂的教學中感到一頭霧水，最后只得記住結論會應用、記住步驟會操作罷了.到底乘以公比q是怎么想到的？理論根源到底是什么卻始終不能參透.

有的教師認為：“錯位相減法”的本質可以類比等差數(shù)列前n項和公式推導過程中的“倒序相加法”，即構造一個新的式子，通過兩式的線性運算，得到一組常數(shù)列，從而推出公式.但是此種說法還是不能很自然地解釋“等式兩邊同時乘以公比q是如何想到”的.那么等比數(shù)列前n項和公式的推導方法到底是如何想到的呢？

2 本質探尋

我們先來看下面的事實.

在整式乘法中，平方差公式是一個重要的恒等式，我們總是習慣寫成如下形式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

其實，如果寫成（a-b）（a+b）=a2-b2的形式，通過類比會得到下面一系列式子：

（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，

（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4，

……

（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn.

如果我們令上式中的a=1，b=q，就得到下面的式子：

（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn.

對比等比數(shù)列前n項和的式子Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，不難發(fā)現(xiàn)：如果等式的右邊提出公因式a1，等式就變成了Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）的形式.而其中的一部分因式與等式（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn中的一部分因式完全相同.于是就會想到，如果在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的兩邊同都乘以1-q，便會得到：

（1-q）Sn=a1（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）. （1）

即（1-q）Sn=a1（1-qn），當q≠1時，就得到了等比數(shù)列的前n項和公式的一種表達式.

觀察（1）式還可以發(fā)現(xiàn)，此式可以看成是在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 （2）兩邊同時乘以公比q，得到等式qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn （3），然后（2）和（3）兩式再對應相減而得到的.至于為什么要“錯一位”，則是在等式相減的過程中，注意到了兩個式子中有一些相同項，為了兩式做減法更為方便直觀而進行的一種“技術操作”.

因此，“錯位相減法”的本質問題也就是教學難點，既不在于錯位，也不在于相減，而是為什么要在等式（2）兩邊同時乘以公比q，理解了這個本質問題，“錯位相減”這一方法就會顯得自然而然.

至此，我們看到了在推導等比數(shù)列前n項和公式中“等式兩邊同時乘以公比q是如何想到的”這一本質問題的內因.教學中，如果能夠抓住這個本質問題，就可以在此基礎上，探索出新的推導方法.比如：

因為Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

變形得Sn=a1+q（a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2），

即Sn=a1+qSn-1.

進一步變形可以得到Sn=a1+q（Sn-1+a1qn-1-a1qn-1），

即Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

移項得到（1-q）Sn=a1（1-qn），以下略.

3 基本結論

“大道至簡”，從上面對等比數(shù)列前n項和公式推導過程中所運用的“錯位相減法”本質的認識和理解過程，我們不難看出，對方法的數(shù)學本質的認識越是深刻，對數(shù)學方法本身的理解就越會是自然的，越會覺得這個方法是簡單的，而這樣自然簡單的方法當然是值得推廣的，至少可以解決一類這樣的問題.

盡管“學之道在于悟”，但是如果缺少了教師適時、適當、適度地點撥和指導，學生又如何想的深、悟的透.僅僅依賴學生自身領悟能力的“悟”，必然導致讓學生在大量機械重復的練習中，自己去感悟所學內容本質的情形，耗時費力，效果甚微[2].

章建躍博士在文章《追求數(shù)學課堂的本來面目》提出了“三個理解”的觀點，即理解數(shù)學、理解學生、理解教學這一有效教學的觀點，其中，理解數(shù)學是第一位的.因此，深刻把握數(shù)學教學內容的本質，準確抓住教學過程的真實問題是教師科學施教的根基.

深刻理解數(shù)學教學內容的本質，需要教師認真研讀整節(jié)、整章、乃至整個學科的全套教材，將本節(jié)課的內容放置于一章、一個模塊甚至整個中學數(shù)學知識體系中來審視，明了本節(jié)知識在整個中學數(shù)學知識體系中的地位和作用，明晰知識之間縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系[3].特別是，要充分利用先行知識為后續(xù)學習的知識提供穩(wěn)定的認知固著點，并能夠有效利用后續(xù)的知識較為全面和理性地詮釋先行的知識，從而做到在整體上和系統(tǒng)上準確把握教材，引導學生理解內容本質，解決真實問題，這樣做也可以避免一步到位，提高教材使用的有效性.

例如，三角函數(shù)起源并服務于平面幾何，是圓的幾何性質的一種解析表達.而三角公式實質上就“脫胎”于幾何命題.為了促進學生抓住三角函數(shù)的“靈魂”，避免把公式的理解陷于機械記憶與訓練的窠臼，教師需要設計有效的教學情境，增強學生的直觀操作和感性認識，使學生不僅能夠看到形式公式內部隱藏的幾何背景，還可以使學生感悟到平面幾何法研究三角的真正價值，并且領悟到知識的形式演變與研究動機之間的內在聯(lián)系[4].同時，教師還要抓住三角函數(shù)與向量、函數(shù)等相關知識之間的聯(lián)系，促進學生系統(tǒng)認識和整體把握知識.

當然，深刻理解數(shù)學教學內容的本質，還需要教師認真仔細地分析教材的編寫意圖，特別是要深入體會教材中一些重要欄目的教法預設，明確這些欄目的教學作用.另外，在教學設計與實施的過程中，教師還應該具有文獻研究意識，對某一數(shù)學教學內容的發(fā)展歷史、相關內容的教學研究現(xiàn)狀以及存在的問題進行文獻梳理，在充分研究的基礎上結合自身的教學經驗，創(chuàng)造性的開展教學設計與實施.正如我國數(shù)學家華羅庚先生所重視和提倡的，教學不是為了創(chuàng)造新知識，而是為了更有效的傳承知識，汲取前人的經驗和智慧.

可以說，基于數(shù)學教學內容本質理解基礎上的縱橫關聯(lián)、互相詮釋是培養(yǎng)學生理性精神和發(fā)展學生思維品質的有效方法.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數(shù)學通報，2011.6.

[3]章建躍.數(shù)學教育改革中幾個問題的思考[J].數(shù)學通報，2005.7.

[4]徐章韜.面向教學的數(shù)學知識——基于數(shù)學發(fā)生發(fā)展的視角[M].北京：科學出版

社，2013.119-123

作者簡介 白雪峰，男，1972年生，北京人，中學高級教師，北京市優(yōu)秀教師，北京市特級教師，北京數(shù)學會理事.主要從事中學數(shù)學教師培訓和中學數(shù)學教育教學研究工作.在全國中學數(shù)學青年教師教學觀摩與評比中獲一等獎，主持或參與了國家、市區(qū)多個課題的研究工作，多篇論文獲得全國和北京市一等獎.近年主編了《教師教學基本能力解讀與訓練（中學數(shù)學）》《幫你邁好教師職業(yè)生涯第一步》等教師培訓教材，參與編寫了《數(shù)學思想方法指導下的初中數(shù)學教學》等10余部論著，發(fā)表數(shù)學教學論文40余篇.