僅用結構響應數據識別系統模態(tài)參數的方法研究

霍兵勇，易偉建

（1.湖南大學土木工程學院，長沙410082；2.許昌學院土木工程學院，河南許昌461000）

僅用結構響應數據識別系統模態(tài)參數的方法研究

霍兵勇1，2，易偉建1

（1.湖南大學土木工程學院，長沙410082；2.許昌學院土木工程學院，河南許昌461000）

隨著實驗模態(tài)分析方法的廣泛應用和不斷發(fā)展，在工程應用中，研究者希望能減少限制條件，增加分析的可靠性。本文發(fā)展一種識別系統模態(tài)參數的新方法，本方法無需知道系統的輸入信息且不用建立系統模型，僅通過對測試記錄的響應信號進行頻譜分析即可識別系統的模態(tài)參數，依據系統中各響應點的信號，先采用離散反卷積方法從各響應點信號中分離出諧波參數作為初步的識別結果，在此基礎之上，結合頻域空間曲線擬合的方法修正識別結果中受頻譜混疊影響而偏差較大的諧波參數，再聯合這些已提取的諧波參數得到系統的模態(tài)參數。通過對實際結構測試數據的分析，證明本方法只用輸出數據識別的模態(tài)參數與模態(tài)分析軟件用傳遞函數識別的結果一致。

僅有輸出響應；系統模態(tài)參數識別；空間曲線擬合；頻譜混疊

1 前言

對結構進行動力測試時，重大結構往往無法獲知激勵信息，這種情況下，僅用響應數據識別系統模態(tài)參數在工程應用中有重要意義，本文介紹一套此類問題的處理方案。

實驗模態(tài)方法（EMA）是一種重要的結構動力性能分析方法[1]，在多個行業(yè)（機械、航空航天和土木等）已得到普遍應用，從測量數據中獲取的動力性能參數被公認為是接近于結構實際性能的[2]。利用未知激勵下（風、交通及環(huán)境激勵等）的振動信號對結構進行健康監(jiān)控是當前和未來研究的趨勢[3]，只用系統的響應數據識別系統的模態(tài)參數的研究也越來越受到廣泛關注[4～8]，但在已有的識別方法中往往依賴于系統的假設模型，進而在經典理論（頻響函數[3，4]，多自由度系統[6，9]，連續(xù)彈性體系理論[8]）的基礎上進行推導得到模態(tài)參數的表達式，依靠事先假設的系統模型可能會給計算結果帶來不確定因素，也常常不完全符合實驗數據的驗證[10]。無任何假設模型且僅依賴測試數據的參數識別方法應用于大型工程結構中將更加適當[11]。這就需要直接對動力測試的響應數據進行數字信號處理，然后估計出分析結構的模態(tài)參數，也有研究者嘗試這方面工作[12]。

一般情況下，系統一點響應的數字信號中包含多個諧波成分，諧波參數包括頻率、初相位、振幅和阻尼比。識別諧波的頻率和初相位相對容易，即使在某些小波變換方法識別諧波參數的研究中，仍然可用傅里葉頻譜分析識別頻率[13]，對信號頻譜中譜峰較獨立的情況，直接拾取峰值來確定頻率即可，工程應用中還常會遇到模態(tài)密集的情況，譜峰拾取方法并不可靠，因此需要尋求其他方法，比如用頻域曲線擬合和多自由度多項式近似的辦法[14]。

本文先用離散反卷積方法得到系統所有響應點的信號中所包含諧波成分的諧波參數作為初步識別結果，再對識別結果中受頻譜混疊影響而偏差較大的諧波參數做進一步修正，參考初步參數識別值，在待修正參數一定范圍內設定這些參數的取值區(qū)間和步長，依次把這些參數值帶入假設表達式中生成理論數字信號，找到其與實驗測試信號在同一頻域區(qū)間上的頻域復數序列之差的模的總和最小的一組參數組合，確定為最優(yōu)諧波參數，最后聯合這些結果得到系統的模態(tài)參數。分析過程中采用了對實際結構動力測試的數據，被測試構件是兩端簡支的鋼筋混凝土組合梁，用一次脈沖錘擊激勵條件下得到的包括兩端支座在內的11個響應點的加速度響應信號和傳遞函數。本方法只用輸出數據識別的模態(tài)參數與模態(tài)分析軟件用傳遞函數識別的結果一致。

2 系統各響應點信號的頻譜分析

若要僅用響應數據識別系統的模態(tài)參數，先要得到真實響應數據作為分析對象，然后按步驟展開討論，找出分析過程中遇到的問題，再逐步解決。

本研究中的測試構件叫做U形鋼板-混凝土組合梁，是從U形鋼板-混凝土高強螺栓連接組合空腹夾層板樓蓋[15]結構中分離出來的一條板帶，組合梁兩端簡支，支撐長度7 800 mm，梁高270 mm，下肋和上肋高度均為100 mm，中間有70 mm高的空腹，U形鋼板-混凝土組合梁見圖1，施工簡圖見圖2。動力測試中信號采集設備選擇迪飛（Data Physics）公司的動態(tài)信號分析儀SignalCalc DP730，力錘是PCB公司制造的模態(tài)力錘，型號為086D20；加速度傳感器為東華IEPE壓電式加速度傳感器，型號為DH105E。在梁上從一端到另一端按順序均勻布置11只加速度傳感器，動力測試平面布置見圖3，通過脈沖錘擊激勵其中一點，依次得到加速度響應信號a1到a11（包括兩端支座在內共11個響應信號），測試中采集信號長度和數據點數分別為4 s和65 536點，為顯示信號的更多細節(jié)，圖4中列出11個響應點1 s內的時域加速度響應信號，圖5是加速度響應信號對應頻譜s1到s11。從圖5中的頻譜來看，系統存在5個明顯的諧波成分，頻率分別是9.25 Hz，26.5 Hz、30 Hz、52 Hz和74.5 Hz。

圖1 U形鋼板-混凝土組合梁Fig.1 U-shaped steel plate-concrete composite beam

圖2 U形鋼板-混凝土組合梁施工圖（單位：mm）Fig.2 Constructional drawing of U-shaped steel plate-concrete composite beam(unit：mm)

圖3 動力測試平面布置圖Fig.3 Plan of dynamic test

圖4 簡支梁一次脈沖錘擊激勵下11點時域加速度響應信號（1 s）Fig.4 Eleven responses of a simply supported beam subjected to impulse excitation（1 s）

在支座附近高頻信號中出現峰值密集頻譜，從整體上判斷這種情況下的密集頻譜可能是由于結構與支座的相互作用而產生，最明顯的是在響應點11（見圖5 s11），在74.5 Hz附近出現了明顯的密集頻率成分（頻率：76.75 Hz），但支座以外的其他響應點則沒有該頻率諧波，因此不是結構固有頻率。在26.5 Hz附近也有類似情況，雖然在跨內響應點6～10有明顯譜峰，但是在響應點2～5譜峰很不明顯。采用本文介紹的信號處理方法識別模態(tài)參數過程中，暫時不分析這兩個頻率諧波。

在跨中附近，一階振型的幅值最大，而二階振型幅值接近于0，這個位置對于基頻參數識別最有利；由響應點8信號的頻譜可以發(fā)現（見圖5，s8），正好在52 Hz對應模態(tài)振型的節(jié)點附近，這種情況對與其相鄰的另外兩個頻率參數識別比較有利；一般來說有利情況下識別的參數相對較可靠，而節(jié)點附近識別的參數偏差較大。這種一般性規(guī)律在下面的參數識別值中也會得到證實。

3 離散反卷積方法識別系統參數

各響應信號中諧波的頻率f(Hz)和初相位θ(degrees)采用細化頻譜分析方法得到，用離散反卷積方法識別得到諧波振幅變化的時域序列，再依據識別的時域序列按指數衰減衡量諧波衰減程度，得到諧波的振幅和阻尼比。

為確定各頻率諧波的有效信號長度，先任意設定信號分段數再調整這一數值，最后選擇合適的分段數，把信號a3分成4段，對每段信號進行離散傅里葉變換（DFT），依次得到頻譜part1、part2、part3和part4，如圖6所示。

圖5 對應加速度響應信號的頻譜Fig.5 Spectrums of the acceleration responses correspondingly

圖6 信號a3分4段分別DFT得到的頻譜Fig.6 Spectrums acquired by means of DFT using four segments that signal a3 is divided into

確定信號中4個明顯諧波成分的頻率分別是9.25 Hz、30 Hz、52 Hz和74.5 Hz，由各段信號的頻譜中各頻率諧波幅值明顯與否確定4個諧波信號的有效長度分別為4 s、2 s、1 s和1 s。以上各值確定后，就可以計算得到4個頻率對應的所有模態(tài)參數，圖7是從11個響應信號中識別的對應4個頻率的全部模態(tài)參數，每行對應一個頻率的模態(tài)參數（頻率、初相位、阻尼比和振型），每階模態(tài)阻尼比和振型有兩個識別結果，是采用頻域序列峰值兩邊的頻域值分別計算得到。

圖7中直接給出了識別得到的模態(tài)參數結果，是通過聯合各響應點相同頻率諧波的參數得到的，具體聯合諧波參數得到模態(tài)參數的過程再做以下說明：第一，用細化頻譜譜峰直接確定諧波頻率和初相位；第二，用離散反卷積方法可以識別得到諧波振幅變化的時域序列，然后再以指數衰減模型擬合這個時域序列，得到振幅和阻尼比，理論上各響應點同頻率諧波的阻尼比和頻率相等，直接顯示在圖中，振型是依據初相位和振幅一起確定的曲線，每個響應點在其平衡位置附近做簡諧振動，一個周期內相位的變化區(qū)間為[0，360°），由初相位可以確定振幅在振動路線上的位置，幅度和位置共同確定出振型。

離散反卷積方法識別得到的是各頻率諧波的振幅隨時間變化的時域序列，可以稱之為阻尼序列，因這些時域序列正是反映了諧波振幅的衰減過程，圖8列出了9.25 Hz和30 Hz兩個頻率諧波的阻尼時域序列。

圖7 從11個響應信號中識別的對應4個頻率的模態(tài)參數（頻率，初相位，阻尼比和振型）Fig.7 Modal parameters(frequency，initial phase，damp ratio and modal shape)obtained from 11 responses

4 對初步識別結果可靠性的判斷

通過以上分析計算，得到了系統的模態(tài)參數，為判斷這些初步識別結果的可靠性，下面列出三方面的特征作為依據。

1）對系統某一確定頻率的模態(tài)參數，理論上各響應點的識別值符合如下特征：頻率完全相同；初相位相等或相差180°；阻尼比相等；振型大致符合正弦形狀，模態(tài)增加一階，振型的節(jié)點增加一個。

2）獨立頻率信號的頻譜有以下特征：從譜峰頻率向頻域坐標兩側的頻譜幅度單調減小到零，譜峰兩側的幅值頻譜大致對稱。如果符合獨立頻率信號的頻譜特征，說明該頻率頻譜受周圍頻譜混疊影響較小，參數識別相對容易，識別的參數也有較高可靠性；如果不符合獨立頻率信號的頻譜特征，比如兩個譜峰之間的頻譜幅度還未減小到零就連在一起，則參數識別難度增加，參數的誤差也明顯增大。

3）阻尼序列是諧波振幅變化趨勢的時域序列，可作為阻尼比和振幅的識別值可靠與否的參照。若阻尼序列與按假設阻尼模型擬合的曲線比較吻合，說明識別的參數較可靠，若兩者的曲線有較大差異，則需要做一定修正，同時也預示系統動力特性較復雜。

依據各響應點的模態(tài)參數、頻譜及識別的阻尼序列的特征對初步結果進行推斷，找出異常的參數值，然后逐一修正。

一階模態(tài)參數中的頻率和初相位，除兩個支座處的識別值偏差較大以外，梁跨內的值與理論特征相符，說明識別數據較可靠，簡支梁在振動過程中與邊界有相互作用，從而在支座處的響應受到外界擾動最大，此處響應信號中識別的參數有一定幅度的偏差是正?，F象；各響應點的頻譜符合獨立頻率信號的頻譜特征；各響應點的阻尼比有一定波動，其中響應點6（見圖5中s6）對參數識別最有利，而且識別的阻尼序列也與指數衰減曲線吻合較好，此響應點識別的參數的可靠性最高，其他響應點的阻尼序列與指數衰減曲線的差異較大，見圖8 a，比如點2中阻尼序列前端幅值明顯大于指數衰減曲線，說明該點的振動在開始時振幅有短暫的快速衰減，而后的更長的時間內衰減速度慢于開始的衰減速度，點5和點9中衰減序列的振幅先有短暫的增加后再單調衰減。可以判定一階模態(tài)參數中，需要修正阻尼序列的擬合區(qū)間。

二階模態(tài)參數中各響應點的頻率有一定波動，波動最大的兩個值，其一是點6因其接近該振型的節(jié)點，頻譜幅值較小，另一個點在支座處，點2～點5的頻率更加接近且整體上略小于點7～點10這4個較接近的值，從頻譜中可以發(fā)現，點7～點10受周圍頻譜的影響較大，同時初相位、阻尼比和振型都受到一定影響，但各響應點的參數波動范圍并不大；從識別的阻尼序列來看，點2～點5與指數衰減模型吻合較好，識別值可靠性較高，點7～點10中采用譜峰兩側頻域序列識別的阻尼序列有一定差異，依據獨立頻率信號的頻譜特征判斷，需要在點9和點10修正混疊頻譜的干擾。

圖8 9.25 Hz和30 Hz兩個頻率在各響應點識別的阻尼時域序列Fig.8 Identification of decay sequences correspond to two frequencies 9.25 Hz and 30 Hz

對以上兩階模態(tài)參數的分析中，包含了全部的修正情況，對介紹參數識別方法已經足夠，不再重復判斷其他的參數。

5 對初步結果的改進

對初步識別結果可靠性進行判斷后，得出需要修正的參數有以下兩類：一是重新選擇阻尼序列的擬合區(qū)間；二是受頻譜混疊影響較大的參數，或者說是頻譜密集區(qū)域的諧波參數。

對識別可靠的阻尼序列，且與指數衰減規(guī)律有一定差異的諧波衰減過程，采取截取識別序列的單調衰減部分重新做指數擬合。對圖8 a中d5、d6、d9和d10做修正擬合得到新的振幅和阻尼比，圖9顯示為對圖5 a中d5的重新擬合，修正后的阻尼比與其他響應點得到的可靠阻尼比完全相等，修正各點振幅后得到新的振型見圖10a。對于結構中的某些響應點中諧波振幅變化出現與指數衰減模型差異較明顯的現象，這是結構振動特性本身較復雜的緣故，說明系統的自由衰減響應不完全符合理論上的假設。

圖9 響應點5的基頻諧波阻尼序列的修正擬合Fig.9 Fitting correction of decay sequence of fundamental frequency for a5

對頻譜存在明顯混疊的頻域序列，整體考慮混疊區(qū)段的頻譜，并參考對參數識別比較有利的響應點的識別值設定待定諧波參數范圍和步長，循環(huán)搜索確定最優(yōu)諧波參數值，即以頻率為z軸，頻域序列實部和虛部分別為x軸和y軸，這樣頻域序列就可用空間曲線表示，把設定的各諧波參數的循環(huán)值逐一代入式（1）生成理論數字信號，能夠使理論信號和實驗信號的細化頻譜在頻譜混疊區(qū)段上最接近的一組諧波參數組合值即為最優(yōu)諧波參數，頻域曲線最接近的原則：在同一頻域區(qū)間上，兩頻域復序列之差的模的總和為最小。

式（1）中，f為循環(huán)頻率；A為振幅；θ為初相位；ζ為阻尼比。

支座的數據各諧波諧噪比較小，而且不是完全的自由響應（和支座之間有相互作用），因此支座處的諧波振幅直接用0做修正值與各響應點的振幅組成完整振型，修正后的各頻率模態(tài)振型見圖10。因對修正參數的判斷難免出現人為差錯，有些參數修正前后在數值上變化并不大，但上述判斷得出需要修正的參數是一個較大的范圍，這樣對保證結果可靠性方面有利，只是增加了一些計算量。

圖10 修正前后的振型和Mescope識別的振型Fig.10 Compare of mode shapes before and after modification with that obtained by Mescope

本次測試的響應結果是用沖擊力錘激勵得到，同時記錄下各點響應對應的傳遞函數，用模態(tài)分析軟件Mescope v5.1分析傳遞函數得到各頻率諧波對應的振型見圖10，除第三階振型（對應頻率52 Hz）局部有差異外，其他幾乎完全重合，圖10中為了比較振型的形狀，已把振型歸一化處理。各響應點識別的初相位和阻尼比中，第三階模態(tài)與理論特征相差稍大，初相位相差（0°±10°）或（180°±10°），阻尼比取平均值見表1，阻尼比最大偏差相對于平均值約有10%的波動。其他三個頻率對應的模態(tài)參數的識別值符合理論特征，兩種方法估計的頻率和阻尼比基本一致，結果列于表1。

表1 初相位和阻尼比估計值比較Table 1 Estimates of frequency and damp ratio by the method presented and Mescope

對從實驗數據中識別的模態(tài)參數的準確性，通過把識別的參數代入式（1）得到的理論信號和實驗信號在對應頻域坐標上的空間曲線進行比較來檢驗，圖11是響應點3的一段頻域區(qū)間上的兩條細化頻譜曲線，系統模態(tài)參數識別值得到的理論信號與實驗信號的頻域空間曲線吻合，證明本文介紹方法得到的參數識別值可靠。另外還有部分頻域空間曲線理論結果和實驗數據在某段頻域坐標上不及圖11中的吻合程度好，是結構本身復雜性所致，最終結果已是頻域空間曲線的最優(yōu)擬合。

圖11 參數估計值生成的理論信號和實驗信號的頻域空間曲線比較Fig.11 Compare the frequency domain space curve of real data with that of signal generated by the parameters of identification

對于密集頻譜中待定諧波參數范圍和步長如何確定的問題，一般來說在多個響應點中，總能找到較可靠的識別值，參考這些值，再選擇一個適當的范圍即可，若無從判斷，也可選擇一個較大的范圍，比如三階模態(tài)（52.00 Hz）中響應點3，頻率選擇循環(huán)區(qū)間[51，52.5]，步長選擇0.1 Hz，點2～點4和點8～點10的初相位值都在50°和100°之間，初相位的循環(huán)區(qū)間可選為[50，100]，步長定為5度，阻尼比參照頻譜峰值較大的幾個響應點2、3、9、10的識別值，循環(huán)范圍選擇[0.01，0.02]，步長定為0.001，幅值選擇初步識別幅值的0.8倍和1.2倍作為循環(huán)范圍的兩個邊界，步長為0.05。對兩個頻率頻譜混疊的頻域區(qū)段，先確定譜峰較大的諧波參數，然后確定譜峰較小的諧波參數，而且擬合譜峰較小的諧波時，循序參數雖為兩個頻率成分的8個參數，但選擇擬合區(qū)間時，只選擇該頻率單個譜峰附近的頻域區(qū)間，這樣可以減小來自較大譜峰的泄露頻譜對較小譜峰的沖擊，提高參數識別精度。

頻域曲線擬合方法識別諧波參數，可以適應于獨立頻譜和密集頻譜，還可以檢驗模態(tài)參數估計的準確程度，但需要對阻尼模型進行假設，另外擬合方法一般總會得到一組參數估計結果，計算過程中若參數設定范圍和擬合頻率區(qū)間選擇不當可能會給識別結果的準確性帶來一定影響，因此通過比較頻域空間曲線的相符情況檢驗識別的模態(tài)參數是必要的，如果相差較大，可以改變設定參數的取值范圍重新計算和檢驗，比如上面對響應點3阻尼比循環(huán)范圍做了重新選擇，最后確定為0.025。

另外，前面沒有分析26.5 Hz對應的模態(tài)，若要選擇該頻率進行分析，得到振型如圖12所示，很顯然與30 Hz頻率對應的模態(tài)是重復模態(tài)，產生的原因是系統與邊界之間有相互作用，可從以下幾點分辨：a.從信號頻譜來看，該頻率成分的譜峰在支座處較明顯，在梁的跨內只有部分響應點有明顯譜峰；b.分析此頻率對應的振型，形狀上與二階模態(tài)相似。重復模態(tài)有更明顯的特點：有一半的響應點的幅度明顯小于另一半的幅度，支座處的幅度較大。分析過程中不選擇這個頻率，在此只附帶簡單說明重復模態(tài)問題，對于系統的動力性能不再深入討論。

圖12 26.5 Hz對應的模態(tài)Fig.12 Mode shape for frequency 26.5 Hz

6 結語

本文通過對真實結構動力測試的響應信號的分析，發(fā)展了一種僅用系統響應數據識別系統模態(tài)參數的方法。本方法在具體計算過程中，使用測試的響應信號，通過細化頻譜分析得到各頻率諧波的頻率和初相位，進而采用離散反卷積方法得到阻尼比和振型，作為模態(tài)參數初步結果，對初步結果的可靠性，依據三方面的特征進行判斷并找出需要修正的參數，文中分析的響應數據的初步識別結果中有兩種修正情況：修正阻尼序列的擬合區(qū)間和修正混疊頻譜的干擾。更多的修正情況還有待在具體實踐中進一步探討。

離散反卷積方法識別獨立頻率頻譜的參數，可以客觀地揭示結構的阻尼特性，對受混疊影響的頻譜，離散反卷積方法的識別結果會出現不同程度的偏差，此時只能事先假設阻尼模型，設定參數范圍和步長，帶入理論公式生成理論信號，找到使理論信號與實驗信號的頻域曲線最吻合的一組諧波參數作為識別值，一般兩個頻率成分混疊的頻譜中有8個參數，各參數無法確定在較小的范圍內循環(huán)時，循環(huán)次數成倍增長，計算時間大大增加，應用中一定程度上會受到計算時間限制。對于混疊嚴重，而且幅值較小的情況，往往出現各響應點初相位相差大大超出0°或180°的情況，各響應點阻尼比也有明顯差異，模態(tài)參數的估計值背離了理論上的期望，最終的參數識別值也無法達到其他譜峰較大的頻率對應的模態(tài)參數的精確程度。當然，系統測試中由于測試信號本身原因（比如頻譜混疊、信噪比低、系統受到隨機激勵等）導致的識別結果不理想的現象，是絕大多數識別方法都會遇到的，此種情況往往要從識別方法和測試技術等多方面著手去解決問題。

用本文介紹的識別方法得到的模態(tài)參數與模態(tài)分析軟件Mescope的分析結果在很大程度上一致，說明本方法僅用響應數據識別系統模態(tài)參數能得到滿意結果。模態(tài)分析軟件的集成化程度高，計算速度快，在傳遞函數測量方便的情況下被普遍采用，本方法分析靈活，需要對數字信號處理原理有一定了解，工程應用中，只要能測試系統的響應數據，即使系統正常運行，模型建立困難，輸入激勵未知等情況，也可以嘗試應用。

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Identification of system mode parameters using response measurement only

Huo Bingyong1，2，Yi Weijian1
(1.College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China；2.College of Civil Engineering，Xuchang University，Xuchang,Henan 461000，China)

With the broadest application and development of modal analysis method，the demands such as less restrictive conditions and to increase the reliability of an analysis have been increased for more convenience in engineering applications.This paper presents a new modal analysis method without input data and any analytical models.Harmonic parameters of a point response can be extracted by spectrum analysis using the measurements obtained from structural testing.Preliminary results calculated by discrete deconvolution techniques are further modified by the frequency domain space curve fitting method.Modal parameters of system just come from a combination of these corrected results.The performed analysis and validation of real data indicate that the approach is feasible for engineering.Therefore，this paper provides the effective estimation scheme of modal parameters for experiment research on the system dynamic performance.

output-only response；identification of system mode parameters；space curve fitting；spectrum overlapping

TN911.72，TU317+.5

A

1009-1742(2015)01-0151-10

2013-10-14

霍兵勇，1979年出生，男，河北邢臺市人，博士研究生，主要從事結構健康監(jiān)測研究；E-mail：huo@hnu.edu.cn