融合系中態(tài)射的擴(kuò)張問題

郝成功，王 霞，常學(xué)武

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原030006）

0 引 言

本文所使用的符號和術(shù)語大多是標(biāo)準(zhǔn)的，具體可參考經(jīng)典群論教程［1-2］和Craven［3］的融合系教程［4］.特別地，本文總約定p為一個素數(shù).

Alperin等在經(jīng)典文獻(xiàn)［5-6］中研究了有限群中的Sylow交現(xiàn)象，由此引發(fā)了融合系（見定義2）理論的萌芽與發(fā)展［7-10］.作為范疇，態(tài)射的擴(kuò)張是一個核心技術(shù).本文將從態(tài)射擴(kuò)張的角度描述融合系中的Sylow交現(xiàn)象.

設(shè)G為有限群，P，Q∈Sylp（G）為G的兩個Sylow p-子群，稱P∩Q為關(guān)于P的極大Sylow交，若對任意R∈Sylp（G），只要P∩G≤P∩R，必有R=P或P∩R=P∩Q.可以驗(yàn)證，若P∩Q為關(guān)于P的有大Sylow交，其必為關(guān)于Q的極大Sylow交.進(jìn)而，如果對任意x∈CG（P∩Q），總有P∩Qx-1=P∩Q，則稱P∩Q為一個強(qiáng)Sylow交.

定理1 設(shè)G為有限群，P∈Sylp（G），Q＜P，φ∶Q→P為FP（G）中一個態(tài)射，則下述成立：

1）φ總可擴(kuò)張到一個Sylow交上.特別地，如果φ不可擴(kuò)張，則Q必為P中的一個Sylow交.反之，如果Q為P中的一個極大Sylow交，則存在某個φ不可擴(kuò)張.

2）令φ=cg，則φ不可擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)對任意x∈CG（Q），總有Q=P∩P（xg）-1.等價地，對任意D≤P，則D為強(qiáng)Sylow交當(dāng)且僅當(dāng)D存在一個不可擴(kuò)張的FP（G）-態(tài)射.

3）P中的極大Sylow交均為強(qiáng)Sylow交.

Craven在文獻(xiàn)［3］中對一般融合系定義了domestic交，并利用該概念給出Alperin融合定理［5］的簡潔證明.本文第二個結(jié)果即用態(tài)射擴(kuò)張刻畫飽和系的essential子群和domestic交.

定理2 設(shè)P為當(dāng)有限p-群，F(xiàn)為P上飽和融合系.如果Q∈Ff，則下述成立：

1）Q∈Fe當(dāng)且僅當(dāng)Q存在強(qiáng)不可擴(kuò)張的F-自同構(gòu).

2）Q∈Fd當(dāng)且僅當(dāng)Q存在不可擴(kuò)張的F-自同構(gòu).

1 預(yù) 備

定義1 設(shè)G為有限群，P∈Sylp（G）.則群融合系FP（G）是一個范疇，其對象為P的所有子群；對任意A，B≤P，態(tài)射集為

其中，cg為g誘導(dǎo)的共軛映射；FP（G）中態(tài)射合成為普通映射合成.

Puig將群融合系的概念推廣到一般融合系.

定義2 設(shè)P為有限p-群.稱范疇F為P上的一個融合系，如果F的對象為P的合部子群，對Q，R≤P，其態(tài)射集HomF（Q，R）為從Q到R的一些單同態(tài)，并滿足下面三個公理：

1）若g∈P和Q，R≤P滿足Qg≤R，則cg∈HomF（Q，R），其中cg∶Q→R為g所誘導(dǎo)的共軛映射；

2）對任意φ∈HomF（Q，R），同構(gòu)映射φ∶Q→Qφ屬于HomF（Q，Qφ）；

3）若φ∈HomF（Q，R）是同構(gòu)映射，則其逆φ-1∈HomF（R，Q）.

對任意Q≤P，簡記AutF（Q）=HomF（Q，Q）.顯然NP（Q）可共軛作用在Q上，記AutP（Q）為NP（Q）在Aut（Q）中的像，即有AutP（Q）?NP（Q）／Cp（Q）.顯然AutP（Q）≤AutF（Q）且Inn（Q）?AutF（Q）.再令OutF（Q）=AutF（Q）／Inn（Q）.如果存在F-同構(gòu)φ∶Q→R，則稱Q和R為F-共軛.

定義3 設(shè)G為有限群，P‖G|.稱子群M≤G為強(qiáng)p-嵌入子群，如果對任意g∈G-M，|G∶M|和|M∩Mg|均是p′-數(shù).

定義4 設(shè)F為有限p-群P上的融合系，Q≤P.

1）稱Q為fully normalized子群，若對Q的任意F-共軛R，總有|NP（Q）|≥|NP（R）|.

2）稱Q為F-centric子群，若對Q的任意F-共軛R，總有CP（R）≤R.

3）稱Q為F-essential子群，如果Q為F-centric子群，并且OutF（Q）包含強(qiáng)p-嵌入子群.

分別用Ff（Fc，F(xiàn)e）表示P的fully normalized（F-centric，F(xiàn)-essential）子群的全體.

目前研究最為廣泛也是最重要的當(dāng)屬下述所謂的飽和融合系.

定義5 設(shè)P為有限p-群，F(xiàn)為P上融合系.稱F為飽和融合系，如果

1）OutF（P）是p′-群；

2）對任意Q≤P和F-態(tài)射φ∶Q→P，若Qφ∈Ff，則總存在態(tài)射擴(kuò)張ˉφ∶Nφ→P，其中

可以驗(yàn)證有限群融合系FP（G）總是飽和的.

定義6 設(shè)F為P上飽和融合系，稱Q≤P為F的一個domestic子群，如果存在一個F-態(tài)射φ∶Q→P，使得Q和Qφ均為fully normalized的，并且Nφ=Q.記Fd為F的domestic子群全體.

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定義7 設(shè)P為有限p-群，F(xiàn)為P上一個融合系，Q≤P.設(shè)φ∶Q→P為一個F-態(tài)射.如果φ可擴(kuò)張到某個子群Q＜S≤P上，則稱φ是可擴(kuò)張的態(tài)射，否則稱之為不可擴(kuò)張的態(tài)射.記AuteF（Q）為Q的所有可擴(kuò)張自同構(gòu)生成的子群，稱為Q的可擴(kuò)張自同構(gòu)群.稱AutF（Q）-AuteF（Q）中元素為Q的強(qiáng)不可擴(kuò)張的自同構(gòu).

由定義可知AutP（Q）≤AuteF（Q）.特別地，如果Q∈Ff∩Fc，則α∶Q→Q可擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)Nα＞Q，據(jù)此推出

記OuteF（Q）=AuteF（Q）／Inn（Q），稱為Q的可擴(kuò)張外自同構(gòu)群.

2 證 明

定理1的證明 1）令φ=cg∶Q→P，則Qg=Qφ≤P，從而Q≤P∩Pg-1，所以cg∶P∩Pg-1→P∩Pg是φ的擴(kuò)張.特別地，若φ不可擴(kuò)張，則迫使Q=P∩Pg-1為Sylow交.反之，若Q=P∩Pg-1為極大Sylow交，考慮FP（G）-態(tài)射cg∶Q→P，則由Q的極大性知，cg不可擴(kuò)張.

2）必要性.設(shè)φ=cg∶Q→P不可擴(kuò)張，由1）知，Q=P∩Pg-1.對任意x∈CG（Q），Q=Qx≤Pg-1.即Q≤（Pg-1）x-1=P（xg）-1，從而Q≤P∩P（xg）-1.顯然cxg∶P∩P（xg）-1→P∩Pxg是cg的一個擴(kuò)張，與cg不可擴(kuò)張矛盾，迫使Q=P∩P（xg）-1，?x∈CG（Q）.

充分性.假設(shè)ch∶X→P是cg∶Q→P的一個擴(kuò)張，不妨設(shè)X=P∩Ph-1.則ch=cg∶Q→P，所以x=hg-1∈CG（Q），則X=P∩Ph-1=P∩P（xg）-1=Q，故cg不可擴(kuò)張.

3）由1）知，如果Q為P中的一個極大Sylow交，則存在某個φ不可擴(kuò)張，故Q為P中的一個強(qiáng)Sylow交.

下述引理提供了融合系中domestic子群若干等價描述及基本性質(zhì).

1）A∈Fd.

2）存在某個α∈AutF（A），使得Nα=A.

3）存在某個α∈AutF（A），使得AutP（A）∩AutP（A）α=Inn（A）.

4）OutF（A）關(guān)于素數(shù)p存在平凡的Sylow交.

證明 1）?2）由domestic子群的定義知，存在B≤P和F-同構(gòu)φ∶A→B，使得A和B均為F-完全正規(guī)化的，并且Nφ=A.又因?yàn)锳utP（B）φ-1∈SylP（AutF（A）），故 存 在α∈AutF（A），使得AutP（B）φ-1=AutP（A）α.由Nφ=A，知AutP（B）φ-1∩AutP（A）=Inn（A），即AutP（A）α∩AutP（A）=Inn（A）.由 定 義Nα=ACP（A），又由ACP（A）≤Nφ=A，所以Nα=A.

2）?1）顯然成立.

2）??3）??4）由上述證明過程可得.

為證明定理2，需要下面結(jié)論.

引理2 設(shè)G為有限群，p為|G|的素因子，任取P∈Sylp（G），令

則G存在強(qiáng)p-嵌入子群當(dāng)且僅當(dāng)M＜G.此時M即為G的一個強(qiáng)p-嵌入子群.

證明 假設(shè)G存在一個強(qiáng)p-嵌入子群X，其共軛仍為強(qiáng)p-嵌入子群，故可選取X＞P.任取g∈M，則1＜P∩Pg≤X∩Xg，按定義g∈X，據(jù)此可知M≤X＜G，即M＜G.

反之，假設(shè)M＜G，只需證M為G的一個強(qiáng)p-嵌入子群.顯然P≤M.任取g∈G，如果M∩Mg不是p′-子群，則存在非平凡p-子群R使得R≤M∩Mg，則Mg-1≤M，但P∈Sylp（M），故存在x∈M使得Rg-1≤Px，此時P∩Pxg≥R＞1.根據(jù)M的定義，有xg∈M，亦即g∈M或M=G，矛盾.因此M為G的強(qiáng)p-嵌入子群.

定理2的證明 1）如果Q∈Fe或Q存在強(qiáng)不可擴(kuò)張的F-自同構(gòu)，則按定義均有Q∈Fc.由此表明為證本結(jié)論，可不妨設(shè)Q∈Fc.因?yàn)镼∈Ff，故AutP（Q）∈Sylp（AutF（Q）），此時顯然OutP（Q）∈Sylp（OutF（Q））.又因?yàn)镼∈Fc，按定義CP（Q）≤Q，所以QCP（Q）=Q＜P，表明Inn（Q）＜AutP（Q），從 而1＜OutP（Q）≤OuteF（Q）.由引理2知OutF（Q）存在強(qiáng)p-嵌入子群當(dāng)且僅當(dāng)AuteF（Q）＜AutF（Q），按定義

所以Q∈Fe當(dāng)且僅當(dāng)Q存在強(qiáng)不可擴(kuò)張的F-自同構(gòu).

2）由引理1直接可得.

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