向量

閆曉慶

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景。它既有“形”的直觀，又有“數(shù)”的抽象，是數(shù)形結合與轉換的紐帶，并廣泛應用于生產實踐和科學研究中。向量的應用是一種新的思想方法，新的探索問題的途徑，通過向量可以展示一種新的思維能力和創(chuàng)新意識。

向量作為工具研究幾何問題，開創(chuàng)了研究幾何為題的新方法，把幾何的直觀性與代數(shù)運算有機地結合起來，使直觀的幾何關系代數(shù)化，抽象的運算直觀化，這樣就使數(shù)與形有機地結合起來。運算是向量的靈魂，是連接數(shù)與形的紐帶，它建立了代數(shù)運算與幾何圖形之間的對應關系，使我們能夠通過代數(shù)運算來研究幾何問題。

下面就談談向量這把金鑰匙在幾何中的應用：

—、在解析幾何中的應用

向量法在解析幾何中的應用主要是通過建立直角坐標系，把幾何問題坐標化、代數(shù)化，利用代數(shù)法研究曲線性質。用向量法解決解析幾何問題的優(yōu)越性在于將錯綜復雜的位置關系演化為純粹的代數(shù)運算。

運用向量方法解決解析幾何問題的一般步驟是：

（1）建立解析幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；

（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

（3）把運算結果翻譯成幾何關系。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設O為坐標原點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q。當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積。

向量法可以使問題簡單化，它為解析幾何問題開辟了一條新途徑，但是要對解析幾何中圖形的位置關系和數(shù)量關系進行認真分析，充分挖掘問題的向量背景。

二、向量在立體幾何中的應用

在學習平面向量的基礎上，選修2-1引入了空間向量，拓展了解決立體幾何問題的路子，大大降低了思維度。而用空間向量的方法解答立體幾何問題，關鍵在于根據圖形建立空間直角坐標系，將向量用坐標表示，再根據題目要求，通過向量的運算，判定或證明空間元素的位置關系。

例：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點。

由此可見，向量法處理立體幾何問題，思路明確，易于下手，避免了復雜的空間想象，降低了解題的難度，增強了可操作性，消除了學生的畏懼心理。

因此，向量確實是解決幾何問題強有力的工具。所以，在整個高中的數(shù)學學習中，如能學會用向量方法處理數(shù)學問題，這不僅可使相應問題的解法簡潔，而且反復地應用能幫助學生深入理解向量概念，熟練掌握向量的運算，更能學到數(shù)形結合、轉化變形等重要的數(shù)學思想，能明顯減輕學生和教師的負擔，同時為學生進入高校進一步學習高等數(shù)學打下良好的基礎。

因此，向量是解決幾何問題的一把金鑰匙。

編輯 王團蘭