基于操作空間的機(jī)械臂自適應(yīng)模糊魯棒控制

王光勇，杜巧玲，劉振澤，尹蒼穹

(吉林大學(xué)a.通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022;b.電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春130012)

基于操作空間的機(jī)械臂自適應(yīng)模糊魯棒控制

王光勇a，杜巧玲b，劉振澤a，尹蒼穹a

(吉林大學(xué)a.通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022;b.電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春130012)

為提高動(dòng)力學(xué)模型不確定的機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤精度，提出了一種基于操作空間的自適應(yīng)模糊的魯棒軌跡跟蹤控制方法?？紤]存在未知的外部擾動(dòng)和其他未建模動(dòng)態(tài)，引入GL(General Linear)矩陣及其乘法算子，利用模糊系統(tǒng)逼近任意非線性函數(shù)的能力對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，通過(guò)魯棒控制項(xiàng)抑制建模誤差和有界擾動(dòng)。該方法無(wú)需求解機(jī)械臂在操作空間的動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器能達(dá)到較好的軌跡跟蹤效果。

操作空間;機(jī)械臂;模糊控制;自適應(yīng)控制;魯棒控制

0 引 言

機(jī)械臂的問(wèn)世使工業(yè)得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展。近年來(lái)，隨著科技水平不斷提高，亟需更智能化的機(jī)械臂去執(zhí)行較為復(fù)雜的操作任務(wù)。針對(duì)此類問(wèn)題，一些學(xué)者將智能控制應(yīng)用到機(jī)械臂控制領(lǐng)域，提出了許多智能控制新策略，如自適應(yīng)控制［1-3］、魯棒控制［4］、滑?？刂疲?］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［6，7］及模糊控制［8］等。關(guān)于機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制已經(jīng)較為成熟，但以往對(duì)于自由空間機(jī)械臂的軌跡控制都是在關(guān)節(jié)空間實(shí)現(xiàn)的，其期望的運(yùn)動(dòng)軌跡也是隨意選取的。然而，對(duì)于受到任務(wù)約束的機(jī)械臂，其運(yùn)動(dòng)任務(wù)一般都是在操作空間定義的，因此，研究操作空間下的機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問(wèn)題具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

一些學(xué)者針對(duì)工作在操作空間的機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出了多種控制策略。Kelly等［9］提出了一種級(jí)聯(lián)控制方法，研究了工作在操作空間的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題。該級(jí)聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)環(huán)為關(guān)節(jié)速度反饋，并設(shè)有基于模型的速度控制器;外環(huán)完成運(yùn)動(dòng)控制，提供需要的關(guān)節(jié)參考速度;同時(shí)給出了這類級(jí)聯(lián)系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。Moreno-Valenzuela等［10］針對(duì)操作空間下機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出一種不需要測(cè)量關(guān)節(jié)速度的控制方法?？刂破靼ㄖ?、副兩部分，主控制器用來(lái)測(cè)量關(guān)節(jié)位置信息求得關(guān)節(jié)實(shí)際速度;副控制器用來(lái)計(jì)算機(jī)械臂完成任務(wù)所需要的關(guān)節(jié)期望加速度以及速度。Galicki［11］針對(duì)操作空間移動(dòng)機(jī)械臂，討論了其受狀態(tài)平衡和不平衡約束下末端執(zhí)行器的軌跡跟蹤控制問(wèn)題。Wang等［12］針對(duì)操作空間下機(jī)械臂，提出一種分層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿形控制方法。在外環(huán)，運(yùn)動(dòng)學(xué)控制用來(lái)解決期望仿形的切線、法線以及副法線方向的誤差動(dòng)力學(xué)耦合問(wèn)題;內(nèi)環(huán)引入RBF(Radial Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用來(lái)逼近未知非線性函數(shù)。Pham等［13］考慮機(jī)械臂末端執(zhí)行器或鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)受限的情況下，提出一種新穎的操作空間控制方法，即在有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的障礙存在時(shí)，提出了一種運(yùn)動(dòng)控制方案，該方法可利用常規(guī)操作空間控制方案來(lái)控制末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡。上述文獻(xiàn)所述控制方法都需要系統(tǒng)模型已知或部分已知，需要求解機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型。很明顯對(duì)于不同任務(wù)的機(jī)械臂，其結(jié)構(gòu)是不確定的，且求解過(guò)程比較復(fù)雜，不易實(shí)現(xiàn)。

筆者針對(duì)基于操作空間的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡控制問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)模糊魯棒控制策略。在機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型不確定的情況下，通過(guò)模糊系統(tǒng)補(bǔ)償機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)并設(shè)計(jì)魯棒控制項(xiàng)抑制了系統(tǒng)建模誤差和有界擾動(dòng)，從而達(dá)到滿意的軌跡跟蹤效果。該方法簡(jiǎn)單有效且無(wú)需求解機(jī)械臂在操作空間的動(dòng)力學(xué)模型，減少了計(jì)算量并提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

1 問(wèn)題描述

由于機(jī)械臂的任務(wù)一般在工作空間笛卡爾坐標(biāo)系下給出，用X∈Rn表示機(jī)械臂在工作空間中的位置，則機(jī)械臂的工作空間速度和關(guān)節(jié)速度之間存在如下關(guān)系

其中J(q)∈Rn×n表示機(jī)械臂的雅克比矩陣，在此假定它在有界的工作空間中是非奇異矩陣。對(duì)式(1)求導(dǎo)可得到工作空間的加速度為

因此，機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)可用工作空間坐標(biāo)表示為

考慮一個(gè)n自由度機(jī)械臂，其動(dòng)力學(xué)方程可描述為

將式(1)～式(3)代入機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程中，則可得到機(jī)械臂在工作空間的動(dòng)力學(xué)方程

性質(zhì)1 慣性矩陣MX(q)是對(duì)稱正定矩陣。

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

設(shè)Xd(t)是機(jī)械臂末端在工作空間的理想軌跡，和分別為理想的速度和加速度。定義跟蹤誤差和滑模變量如下

對(duì)滑模變量S(t)求導(dǎo)，并將式(6)、式(7)代入到機(jī)械臂工作空間動(dòng)力學(xué)方程(5)中，可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)誤差方程為

成立。

設(shè)計(jì)控制律為

證明 選取Lyapunov函數(shù)為

對(duì)式(12)求導(dǎo)并根據(jù)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)的斜對(duì)稱性可得

在上面的分析中，要實(shí)現(xiàn)控制律式(11)需要函數(shù)w是精確已知的，也即機(jī)械臂在工作空間的動(dòng)力學(xué)模型是精確已知的，然而，在現(xiàn)實(shí)情況中，系統(tǒng)在工作過(guò)程中通常存在著未知的外部擾動(dòng)和其他未建模動(dòng)態(tài)，這些不確定性會(huì)導(dǎo)致控制器的控制性能下降。為解決這類問(wèn)題，引入GL(General Linear)矩陣及其乘法算子，采用模糊系統(tǒng)在線建模進(jìn)行動(dòng)力學(xué)前饋補(bǔ)償，通過(guò)魯棒控制項(xiàng)抑制建模誤差和有界擾動(dòng)。

采用模糊系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)模型中的MX(q)、CX(q，˙q)和GX(q)進(jìn)行逼近

通過(guò)GL矩陣及其乘法操作，則機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型中的各項(xiàng)可寫(xiě)為

則可將控制律式(11)修改為

其中kr=diag{kr1，…，krm}為正定對(duì)角矩陣，且通過(guò)下面的自適應(yīng)律進(jìn)行更新

定理2 考慮工作空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)式(5)，其中對(duì)于任意有界的建模誤差，存在正定函數(shù)，使，如果設(shè)計(jì)如式(21)所示的控制律，式(22)～式(24)所示的自適應(yīng)律，則機(jī)械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差將最終一致有界。

證明 考慮下面的Lyapunov函數(shù)

求Lyapunov函數(shù)對(duì)時(shí)間的微分可得

根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2，將控制律式(21)代入式(26)可得

將自適應(yīng)律式(22)～式(24)代入式(27)，考慮到kr＞‖E‖，可得

其余的證明過(guò)程和定理1相同。為了獲得較好的控制效果，一般情況下，在設(shè)計(jì)模糊魯棒滑?？刂坡蓵r(shí)，應(yīng)選取盡可能小的ε，當(dāng)ε=0時(shí)，在控制律式(21)下，跟蹤誤差一致漸近地趨近于零。

3 仿真分析

為驗(yàn)證所提出的控制方案的有效性，將其用于圖1所示的二自由度機(jī)械臂，動(dòng)力學(xué)方程描述為式(4)，具體參數(shù)如下

圖1 2自由度機(jī)械臂Fig.1 2-Dofmanipulator

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)為

定義模糊規(guī)則如下。

mxkj(q):如果q是，則是(l=1，2，…，7)。

cxkj(q，):如果q是，且是，則是(l=1，2，…，7)。

gxk(q):如果q是，則是(l=1，2，…，7)。

圖2 模糊控制器隸屬度函數(shù)Fig.2 Membership of fuzzy controller

利用提出的控制策略，對(duì)基于操作空間的機(jī)械臂進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3 機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置跟蹤曲線Fig.3 Position tracking of end-effector

圖4 機(jī)械臂末端執(zhí)行器速度跟蹤曲線Fig.4 Velocity tracking of end-effectora

圖5 機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置跟蹤誤差Fig.5 Position tracking error of end-effector

圖6 機(jī)械臂關(guān)節(jié)的控制輸入信號(hào)Fig.6 Control inputs of joints

圖3 為機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置跟蹤曲線，所設(shè)計(jì)控制器可保證實(shí)際軌跡在0.2 s跟蹤上期望軌跡。圖4為機(jī)械臂末端執(zhí)行器速度跟蹤曲線，實(shí)際速度能在0.2 s跟蹤期望速度。由圖5可以看出位置跟蹤誤差最后趨近于零，由圖6可以看出，所需的控制力矩不大，滿足工程允許范圍。由仿真結(jié)果可以看出，只有在控制的初始階段，由于控制器對(duì)模型知識(shí)的缺乏，跟蹤出現(xiàn)了一定的誤差，而所設(shè)計(jì)的模糊系統(tǒng)能在較短的時(shí)間內(nèi)較好地逼近機(jī)械臂在操作空間的動(dòng)力學(xué)模型。

4 結(jié) 語(yǔ)

鑒于受到任務(wù)約束的機(jī)械臂其運(yùn)動(dòng)任務(wù)通常是在操作空間定義的，筆者設(shè)計(jì)了一種基于操作空間的機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡控制方法。引入了GL矩陣及其乘法算子，利用模糊系統(tǒng)補(bǔ)償機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)，避免了求解機(jī)械臂在操作空間的動(dòng)力學(xué)模型。設(shè)計(jì)的魯棒控制項(xiàng)有效地抑制了系統(tǒng)建模誤差和有界擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，保證了閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性。數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出控制策略能夠有效的解決操作空間機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問(wèn)題，更加適用于實(shí)際工程應(yīng)用。

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(責(zé)任編輯:張潔)

Adaptive Fuzzy Robust Control for Manipulator Based on Operational Space

WANG Guangyonga，DU Qiaolingb，LIU Zhenzea，YIN Cangqionga

(a.College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China; b.College of Electronic Science＆Engineering，Jilin University，Changchun 130012，China)

In order to improve themanipulator system whosemechanicalmodel of tracking precision is uncertain，a robust trajectory tracking control method，which is self-adaptive and based on an operational space，was researched.And taking into account the presence of unknown external disturbances and other non-modeled dynamics，GL(General Linear)matrix and its multiplication operator were introduced and the ability of fuzzy systemswas applied to approximate any nonlinear function which could render feedforward compensation to the manipulator dynamics.Modeling errors and bounded disturbances were inhibited through robust controls.This method does not need to solve the dynamic model when manipulator is in the operational space.According to Lyapunov stability theory，the stability of the system was proved.Finally，a relatively high effect of trajectory tracking control was ascertained by the simulation experiment on the designed controller.

operational space;manipulator;fuzzy control;adaptive control;robust control

TP242.6

A

1671-5896(2015)04-0402-07

2015-04-01

吉林省科技發(fā)展計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(20100184)

王光勇(1988— )，男，吉林榆樹(shù)人，吉林大學(xué)碩士研究生，主要從事欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人研究，(Tel)86-13196002380(E-mail) 1379352025@qq.com;通訊作者:劉振澤(1978— )，男，長(zhǎng)春人，吉林大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事康復(fù)機(jī)器人、欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人研究，(Tel)86-13504464339(E-mail)liuhaozz@126.com。