巧用數(shù)學(xué)反例凸顯概念本質(zhì)

丁華

[摘 要]數(shù)學(xué)反例在課堂教學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師將數(shù)學(xué)反例運(yùn)用在課堂中，能夠幫助學(xué)生理解知識(shí)，辨析數(shù)學(xué)難點(diǎn)，同時(shí)凸顯概念的本質(zhì)，讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)思維。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)反例 概念誤區(qū) 概念難點(diǎn) 認(rèn)知結(jié)構(gòu)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）32-083

反例是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一個(gè)常態(tài)，和正例相反，它不符合數(shù)學(xué)命題的結(jié)論，但卻是學(xué)生理解知識(shí)、辨析難點(diǎn)的有效途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能夠?qū)⒎蠢擅钊诤掀饋?，就能夠讓學(xué)生深入概念本質(zhì)，建立靈活的數(shù)學(xué)思維。筆者現(xiàn)根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剮c(diǎn)粗淺看法。

一、巧用反例，破解概念誤區(qū)

由于年齡的原因，小學(xué)生感性思維多于抽象思維，往往容易曲解概念的本質(zhì)屬性，造成實(shí)際運(yùn)用中的概念誤區(qū)。此時(shí)，教師可借用典型直觀的教學(xué)反例，誘發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在比較、辨析中建構(gòu)全面、正確、清晰的概念認(rèn)知。

例如，在教學(xué)蘇教版四年級(jí)內(nèi)容“平行線”這一概念時(shí)，教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是讓學(xué)生理解“在同一平面內(nèi)永不相交”的含義。那么，如何才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這一本質(zhì)屬性的概念建構(gòu)呢？筆者舉出了兩種類型的反例，讓學(xué)生進(jìn)行比較和思考。類型一：想一想，上下交叉的立交橋，上面公路上的汽車直線行駛的路線和下面公路上的汽車直線行駛的路線是平行線嗎？為什么？（學(xué)生認(rèn)為立交橋上和立交橋下的汽車行駛出來的直線不在同一個(gè)平面上，因而不能算是平行線）；類型二：同一平面內(nèi)的兩條直線并不相交就一定平行嗎？為什么？（學(xué)生經(jīng)過討論后認(rèn)為不會(huì)平行。因?yàn)閮蓷l直線經(jīng)過無限延長后，會(huì)有出現(xiàn)相交的可能性）通過這兩個(gè)反例，學(xué)生對(duì)平行線的概念有了深刻的理解，體會(huì)到了平行必須要滿足兩個(gè)條件：一是在同一平面內(nèi)，二是永不相交。（這兩個(gè)條件缺一不可）由此可見，當(dāng)學(xué)生容易對(duì)概念產(chǎn)生分歧時(shí)，教師可從反例來入手證明，并借此突出學(xué)生容易忽略的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，為學(xué)生建構(gòu)一個(gè)完整、清晰的數(shù)學(xué)概念，有效破解學(xué)生的概念理解誤區(qū)。

二、巧用反例，突破概念難點(diǎn)

小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維還處在初級(jí)階段，不但容易被問題的表象所迷惑，而且容易受到慣性思維的影響，導(dǎo)致概念認(rèn)識(shí)模糊，出現(xiàn)片面認(rèn)知。此時(shí)，教師巧妙切入反例，能夠讓學(xué)生在正、反對(duì)比中明晰概念的難點(diǎn)，撥亂反正，有效識(shí)別概念的本質(zhì)屬性。

例如，在教學(xué) “乘法分配律”這一內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對(duì)（a+b）c=ac+bc的規(guī)律應(yīng)用容易出現(xiàn)理解誤區(qū)，在實(shí)際運(yùn)算中往往將結(jié)果寫成（a+b）c=ac+b或者寫成（a+b）c=ac+c等。究其原因主要是，學(xué)生沒有深刻理解概念的本質(zhì)。為了突破這一難點(diǎn)，筆者特意設(shè)置了反例進(jìn)行教學(xué)：以下習(xí)題，你認(rèn)為對(duì)嗎？如果不對(duì)，錯(cuò)在哪里？（15+87）×3=15×3+87；5×16+14×16=（14+16）×5；（20+11）×5=20×5+11。學(xué)生因?yàn)橹暗钠嬲J(rèn)知，在識(shí)錯(cuò)的過程中仍然會(huì)認(rèn)知模糊，看不出錯(cuò)在哪里。有學(xué)生提出5×16+14×16=（14+16）×5是對(duì)的。此時(shí)，筆者并不急于糾錯(cuò)，而是讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證：想一想，兩個(gè)結(jié)果一樣嗎？學(xué)生計(jì)算后自主發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式的結(jié)果完全不同，因而認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤所在，并糾正為：5×16+14×16=（5+14）×16。學(xué)生由此反思自己對(duì)規(guī)律運(yùn)用存在的偏頗，一步步加深對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)和理解。

以上教學(xué)，教師巧妙運(yùn)用反例，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，完善學(xué)生對(duì)概念的理解，突破概念難點(diǎn)，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

三、巧用反例，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中大多設(shè)置一些正面的范例，這樣的編排優(yōu)勢(shì)是顯而易見的；但同時(shí)也會(huì)讓學(xué)生造成思維定式，養(yǎng)成死套公式的習(xí)慣。這種固化的問題解決模式，既會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的解題思路，同時(shí)又不利于學(xué)生思維的靈活性的培養(yǎng)?；诖?，教師要在學(xué)生的慣性思維形成之前，設(shè)置反例教學(xué)或者借用學(xué)生的現(xiàn)場(chǎng)錯(cuò)誤，當(dāng)做一個(gè)有效的課堂案例，引發(fā)學(xué)生突破知識(shí)負(fù)遷移，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，有這樣一道百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：甲、乙兩車從A、B兩地相對(duì)而行，甲車需要3小時(shí)行完全程，乙車需要4小時(shí)行完全程，甲車的速度比乙車快多少？學(xué)生這樣解答：（4-3）÷4=0.25。針對(duì)這一解答，筆者將其作為反例引導(dǎo)學(xué)生反思：這樣解答錯(cuò)在哪里？為什么？經(jīng)過討論，學(xué)生認(rèn)為題目中給出了甲、乙兩車行完全程的時(shí)間，要求的是甲車的速度比乙車快多少，因而就要求出甲、乙兩車的速度，這是問題的關(guān)鍵。

通過分析找錯(cuò)，學(xué)生突破了自己的認(rèn)知誤區(qū)，認(rèn)識(shí)到時(shí)間、路程和速度三者的關(guān)系，并明確了路程應(yīng)用題的應(yīng)用公式：速度=路程÷時(shí)間。

以上教學(xué)，教師通過借用學(xué)生的錯(cuò)誤反例，擴(kuò)展學(xué)生的視野，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)知體系。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)置典型、簡(jiǎn)約的反例，不僅能夠凸顯概念本質(zhì)，而且能夠豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的深入理解，進(jìn)而提高學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。

（責(zé)編 黃春香）