基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)

王金霞，孟學(xué)雷，劉 健

（蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

1 概述

在鐵路運(yùn)輸組織領(lǐng)域，對(duì)列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)是一個(gè)相對(duì)較新的研究課題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究主要集中在列車運(yùn)行圖的可靠性、魯棒性、均衡性、可調(diào)整彈性和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)等方面。不同研究者對(duì)于列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的影響因素研究側(cè)重點(diǎn)各不相同，但關(guān)于穩(wěn)定性尚沒有統(tǒng)一的定量描述。楊肇夏等[1]對(duì)列車運(yùn)行圖動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行研究；彭其淵等[2]對(duì)“均衡性”和“可調(diào)整彈性”的研究，為日后列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性分析和優(yōu)化思想的形成奠定基礎(chǔ)；De Kort A F 等[3]將列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性作為列車運(yùn)行圖能力的一部分，提出運(yùn)行圖運(yùn)輸能力的評(píng)價(jià)模型方法；王京廣[4]針對(duì)貨物列車的不均衡性到發(fā)時(shí)刻進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；Goverde R M P[5]運(yùn)用極大加代數(shù)方法描述周期運(yùn)行圖，提出其穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)方法；李成兵等[6]研究列車運(yùn)行圖的均衡性，提出高質(zhì)量的運(yùn)行圖編制技術(shù)；陳軍華等[7]將列車運(yùn)行圖的抗干擾能力、可調(diào)整性、自我恢復(fù)能力納入穩(wěn)定性的范疇，并且將列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性概括為可靠性、魯棒性、穩(wěn)定性 3個(gè)方面；Meng Xuelei 等[8]從鐵路路網(wǎng)角度研究列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性，構(gòu)建雙層優(yōu)化模型，對(duì)路網(wǎng)上列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性做出新的定義，隨后又提出使用信息熵理論評(píng)估列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性。這些文獻(xiàn)對(duì)列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)研究具有重要的借鑒意義。

列車運(yùn)行圖穩(wěn)定與否，直接影響鐵路運(yùn)輸效率和旅客運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量，而且天氣、調(diào)度人員指揮、突發(fā)事件等影響因素之間關(guān)系具有不確定性。近年來，隨著科技進(jìn)步發(fā)展起來的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)能夠較好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法對(duì)穩(wěn)定性評(píng)判的不足，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是以概率論為基礎(chǔ)知識(shí)的圖模型，使用概率表示不確定性。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)已廣泛應(yīng)用至高層建筑火災(zāi)后果預(yù)測(cè)、列控系統(tǒng)安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、鐵路危險(xiǎn)貨物運(yùn)輸安全評(píng)估[9]、旅客列車晚點(diǎn)等領(lǐng)域，表明其在工程計(jì)算領(lǐng)域具有廣泛的適應(yīng)性。因此，將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的理論方法應(yīng)用于列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性研究。

2 列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性影響因素分析

評(píng)價(jià)鐵路在遇到突發(fā)事件時(shí)的列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性，首先應(yīng)分析運(yùn)行過程中可能影響列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的因素。通常情況下，鐵路行車按照?qǐng)D定時(shí)刻表運(yùn)行，圖定時(shí)刻表的質(zhì)量決定鐵路服務(wù)質(zhì)量，它確定鐵路線路、站場(chǎng)、機(jī)車車輛等設(shè)備的運(yùn)用，通過列車運(yùn)行圖將整個(gè)鐵路網(wǎng)的運(yùn)輸生產(chǎn)活動(dòng)聯(lián)系為一個(gè)整體，是鐵路運(yùn)輸生產(chǎn)計(jì)劃的綜合體現(xiàn)。

2.1 影響列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的內(nèi)部因素

通過分析，將影響列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的內(nèi)部因素整理為以下 9個(gè)方面。

（1）鐵路線路級(jí)別。等級(jí)越高、運(yùn)輸能力越大，列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性越高。

（2）閉塞系統(tǒng)類型。目前主要有半自動(dòng)閉塞、自動(dòng)閉塞和移動(dòng)閉塞 3種系統(tǒng)。不同閉塞系統(tǒng)所允許的最小追蹤間隔時(shí)間不同，移動(dòng)閉塞系統(tǒng)具有最大的運(yùn)輸能力，有利于路網(wǎng)運(yùn)行圖長(zhǎng)遠(yuǎn)的穩(wěn)定性。

（3）車站聯(lián)鎖類型。目前電氣聯(lián)鎖和計(jì)算機(jī)聯(lián)鎖系統(tǒng)均在我國(guó)鐵路使用。聯(lián)鎖系統(tǒng)的響應(yīng)速度是影響車站接發(fā)列車能力的關(guān)鍵因素，更深層次的因素還包括通信能力、計(jì)算能力、可靠性和容錯(cuò)能力。

（4）機(jī)車牽引性能。在一定程度上機(jī)車牽引能力決定列車速度，進(jìn)而影響列車在區(qū)段內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間。因此，機(jī)車牽引性能也是影響區(qū)間能力的因素。

（5）區(qū)間里程。區(qū)間里程數(shù)大小影響列車的運(yùn)行時(shí)間，從而影響列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性。

（6）區(qū)段容量負(fù)荷。每個(gè)區(qū)段的容量負(fù)荷是1d內(nèi)圖定通過的列車數(shù)量與區(qū)間通過能力的比值。如果負(fù)荷過重，則當(dāng)列車運(yùn)行受到干擾時(shí)很難重新調(diào)度安排，列車恢復(fù)按圖行車的希望渺茫。

（7）車站容量負(fù)荷。車站容量負(fù)荷是1d 中圖定列車到達(dá)和離開車站的數(shù)量與車站接發(fā)列車能力的比值。車站容量負(fù)荷越大，列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性越小。

（8）總附加時(shí)分?？偢郊訒r(shí)分是每一列車在每個(gè)區(qū)段運(yùn)行緩沖時(shí)間的總和。在列車受到干擾時(shí)，緩沖時(shí)間能抵消一些輕微的列車晚點(diǎn)，從而應(yīng)對(duì)列車運(yùn)行過程中的擾動(dòng)?？偢郊訒r(shí)分越長(zhǎng)，列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性越強(qiáng)。

（9）總停站緩沖時(shí)分。停站緩沖時(shí)分越多，列車運(yùn)行圖越穩(wěn)定。列車實(shí)際運(yùn)行中，很難完全按照?qǐng)D定的列車時(shí)刻到達(dá)、出發(fā)或通過車站，而是以規(guī)定的時(shí)刻為基點(diǎn)，在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，列車晚點(diǎn)也時(shí)有發(fā)生。

2.2 影響列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的外部因素

列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的外部影響因素從3個(gè)方面進(jìn)行分析。

（1）人員操作導(dǎo)致的時(shí)間偏差。在影響列車調(diào)度的運(yùn)輸組織人員操作中，主要包括列車調(diào)度員、助理調(diào)度員、車站值班員和車站調(diào)度員的作業(yè)。

（2）設(shè)備故障率。移動(dòng)設(shè)備和固定設(shè)備發(fā)生故障的概率會(huì)影響列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性。

（3）環(huán)境。環(huán)境主要包括事故災(zāi)難(交通事故、火災(zāi)爆炸、列車脫軌等)、氣候(如冰雨暴雪、溫度變化等) 和自然災(zāi)害(如冰雨暴雪、地震、滑坡、泥石流、風(fēng)災(zāi)等)。

3 基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)理論的列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)

采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)分析列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性時(shí)，根據(jù)各因素之間相互影響的關(guān)系，建立事件樹模型，在樹形圖中，將穩(wěn)定性作為頂事件，其他能夠直接或間接影響穩(wěn)定性的因素作為事件樹的基本事件，部分因素作為中間事件，運(yùn)用邏輯門符號(hào)描述系統(tǒng)中各事件之間的因果關(guān)系。在事件樹模型構(gòu)建基礎(chǔ)上，通過基本事件、邏輯門與節(jié)點(diǎn)間的映射關(guān)系得到貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)邏輯門與條件概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系標(biāo)定概率。

3.1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是基于概率推理的有向無環(huán)圖( Directed Acyclic Graph，DAG)，由代表變量的節(jié)點(diǎn)和連接這些節(jié)點(diǎn)的有向邊組成。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均標(biāo)注定量的概率信息，有向邊代表變量之間的因果關(guān)系，用 J = { G，V，E，P } 表示，其中 V 為有限個(gè)變量集合，G 為變量域的 DAG，E 為有向邊集合，P 為條件概率的分布集合。構(gòu)建貝葉斯網(wǎng)絡(luò)主要分 2個(gè)步驟進(jìn)行：定性描述(變量的定義) 和定量描述(即貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù))。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)是反映變量之間關(guān)聯(lián)性的局部概率分布集(參數(shù))，稱為條件概率表。概率值表示子節(jié)點(diǎn)與其父節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度。

（1）先驗(yàn)概率。設(shè) X1，X2，…，Xn為樣本空間 S 中的事件，P(Xi) 可以根據(jù)以前的數(shù)據(jù)分析得到，則稱為先驗(yàn)概率。先驗(yàn)概率是根據(jù)歷史資料或主觀判斷所確定的各事件發(fā)生的概率。

（2）后驗(yàn)概率。設(shè) X1，X2，…，Xn為樣本空間 S 中的事件，則在事件 Xi發(fā)生情況下，Xj發(fā)生的概率 P(Xj| Xi) 稱為后驗(yàn)概率。將 X1作為根節(jié)點(diǎn)，賦予先驗(yàn)概率 P(X1)。若 X1與 X2有關(guān)，從X1到 X2建立一個(gè)聯(lián)結(jié)，用 P(X2| X1) 表示聯(lián)結(jié)度；若 X1與 X2無關(guān)，則賦予先驗(yàn)概率 P(X2)。

在第 i 級(jí)，假設(shè) Xi節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)集合為其中Xi與 { X1，…，Xi，…，Xn} 中的其他變量獨(dú)立，即

當(dāng)∏(Xi)=Φ時(shí)，P(Xi|∏(Xi)) = P(Xi)。

3.2 列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性的事件樹模型

根據(jù)前文對(duì)影響因素的分析，確定構(gòu)建事件樹的基本元素，列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性除了考慮內(nèi)部影響因素之外，還要考慮人員、設(shè)備和環(huán)境等外部影響因素。例如：以 3種閉塞系統(tǒng)類型和穩(wěn)定性作為基本事件，因子及邏輯關(guān)系如圖1 所示。

圖1 因子及邏輯關(guān)系

因此，可以依次得到其他基本因素各自對(duì)應(yīng)的事件樹。基于鐵路運(yùn)輸組織領(lǐng)域有關(guān)專家的分析研究，文中事件樹模型的影響因子由 21個(gè)基本事件、7個(gè)中間事件和 1個(gè)頂事件組成。各事件的編號(hào)和名稱如表1 所示。列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性評(píng)估事件樹模型如圖2 所示。

3.3 事件樹的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射

根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的描述，事件樹模型向貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射時(shí)，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)與事件、邏輯門與連接強(qiáng)度對(duì)應(yīng)。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的連接強(qiáng)度根據(jù)邏輯關(guān)系可以列出其條件概率表，并且將其轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式用于后續(xù)的概率分布計(jì)算。與門映射如圖3 所示，或門映射如圖4 所示。

令 Xi= 1 時(shí)表示列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性受到影響，令 Xi= 0 時(shí)表示列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性沒有受到影響，則與門邏輯的條件概率分布公式為

或門邏輯的條件概率分布公式為

根據(jù)上述映射方法，將圖2 的事件樹映射為對(duì)應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，如圖5 所示。

表1 各事件的編號(hào)和名稱

圖2 列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性評(píng)估事件樹模型

圖3 與門映射

圖4 或門映射

3.4 基本事件概率的標(biāo)定方法

確定影響因素后，定量分析列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性時(shí)，首先需要確定基本事件的先驗(yàn)概率。由于列車運(yùn)行中突發(fā)情況等不確定性因素，造成基本事件在遇到突發(fā)情況前后在不同狀態(tài)存在不穩(wěn)定性，標(biāo)定概率時(shí)需要考慮這種模糊性，以確保先驗(yàn)概率盡可能準(zhǔn)確，運(yùn)用德爾菲法改進(jìn)標(biāo)定基本事件的先驗(yàn)概率。

采用改進(jìn)后的德爾菲法標(biāo)定事件基本概率時(shí)，運(yùn)用梯形模糊數(shù)代替評(píng)價(jià)的尺度，計(jì)算結(jié)果較為嚴(yán)謹(jǐn)，克服指定概率不精確的問題。在確定不同影響因素的重要程度時(shí)，從1—9 共 9個(gè)數(shù)字中選擇評(píng)價(jià)尺度。

（1）單個(gè)因素先驗(yàn)概率標(biāo)定。首先獲取專家評(píng)分向量 A =(a1，a2，…，an)，其中 n 為參與評(píng)分的專家數(shù)，然后計(jì)算得到先驗(yàn)概率值為

（2）多個(gè)因素先驗(yàn)概率標(biāo)定。如果因素 Xi比 Xj發(fā)生的概率更大時(shí)，則專家評(píng)分取值相比較高，從而得到評(píng)分矩陣為

以 aij表示矩陣 A 中第 i個(gè)元素相對(duì)于第j個(gè)元素的影響力，令

得到先驗(yàn)概率向量為

通過公式⑺得到權(quán)值 Wi，將該值作為基本事件Ai的先驗(yàn)概率值，再利用公式⑵( 如果是或門邏輯則根據(jù)公式⑶) 運(yùn)用逐層遞增的方法依次計(jì)算其父節(jié)點(diǎn)的概率分布。直至得到頂事件的概率分布，獲得后驗(yàn)概率值。

3.5 基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的概率計(jì)算

用分層遞進(jìn)的方法，從基本事件節(jié)點(diǎn)開始逐級(jí)向上，計(jì)算得到頂事件的概率值，然后依據(jù)此概率值，判定列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性等級(jí)。具體而言，分 2種情況。

（1）與門結(jié)構(gòu)的概率計(jì)算。如圖3 所示，在已知基本事件 X1，X2，…，Xn概率的條件下，根據(jù)公式⑵可以得到事件 S 的條件概率計(jì)算公式為

（2）或門結(jié)構(gòu)的概率計(jì)算。如圖4 所示，在已知基本事件 X1，X2，…，Xn概率的條件下，根據(jù)公式⑶可以得到事件 S 的條件概率計(jì)算公式為

令集合 V 為穩(wěn)定性的評(píng)語級(jí)，V ={ V1，V2，V3} = { 很穩(wěn)定，較穩(wěn)定，不穩(wěn)定 }，其中 [ 0.90，1 ]為很穩(wěn)定，[ 0.80，0.90) 為較穩(wěn)定，[ 0，0.80) 為不穩(wěn)定。至此，可以根據(jù)已經(jīng)得到的概率值評(píng)判該列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性級(jí)別，因突發(fā)事件導(dǎo)致列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性改變時(shí)，及時(shí)找出關(guān)鍵影響因素，確定可行的運(yùn)行調(diào)整措施，為運(yùn)輸組織決策提供參考，根據(jù)實(shí)時(shí)情況調(diào)整列車運(yùn)行圖，確保列車良好的運(yùn)行秩序。

圖5 列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

4 算例分析

以滬寧城際高速鐵路(上海虹橋—南京) 為例，區(qū)段采用移動(dòng)閉塞設(shè)備，計(jì)算機(jī)聯(lián)鎖系統(tǒng)，運(yùn)營(yíng)里程 301km，實(shí)際運(yùn)行速度最高 300km/h，機(jī)車采用動(dòng)力分布式電力動(dòng)車組 CRH3 型。按照列車開行方案，上海與南京之間每天計(jì)劃安排高速列車120 對(duì)，其中時(shí)速 300～350km本線高速列車開行 98 對(duì)/d，占 81.67%，時(shí)速 200～250km跨線列車 22 對(duì)/d，占 18.33%，高峰時(shí)段最小發(fā)車間隔5min。全線共設(shè) 21個(gè)站，平均 15km即有 1個(gè)站，最小行車間隔時(shí)間 3min。假設(shè)遇到雨雪天氣，需要降速行駛，則列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性概率值會(huì)出現(xiàn)新的變化。

4.1 初始列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性概率值

依據(jù)圖5，按照前述方法確定基本事件的先驗(yàn)概率值。以閉塞類型因素為例確定各個(gè)閉塞概率取值為節(jié)點(diǎn)的先驗(yàn)概率，首先得到專家評(píng)分矩陣。

再根據(jù)公式⑷至公式⑸得到

因此，各個(gè)閉塞類型的先驗(yàn)概率為 P(B1=1) =0.2078，P(B2=1) = 0.3377，P(B3=1)=0.4545。同理可求出其他各基本事件的先驗(yàn)概率，計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表2 先驗(yàn)概率表

標(biāo)定基本事件的先驗(yàn)概率后，按照公式⑶，可以得到 B 的條件概率分布為

按照公式⑼可以計(jì)算出中間事件概率為

同樣可得

依照穩(wěn)定性評(píng)語級(jí)可以判定列車運(yùn)行圖很穩(wěn)定。

4.2 變化后的列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性概率值

假設(shè)在受到雨雪天氣影響之后，列車的運(yùn)行速度減緩，隨著時(shí)間的推移，在車站的列車數(shù)量因無法正常運(yùn)行出現(xiàn)滯留，總停站緩沖時(shí)分和區(qū)間運(yùn)行時(shí)分等因素隨之受到影響。假設(shè)變化后的先驗(yàn)概率表如表3 所示。

表3 變化后的先驗(yàn)概率表

重復(fù)前面的計(jì)算過程，得到 P(T = 1 | M1，M2) =0.956 1，穩(wěn)定性概率值減少，表明列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性發(fā)生改變。

顯然，由于天氣的影響，機(jī)車的性能發(fā)揮受到限制，運(yùn)行速度降低，總附加時(shí)分、總停站緩沖時(shí)分等時(shí)間增加，從而導(dǎo)致在車站和區(qū)間的列車數(shù)量增多，容易發(fā)生列車晚點(diǎn)，并且引發(fā)晚點(diǎn)傳播的現(xiàn)象，如果車站的接發(fā)列車能力和區(qū)間通過能力較低，則列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性較差，恢復(fù)列車按圖運(yùn)行的波動(dòng)時(shí)間會(huì)需要更久。列車運(yùn)行組織是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)，各影響因素之間并不是相互獨(dú)立的。因此，一個(gè)因素的變化會(huì)引起其他諸多因素對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響，其概率值根據(jù)影響程度將得到更新，再利用貝葉斯理論可以得到最終穩(wěn)定性概率值，從而衡量影響后的穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

（1）列車運(yùn)行圖是鐵路組織列車運(yùn)行的基礎(chǔ)，它規(guī)定各次列車占用區(qū)間的程序、區(qū)間運(yùn)行時(shí)分，在車站到發(fā)和通過的時(shí)刻，當(dāng)列車受到隨機(jī)事件干擾時(shí)，將會(huì)發(fā)生偏離列車運(yùn)行圖運(yùn)行的情況，高質(zhì)量的列車運(yùn)行圖能夠提供列車恢復(fù)按圖運(yùn)行的可能性，使列車運(yùn)行圖的抗干擾能力增強(qiáng)，而列車運(yùn)行圖的穩(wěn)定性正是衡量這一可能性的指標(biāo)。

（2）以實(shí)現(xiàn)列車盡量按圖運(yùn)行為目標(biāo)，分析影響列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性諸多要素，用事件樹模型結(jié)合與、或邏輯關(guān)系闡述各因素間相互影響的程度。

（3）基于梯形模糊數(shù)法標(biāo)定基本事件先驗(yàn)概率值，再利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)計(jì)算概率，綜合考慮影響穩(wěn)定性的各方面可能因素。這種定量分析穩(wěn)定性的方法，在確定先驗(yàn)概率值后，采用條件概率公式得到頂事件后驗(yàn)概率值，作為穩(wěn)定性評(píng)估依據(jù)。

（4）將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)、事件樹模型應(yīng)用于列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性評(píng)估的創(chuàng)新，為有效評(píng)價(jià)列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性提供新的思路。

[1]楊肇夏，胡安洲，李 菊，等. 列車運(yùn)行圖動(dòng)態(tài)性能及其指標(biāo)體系的研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào)，1993，15(4)：46-56.

[2]彭其淵，朱松年，閻海峰. 列車運(yùn)行圖可調(diào)整度評(píng)價(jià)系統(tǒng)研究[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，33(4)：367-371.

[3]De Kort A F，Heidergott B，Ayhan H. Aprobabilistic (max，+) Approach for Determining Railway Infrastructure Capacity[J]. European Journal of Operational Research，2003，148(3)：644-641.

[4]王京廣. 不均衡運(yùn)輸對(duì)機(jī)車運(yùn)用的影響及采取的措施[J]. 鐵道貨運(yùn)，2006(10)：33-35.

[5]Goverde R M P. Railway Timetable Stability Analysis Using Max-plus System Theory[J]. Transportation Research：Part B ：Methodological，2007，41(2)：179-201.

[6]李成兵，郭倩倩，魯工圓，等. 列車運(yùn)行圖的均衡性研究[J]. 鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2009，31(6)：87-88，91.

[7]陳軍華，張星臣，徐 彬，等. 高速鐵路列車運(yùn)行圖穩(wěn)定性及其影響因素分析[J]. 物流技術(shù)，2011，30(8)：81-84.

[8]Meng Xuelei，Jia Limin. Train Timetable Stability Evaluation based on Analysis of Interior and Exterior Factors Information Entropy[J]. Applied Mathematics & Information Sciences，2014，8(3)：1319-1325.

[9]楊能普，楊月芳，馮 偉. 基于模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的鐵路危險(xiǎn)貨物運(yùn)輸過程風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[J]. 鐵道學(xué)報(bào)，2014， 36(7)：8-15.