基于跟蹤微分器的自行高炮分?jǐn)?shù)階控制

楊 剛，韓崇偉，陳騰飛，郭 晶

（西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽 712099）

自行高炮主要用于攻擊固定翼飛機(jī)、巡航導(dǎo)彈、武裝直升機(jī)及戰(zhàn)術(shù)無人機(jī)等空中運(yùn)動目標(biāo)，其伺服系統(tǒng)的主令諸元含有位置的一階、二階乃至高階導(dǎo)數(shù)，控制難度較大［1］。常規(guī)線性反饋控制往往不能滿足自行高炮跟蹤精度的要求。提高系統(tǒng)跟蹤性能有增加前饋控制和提高帶寬兩個途徑［2］。

工程上通常在比例積分控制器的基礎(chǔ)上增加速度前饋環(huán)節(jié)，然而速度前饋會放大測量噪聲，給系統(tǒng)帶來新的誤差。采用濾波環(huán)節(jié)可以抑制噪聲，但會使輸出相對輸入有微小的滯后，這個微小滯后對整個伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差的影響是不容忽視的。為此，需要在噪聲抑制性能和跟蹤精度兩方面綜合考量，選擇合適的濾波器參數(shù)。研究跟蹤微分器（Tracking－Differentiator，TD）的最初目的是通過盡快地跟蹤給定信號來合理地提取微分信號，而在實(shí)際運(yùn)用中，跟蹤微分器能夠剔除野值，運(yùn)用微分信號進(jìn)行預(yù)報(bào)修正，減小相位損失，濾波性能優(yōu)于傳統(tǒng)慣性濾波環(huán)節(jié)［3］。

反饋控制所采用的比例積分控制器對系統(tǒng)動態(tài)特性的調(diào)節(jié)能力有限。Podlubny研究了分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，并提出了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，將古典整數(shù)階控制普遍化，使得控制器的調(diào)節(jié)范圍得到了擴(kuò)展［4－6］。文獻(xiàn)［7－9］對分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)詳細(xì)地給出了求解計(jì)算、分析、設(shè)計(jì)及仿真方法，被國內(nèi)研究者廣泛采用。文獻(xiàn)［10］針對輸入受限和不確定性的非線性MIMO 鍋爐－汽輪機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，顯示出良好的適應(yīng)性和魯棒性，與傳統(tǒng)PID 控制器相比具有明顯優(yōu)勢。文獻(xiàn)［11］針對智能車高速行駛下對目標(biāo)軌跡的快速跟蹤要求，通過遺傳算法對IAE 性能指標(biāo)尋優(yōu)整定PIλDμ參數(shù)，獲得了比傳統(tǒng)PID 控制器更好的動態(tài)性能。文獻(xiàn)［12］利用求解分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)穩(wěn)定域的方法，設(shè)計(jì)了使分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)具有魯棒性的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，結(jié)果表明PIλ控制器對參數(shù)不確定系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。筆者利用跟蹤微分器所產(chǎn)生的微分信號，設(shè)計(jì)了工程實(shí)用的分?jǐn)?shù)階PIλD 控制器。選擇適當(dāng)參數(shù)可提高系統(tǒng)帶寬，進(jìn)一步改善自行高炮伺服系統(tǒng)的跟蹤性能。

1 自行高炮伺服系統(tǒng)分析與建模

某自行高炮伺服系統(tǒng)選擇交流電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)。交流隨動系統(tǒng)相對于直流系統(tǒng)具有體積小、質(zhì)量輕、調(diào)速性能好等優(yōu)良特性。假設(shè)電機(jī)為理想電機(jī)，采用id＝0控制可將交流電機(jī)的控制轉(zhuǎn)換為直流電機(jī)控制，從而自行高炮基于驅(qū)動器速度閉環(huán)的簡化模型如圖1所示。

圖1中：KΩ為放大系數(shù)；GS（s）為速度控制器；GC（s）為電流控制器；U為電機(jī)電樞電壓；Lq和RS分別為電機(jī)等效q軸電感和定子相電阻；Cm為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Ce為反電動勢常數(shù)；Te和TL分別為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為折算后電機(jī)及負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量。由于受電機(jī)轉(zhuǎn)速、電流和逆變器驅(qū)動電壓的限制，該伺服系統(tǒng)具有飽和非線性特性。以自行高炮位置伺服系統(tǒng)為研究對象，其參數(shù)如表1所示。

表1 自行高炮伺服系統(tǒng)模型參數(shù)

對圖1所示的框圖進(jìn)行變換，將GS（s）和GC（s）記為Ks和Ki，可以得出在線性范圍內(nèi)，自行高炮速度環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

代入數(shù)值，有

從滿足最大速度和最佳傳遞效率等方面考慮，設(shè)定執(zhí)行電機(jī)到負(fù)載輸出的減速比為i＝343。根據(jù)弧度（rad）與毫弧度（mrad）等單位換算關(guān)系可得機(jī)械傳動裝置的數(shù)學(xué)模型如圖2所示。則自行高炮伺服系統(tǒng)位置控制器所需控制的對象的傳遞函數(shù)為

2 跟蹤微分器和控制律設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)自行高炮伺服系統(tǒng)位置控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示。采用參數(shù)相同的跟蹤微分器分別對數(shù)字主令和測角傳感器信號進(jìn)行處理，一方面可濾波并剔除野值；另一方面可獲取實(shí)際可用的微分信號。然后利用分?jǐn)?shù)階PIλD控制器得到反饋控制量。為提高跟蹤精度，還在控制器中增加了主令的速度前饋環(huán)節(jié)。圖中TD 表示跟蹤微分器環(huán)節(jié)，kp，ki／sλ，kds分別表示比例、分?jǐn)?shù)階積分和整數(shù)階微分環(huán)節(jié)，a表示速度前饋環(huán)節(jié)的系數(shù)，K表示控制對象的放大系數(shù)。

2.1 非線性跟蹤微分器

為提高TD 的跟蹤速度，并避免微分信號出現(xiàn)高頻顫振，文獻(xiàn)［3］直接按照離散系統(tǒng)推導(dǎo)快速最優(yōu)控制函數(shù)，得到TD 的離散遞推形式為：

式中：v為TD的輸入信號；x1和x2分別為TD的兩個輸出信號，其中x1跟蹤輸入信號v，x2是x1的微分信號，可近似當(dāng)作v的微分。

其中非線性函數(shù)fhan（x1，x2，r，h）稱為快速最優(yōu)控制綜合函數(shù)，其算法公式如下：

在式（5）中：h為積分步長（采樣周期），適當(dāng)縮小積分步長可有效抑制噪聲放大；r為速度因子，增大r可以提高TD的響應(yīng)速度。在式（4）中，h0（濾波因子）適當(dāng)大于積分步長h，可以消除速度曲線中的超調(diào)，抑制微分信號中的噪聲放大，但是太大會減慢響應(yīng)速度。當(dāng)積分步長h確定時，擴(kuò)大濾波因子是增強(qiáng)濾波效果的有效手段。

在圖3所示的控制系統(tǒng)中，自行高炮伺服系統(tǒng)角度主令θi經(jīng)過TD得到主令跟蹤信號和近似角速度信號；輸出角度反饋信號θ0經(jīng)過TD得到輸出角度跟蹤信號和近似角速度信號；積分步長h根據(jù)伺服數(shù)字控制器采樣間隔來確定。

2.2 分?jǐn)?shù)階PIλD 控制器

分?jǐn)?shù)階PIλD 控制器的設(shè)計(jì)與TD 的設(shè)計(jì)過程相互獨(dú)立，滿足分離性原理［3］。以被控系統(tǒng)

進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)前饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為as，分?jǐn)?shù)階串聯(lián)校正環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)Gc（s）＝kp＋kis－λ＋kdsμ，則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

故等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

為提高系統(tǒng)無差度，應(yīng)令a＝1，則

取s＝j(luò)ω，記

則有

故校正后系統(tǒng)的等效開環(huán)幅頻特性為

在PIλD控制器的參數(shù)給定之后，A、B是關(guān)于頻率ω的函數(shù)，易得A（ω）、B（ω）對ω的導(dǎo)數(shù)分別為

在給定系統(tǒng)的期望相位裕度Φm和截止頻率ωc之后，可用以下約束條件來整定分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)。

1）截止頻率

適當(dāng)增大開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率ωc可以增加帶寬，提高響應(yīng)速度，有

2）相位裕度

設(shè)定合適的相位裕度Φm以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，有

3）增益魯棒性條件

文獻(xiàn)［7］提出，當(dāng)校正后開環(huán)傳遞函數(shù)的相位Bode圖在截止頻率ωc附近“平坦”（導(dǎo)數(shù)為0）時，系統(tǒng)對增益變化具有很好的魯棒性，即

4）低頻段精度點(diǎn)［1］

給定高炮伺服系統(tǒng)的技術(shù)指標(biāo)：最大跟蹤角速度為Ωm，最大跟蹤角加速度為εm，相應(yīng)的最大容許跟蹤誤差為em。將技術(shù)指標(biāo)折算成等效正弦規(guī)范可得到形如φcsin（ωit）的信號，其中，等效振幅φc ＝，等效頻率要求誤差小于em的誤差精度點(diǎn)A在處的開環(huán)對數(shù)幅頻特性數(shù)值為

5）輸出擾動抑制

靈敏度函數(shù)描述了系統(tǒng)對量測噪聲和未建模動態(tài)的魯棒性［7］，其表示式為

要求系統(tǒng)在低頻擾動作用時，增益小于給定值，即

6）高頻噪聲抑制

補(bǔ)靈敏度函數(shù)描述了系統(tǒng)的負(fù)載擾動抑制能力和對給定值的跟蹤能力［7］，其表示式為

要求系統(tǒng)在高頻噪聲作用時，增益小于給定值，即

分析可知，在使用了速度前饋之后，約束條件3）中的式（16）難以達(dá)到。可以修正為求相角頻率特性曲線在截止頻率處的斜率絕對值的最小值，即將

作為目標(biāo)函數(shù)，其他5個作為約束條件，求解非線性最優(yōu)化問題，即可得到控制器參數(shù)。

3 系統(tǒng)仿真分析

3.1 參數(shù)設(shè)定與控制器實(shí)現(xiàn)

非線性TD的參數(shù)取為：速度因子r＝100 000，濾波因子h0＝0.003s，積分步長h＝0.001s。此時相位損失對跟蹤精度的影響很小，且具有較好的濾波性能。

圖1中，自行高炮速度環(huán)放大元件的系數(shù)為41.87，位置控制器飽和限幅為±10V。對速度環(huán)進(jìn)行開環(huán)頻率特性分析可得截止頻率為60rad／s，相位裕度為29°。設(shè)定校正后系統(tǒng)截止頻率ωc＝272 rad／s，相位裕度Φm＝83°，控制器微分階次μ＝1。按前述約束條件進(jìn)行優(yōu)化，因?yàn)槭剑?）假定了系統(tǒng)放大倍數(shù)為1，而實(shí)際系統(tǒng)放大倍數(shù)為K，故優(yōu)化所得控制器系數(shù)都應(yīng)縮小為原來的，即分?jǐn)?shù)階PIλD控制器形式為

前饋環(huán)節(jié)的系數(shù)為

分?jǐn)?shù)階PIλD 控制器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)采用整數(shù)階Oustaloup遞推濾波器實(shí)現(xiàn)給定頻段內(nèi)的微分器近似［7］。假設(shè)需要逼近的頻段為（ωb，ωh），則微分器可近似為整數(shù)階形式，即

其中，

本文取N＝2，（ωb，ωh）＝（0.01，100）。

為比較控制性能，本文還給出了自行高炮伺服系統(tǒng)位置環(huán)采用整數(shù)階控制器時的仿真結(jié)果，其傳遞函數(shù)為

3.2 仿真結(jié)果

分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)和整數(shù)階控制系統(tǒng)在加前饋之后的等效開環(huán)頻率特性分別如圖4、圖5所示。其截止頻率和相位裕度分別為272rad／s、83°和60 rad／s、79°。采用分?jǐn)?shù)階PIλD 控制器時，系統(tǒng)的截止頻率和相位裕度均較大。

給定位置主令為10mrad階躍信號時，兩種控制律下的系統(tǒng)響應(yīng)如圖6所示。整數(shù)階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間約0.8s，超調(diào)量4mrad，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間約0.25s，超調(diào)量2 mrad?？梢?，采用分?jǐn)?shù)階控制時，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，超調(diào)小。這是由于分?jǐn)?shù)階控制增大了系統(tǒng)帶寬，并且引入了微分環(huán)節(jié)，改善了系統(tǒng)動態(tài)性能。

給定輸入信號r＝1 333sin 0.75t為位置角度信號，r的單位為mrad，即給定位置角度在－80°～80°范圍內(nèi)變化。自行高炮位置伺服系統(tǒng)跟蹤輸入信號仿真結(jié)果如圖7所示。仿真結(jié)果表明，整數(shù)階控制的系統(tǒng)跟蹤誤差小于0.5 mrad，分?jǐn)?shù)階PIλD控制的系統(tǒng)跟蹤誤差小于0.2 mrad，跟蹤精度較好。

用負(fù)載力矩干擾信號模擬射擊時燃?xì)饬鳑_擊，5s后間隔2s施加持續(xù)30ms的沖擊力矩。仿真結(jié)果如圖8所示。仿真結(jié)果表明，兩種控制方法的最大誤差均在3 mard左右，但采用分?jǐn)?shù)階控制時系統(tǒng)能更快地消除擾動帶來的誤差，動態(tài)性能更好。這表明分?jǐn)?shù)階控制相對于整數(shù)階控制有更好的抗干擾能力。

自行高炮伺服系統(tǒng)的角度測量裝置中存在噪聲，給定輸入信號r＝10sint為位置角度信號。給系統(tǒng)輸出角度反饋回路添加在［－0.5，0.5］之間均勻分布的白噪聲，并添加在［－10，10］之間均勻分布的“野值”［3］。含測量噪聲的反饋角信號和跟蹤微分器輸出分別如圖9和圖10所示。仿真結(jié)果表明，使用非線性跟蹤微分器能夠較好地剔除“野值”，使系統(tǒng)保持穩(wěn)定和較高的跟蹤精度。常規(guī)慣性濾波器雖然也能過濾白噪聲，但對于幅值較大的“野值”效果較差，嚴(yán)重時甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4 結(jié)論

針對自行高炮位置伺服系統(tǒng)對跟蹤性能要求高的特點(diǎn)，采用了基于跟蹤微分器的分?jǐn)?shù)階PIλD控制方法。分?jǐn)?shù)階控制擴(kuò)展了參數(shù)調(diào)整的范圍，可以獲得更大的系統(tǒng)帶寬并兼顧其他方面的性能。最速非線性跟蹤微分器能夠較好地過濾噪聲，剔除野值，同時盡量減小相位損失，保證位置伺服系統(tǒng)跟蹤精度。速度前饋環(huán)節(jié)補(bǔ)償了加速度誤差，使得系統(tǒng)具有了三階無差度，降低了伺服系統(tǒng)快速跟蹤的成本。跟蹤微分器和分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)整定滿足分離性原理。分?jǐn)?shù)階控制器的整定采用了非線性優(yōu)化的思想，通過尋找適當(dāng)?shù)募s束條件來求取目標(biāo)函數(shù)的極小值。仿真結(jié)果表明，相對于傳統(tǒng)整數(shù)階控制，采用基于跟蹤微分器的分?jǐn)?shù)階控制可以提高自行高炮位置伺服系統(tǒng)的響應(yīng)速度，并且有效抑制角度測量噪聲和外部力矩干擾帶來的不利影響，為分?jǐn)?shù)階控制在自行高炮中的工程應(yīng)用提供了參考。

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