基于概率法與有限元法的火炮方向機(jī)齒輪傳動(dòng)誤差分析

李 忠，韓崇偉，趙宇和，石志翔，彭 超

（西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽(yáng) 712099）

齒輪傳動(dòng)是現(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品中十分常見的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于航天航空、艦船、火炮、機(jī)床等許多大中型工業(yè)機(jī)器中。齒輪傳動(dòng)的誤差直接影響了運(yùn)動(dòng)傳遞的準(zhǔn)確性，進(jìn)而影響整個(gè)機(jī)械的性能?；鹋诜较驒C(jī)是一種典型的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，筆者分析了火炮方向機(jī)齒輪傳動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的靜態(tài)傳動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差，推導(dǎo)了齒輪傳動(dòng)總誤差的計(jì)算公式，同時(shí)得到了方向機(jī)在不同載荷下動(dòng)態(tài)誤差曲線，可為研究火炮方向機(jī)對(duì)調(diào)炮精度的影響提供參考。

1 影響齒輪傳動(dòng)誤差的因素

傳動(dòng)誤差是指輸入軸單向回轉(zhuǎn)時(shí)，輸出軸轉(zhuǎn)角的實(shí)際值相對(duì)于理論值的變動(dòng)量［1］。在理想的傳動(dòng)過(guò)程中，輸入軸轉(zhuǎn)角φi與輸出軸轉(zhuǎn)角φo之間應(yīng)該符合理想的傳動(dòng)關(guān)系，即

式中，i為傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的總傳動(dòng)比。

在齒輪傳動(dòng)的過(guò)程中，影響齒輪傳動(dòng)誤差的因素主要有齒輪本身的加工誤差、齒輪的裝配偏差以及齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中的磨損誤差，在實(shí)際工作中通過(guò)定期檢修，可以調(diào)整由于磨損造成的齒輪嚙合間隙，因此文中暫不考慮齒輪磨損對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差的影響［2］。而影響齒輪傳動(dòng)鏈誤差的主要因素除了因齒輪制造和裝配不絕對(duì)準(zhǔn)確造成的單向傳動(dòng)誤差和回程誤差等靜態(tài)傳動(dòng)誤差外，還有傳動(dòng)齒輪與傳動(dòng)軸因受負(fù)載轉(zhuǎn)矩而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差，它隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的大小而改變。由上可知，齒輪傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)誤差是由齒輪本身、所在軸和軸承等零部件制造裝配時(shí)的誤差，以及受負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)誤差等綜合作用的結(jié)果。

2 齒輪傳動(dòng)的靜態(tài)誤差分析

齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差的來(lái)源主要是齒輪的制造誤差和安裝誤差。齒輪制造誤差是由于齒輪制造時(shí)幾何偏心、運(yùn)動(dòng)偏心、齒形誤差和齒厚偏差等因素綜合作用形成。齒輪安裝誤差是由于齒輪實(shí)際回轉(zhuǎn)中心相對(duì)理論回轉(zhuǎn)中心的偏離引起的，主要影響因素有中心距偏差、齒輪與軸的配合間隙和軸承的徑向游隙。

2.1 單向傳動(dòng)誤差

齒輪傳動(dòng)的單向傳動(dòng)誤差主要是由切向綜合總偏差F′i引起，切向綜合總偏差作為大周期誤差反映了齒輪幾何偏心和運(yùn)動(dòng)偏心導(dǎo)致的靜態(tài)傳動(dòng)誤差。記為

由機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)［3］查得：

式中：Fp為齒距累積總偏差的公差；f′i為一齒切向綜合偏差。

所以，一對(duì)嚙合齒輪副的單向傳動(dòng)誤差角φ為

式中：K1、K2分別為相互嚙合的兩個(gè)齒輪的單向傳動(dòng)誤差；d2為從動(dòng)輪的分度圓直徑。

2.2 空回誤差

齒輪傳動(dòng)的空回誤差，就是當(dāng)主動(dòng)輪反向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)從動(dòng)輪相對(duì)滯后主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角，其原因主要是由于齒輪的齒厚偏差、中心距偏差和軸承游隙等因素導(dǎo)致齒輪嚙合產(chǎn)生圓周側(cè)隙，從而引起傳動(dòng)空回［4］。

1）齒厚偏差導(dǎo)致的圓周側(cè)隙

為了補(bǔ)償齒輪制造和安裝誤差，熱膨脹變形以及便于潤(rùn)滑所留齒側(cè)間隙，可以根據(jù)齒厚偏差來(lái)確定。一對(duì)齒輪副由此而產(chǎn)生的側(cè)隙為

式中，Es1、Es2分別為兩個(gè)齒輪的實(shí)際偏差值。

2）中心距偏差導(dǎo)致的圓周側(cè)隙

式中，fa為中心距偏差值，等于實(shí)際中心距減去理論中心距；α為壓力角。

3）軸承游隙導(dǎo)致的圓周側(cè)隙

式中，Δu1、Δu2分別為兩齒輪支撐軸承的徑向游隙。

由此可知，一對(duì)齒輪副的空回誤差為

式中，jt為齒輪副的圓周側(cè)隙。

由于齒輪傳動(dòng)靜態(tài)傳動(dòng)誤差的隨機(jī)性，各項(xiàng)誤差是相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，誤差隨機(jī)量落在±3σ范圍里的置信率為99.74%，根據(jù)概率論理論得到齒輪傳動(dòng)靜態(tài)傳動(dòng)誤差的數(shù)字特征［5］為

式中：E為齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差的期望；σ為齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

所以取齒輪副的靜態(tài)傳動(dòng)誤差

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的靜態(tài)傳動(dòng)誤差是由各級(jí)齒輪副的誤差逐級(jí)疊加而成，通過(guò)傳動(dòng)比折算到末級(jí)齒輪上，考慮到各級(jí)誤差的隨機(jī)性，則

式中，i2，i3，…，ik為各級(jí)齒輪副的傳動(dòng)比。

3 齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)誤差分析

齒輪傳動(dòng)時(shí)，由于傳遞轉(zhuǎn)矩的增大，以及傳動(dòng)軸和齒輪材料的剛度不足，會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)過(guò)程中傳動(dòng)軸和齒輪的彈性扭轉(zhuǎn)變形，使轉(zhuǎn)動(dòng)角產(chǎn)生滯后，從而引起齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差。

3.1 傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形

根據(jù)材料力學(xué)［6］的相關(guān)知識(shí)可知：當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸受到扭矩T時(shí)，傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形為

式中：T為軸承受的扭矩；l為軸的長(zhǎng)度；G為材料的剪切模量；I為軸的極慣性矩；其中GI／l被稱為扭轉(zhuǎn)剛度，在實(shí)際的工程設(shè)計(jì)中，為了節(jié)省材料，傳動(dòng)軸通常為階梯軸，其等效扭轉(zhuǎn)剛度為ke。則式（12）變?yōu)?/p>

所以，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為

3.2 傳動(dòng)軸的彎曲變形

在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，在齒面法向力Fn的作用下，傳動(dòng)軸會(huì)發(fā)生彎曲變形，變形方向與齒輪傳動(dòng)的嚙合線方向相一致，如圖1所示。

根據(jù)軸的彈性彎曲變形理論［3］可得，傳動(dòng)軸在齒輪位置沿嚙合線方向的彈性變形量為

式中：Fn為法向嚙合力；a、b為齒輪到兩軸承端的距離；E為彈性模 量；dz為軸的直徑。

通常將其分解為切向分量和法向分量，由此導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)副產(chǎn)生的圓周側(cè)隙有如下關(guān)系：

式中：ft為傳動(dòng)軸彎曲變形的切向分量；fr為傳動(dòng)軸彎曲變形的徑向分量。

所以，傳動(dòng)軸的彎曲變形導(dǎo)致一對(duì)齒輪傳動(dòng)副的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差角為

當(dāng)反向傳動(dòng)時(shí)，傳動(dòng)軸會(huì)出現(xiàn)沿嚙合線反方向的彎曲變形，從而引起的回差應(yīng)該為2χ。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因傳動(dòng)軸的彎曲變形產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為

3.3 齒輪的扭轉(zhuǎn)變形

齒輪傳動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)，從誤差傳遞方法考慮，有學(xué)者提出了扭轉(zhuǎn)嚙合剛度理論［7］，定義扭轉(zhuǎn)剛度km為：齒輪承受的扭矩載荷T和在該扭矩載荷作用下輪體產(chǎn)生的彈性扭轉(zhuǎn)角θ之間的比值。

齒輪的扭轉(zhuǎn)變形主要包括3部分：輪轂扭轉(zhuǎn)、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形，這3種變形綜合起來(lái)對(duì)齒輪傳動(dòng)的誤差可以用齒輪在分度圓上的扭轉(zhuǎn)變形角來(lái)描述，如圖2所示。因此，要獲得齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度就需要得知齒輪在該載荷下的扭轉(zhuǎn)變形角位移［8］。

以直齒圓柱齒輪為例，利用有限元分析軟件Ansys workbench分析齒輪在齒面法向Fn作用下的扭轉(zhuǎn)變形角位移［9－10］。

對(duì)輪齒受力分析，齒輪受到圓周力、徑向力和法向力，有如下關(guān)系式：

式中，T為齒輪受到的扭矩。

根據(jù)式（19），可以得到作用于輪齒齒面的法向力Fn。

齒輪的載荷與約束情況：在齒內(nèi)圈面A 添加固定約束，在齒面B添加法向力，如圖3所示。

根據(jù)仿真分析云圖，得到齒頂?shù)呐まD(zhuǎn)變形xa和齒根的扭轉(zhuǎn)變形xf，利用插值法得到分度圓的扭轉(zhuǎn)變形角位移為

式中：d為齒輪分度圓直徑；da為齒輪齒頂圓直徑；df為齒輪齒根圓直徑。

因?yàn)辇X輪傳動(dòng)的過(guò)程中單齒嚙合和雙齒嚙合是相互交替進(jìn)行的［11］，從單齒過(guò)渡到雙齒時(shí)，齒輪的變形會(huì)逐漸變小，取齒輪的等效扭轉(zhuǎn)剛度為kme，所以齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角為

式中，εα為重合度。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因齒輪的扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為

所以，齒輪傳動(dòng)鏈的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為

綜上所述，在齒輪鏈傳動(dòng)過(guò)程中，齒輪傳動(dòng)總誤差由靜態(tài)傳動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差組成，即

4 實(shí)例分析

以某型火炮方向機(jī)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)為例，采用上述誤差分析方法，計(jì)算該方向機(jī)的傳動(dòng)誤差，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際傳動(dòng)誤差比較。

方向機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)主要參數(shù)如下：火炮炮塔水平方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝11 331kg·m2，角加速度α＝70（°）／s2，負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)扭矩T＝931.13N·m，齒輪與軸的材料彈性模量E＝2.06×1011Pa，剪切模量G＝7.9×1010Pa，泊松比μ＝0.3。齒輪鏈中傳動(dòng)齒輪的主要參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪鏈的主要參數(shù)

4.1 方向機(jī)靜態(tài)誤差的計(jì)算

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可知方向機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)各級(jí)傳動(dòng)齒輪的單向傳動(dòng)誤差K1與K2，圓周側(cè)隙jt以及從動(dòng)輪的分度圓直徑d2等參數(shù)如表2所示，由式（4）以及（8）～（11）計(jì)算得到方向機(jī)的靜態(tài)傳動(dòng)誤差如表2所示。

表2 方向機(jī)的靜態(tài)誤差

所以，由于制造和安裝等因素的影響，方向機(jī)的傳動(dòng)齒輪的靜態(tài)傳動(dòng)誤差為δ∑1＝3.173。

4.2 方向機(jī)動(dòng)態(tài)誤差的計(jì)算

方向機(jī)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的各傳動(dòng)軸受到的扭矩如表3所示。

表3 傳動(dòng)軸受到的扭矩

根據(jù)式（12）計(jì)算各級(jí)傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形如表4所示。

表4 傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形角

代入式（14），得到方向機(jī)傳動(dòng)軸由于扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差角為γ∑＝5.292。

下面計(jì)算方向機(jī)傳動(dòng)軸在齒面法向力作用下產(chǎn)生的彎曲變形。首先，根據(jù)表3中傳動(dòng)軸受到的扭矩和式（19），可以計(jì)算得到各傳動(dòng)齒輪受到法向力Fn，如表5所示。

表5 方向機(jī)傳動(dòng)齒輪受到的法向力

根據(jù)3.2節(jié)的傳動(dòng)軸彎曲變形分析方法，分析傳動(dòng)軸Ⅰ的受力情況，如圖5所示。

將參數(shù)代入式（16），得到傳動(dòng)副齒輪Z5與Z6之間的圓周側(cè)隙f＝0.562，再代入式（17）得到，由于傳動(dòng)軸Ⅰ彎曲變形導(dǎo)致齒輪Z5與Z6的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差角χ1＝0.047。

同理，可以計(jì)算得到第2級(jí)傳動(dòng)齒輪Z3與Z4的傳動(dòng)誤差角χ2＝0.216，以及第1級(jí)傳動(dòng)齒輪Z1與Z2的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差角χ3＝0.015。

代入式（18），計(jì)算得到方向機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因傳動(dòng)軸的彎曲變形而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差χ∑＝0.154。

可見，初級(jí)傳動(dòng)軸和末級(jí)傳動(dòng)軸的彎曲變形導(dǎo)致的傳動(dòng)誤差是很小的，這是由于在安裝設(shè)計(jì)過(guò)程中，將初級(jí)軸上的齒輪與末級(jí)軸上的齒輪靠近支撐軸承安裝，減小了軸的彎曲變形，進(jìn)而減小了對(duì)齒輪傳動(dòng)精度的影響。

下面采用有限元方法，根據(jù)方向機(jī)傳動(dòng)齒輪所受到的負(fù)載，計(jì)算方向機(jī)傳動(dòng)時(shí)因齒輪變形引起的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差。

利用三維建模軟件UG 的參數(shù)化建模功能，建立傳動(dòng)鏈齒輪的三維模型，導(dǎo)出Parasolid的.x＿t文件，再導(dǎo)入有限元分析工具Ansys workbench中，對(duì)齒輪的受力變形進(jìn)行分析，得到傳動(dòng)齒輪的仿真結(jié)果如圖6所示。

根據(jù)上面的仿真分析云圖，可知方向機(jī)傳動(dòng)鏈齒輪在負(fù)載扭矩作用下各齒輪的齒頂圓與齒根圓的變形位移，代入式（20），計(jì)算得到齒輪分度圓的變形角位移，即是測(cè)量點(diǎn)的變形角位移。再由式（21）～（23），計(jì)算得到齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角，結(jié)果如表6所示。

表6 傳動(dòng)鏈齒輪的變形位移

由式（24）計(jì)算得到方向機(jī)傳動(dòng)由于齒輪扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差ψ∑＝1.091。

綜上所述，當(dāng)炮塔角加速度為70（°）／s2時(shí)，方向機(jī)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差δ∑2＝6.537。

4.3 方向機(jī)傳動(dòng)總誤差的計(jì)算

根據(jù)上述總結(jié)的齒輪傳動(dòng)誤差計(jì)算方法，最后得到該方向機(jī)的傳動(dòng)誤差如表7所示。

表7 方向機(jī)的傳動(dòng)誤差

所以，方向機(jī)在該負(fù)載作用下的傳動(dòng)總誤差為9.71′，與工程實(shí)際誤差值8′～10′相符。

火炮在跟蹤瞄準(zhǔn)射擊目標(biāo)的過(guò)程中，炮塔的調(diào)轉(zhuǎn)角加速度是變化的，那么方向機(jī)的負(fù)載也應(yīng)該是變化的，因此方向機(jī)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差隨著負(fù)載的變化而變化。利用上述動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的計(jì)算方法，分別計(jì)算炮塔的調(diào)轉(zhuǎn)角加速度為10（°）／s2，20（°）／s2，…，70（°）／s2時(shí)，方向機(jī)傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差分別如表8所示。

表8 不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下方向機(jī)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差

利用Matlab的數(shù)據(jù)擬合功能，得到方向機(jī)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差在炮塔不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下的變化曲線如圖7所示。

擬合曲線為：

式中：x為炮塔調(diào)轉(zhuǎn)角加速度；y為方向機(jī)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差。

綜上所述，方向機(jī)的傳動(dòng)總誤差可以寫成：

5 結(jié)論

根據(jù)齒輪傳動(dòng)制造與安裝誤差的正態(tài)分布規(guī)律，采用概率法分析了火炮方向機(jī)齒輪傳動(dòng)的靜態(tài)傳動(dòng)誤差；采用有限元法，仿真分析了火炮方向機(jī)齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)在不同載荷下的動(dòng)態(tài)扭轉(zhuǎn)變形，得到了方向機(jī)傳動(dòng)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差在炮塔不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下的變化曲線，最后得出了傳動(dòng)總誤差與炮塔調(diào)轉(zhuǎn)角加速度的關(guān)系式，可為研究火炮方向機(jī)對(duì)調(diào)炮精度的影響提供參考。

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