數(shù)學(xué)建模思想在教學(xué)中的原則與作用

王忠信

【摘 要】數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立既需要人們對現(xiàn)實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 ? ? ?原則 ? ? 應(yīng)用

一、數(shù)學(xué)模型的定義

現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型還沒有一個統(tǒng)一的準確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義：“數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。”具體來說，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)學(xué)及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達式。今天，數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域上起著十分關(guān)鍵的作用，數(shù)學(xué)建模被時代賦予更為重要的意義。

二、數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

1.模型準備

要了解問題的實際背景，明確建模目的，盡量弄清對象的特征。

2.模型假設(shè)

根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進行必要地、合理地簡化，用精確的語言做出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步，高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，使問題簡單化。

3.模型構(gòu)成

根據(jù)所做的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

4.模型求解

可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，對問題進行合理地驗證。

5.模型分析

對模型解答進行數(shù)學(xué)上的分析?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結(jié)果做出細致精當(dāng)?shù)胤治觯瑳Q定了你的模型能否達到更高的檔次。

三、數(shù)學(xué)建模案例分析

在教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生認識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，了解數(shù)學(xué)在實際生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用，用數(shù)學(xué)建模來解決實際問題就是數(shù)學(xué)在生活中的重要應(yīng)用，這里以一個數(shù)學(xué)案例來說明數(shù)學(xué)建模思想。

例：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上卸載貨物，卸載完畢恰好用8天時間：

（1）輪船到達目的地后開始卸貨，卸貨速度與卸貨時間之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸貨物？

對于問題（1）我設(shè)計如下問題：①這艘輪船上裝有多少貨物？

②輪船到達目的地后，卸下的貨物是多少噸？變量和常量是什么？

設(shè)計這些問題的目的是讓學(xué)生明白，貨物重量是240噸，是一個常量，變量時卸貨速度和卸貨時間。

③若設(shè)卸貨的速度是V，時間為t，那么V與t之間有什么函數(shù)關(guān)系呢？

設(shè)計意圖是通過對問題的抽象，應(yīng)用“工作量=工作速度×工作時間”，建立V與t之間的數(shù)學(xué)模型（反比例函數(shù)）。

對于（2）設(shè)計問題如下：①如果用5天時間卸完240噸貨物，那么每天卸貨多少噸？

②當(dāng)變量t的取值小于5時，對應(yīng)的函數(shù)V的值比48大還是??？

③當(dāng)t的值不超過5時，對應(yīng)的函數(shù)V的值是大于48還是小于48？

設(shè)計意圖是讓學(xué)生明白，t的取值越小，V的值越大。

四、數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)遵循的幾個原則

應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)的同時又能解決實際問題、提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力？通過教學(xué)實踐，我認為主要應(yīng)該把握好以下幾點：

1.要解決數(shù)學(xué)建模能力中的核心層——數(shù)學(xué)化

學(xué)生解決“應(yīng)用”問題，有兩個“攔路虎”，首先就是學(xué)生不會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)化過程。這里需要解決學(xué)生怎樣通過閱讀理解將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，這一點恰恰是教學(xué)的一個盲點，學(xué)生不能對應(yīng)用問題進行有效的閱讀理解。日常教學(xué)中，我們要注意指導(dǎo)學(xué)生在閱讀中形成閱讀想象、閱讀聯(lián)想、閱讀思維、閱讀情感等穩(wěn)定的閱讀心理要素，持之以恒地訓(xùn)練，使學(xué)生形成良好的閱讀理解能力。其次，應(yīng)加強學(xué)生的運算（特別是近似計算）能力培養(yǎng)，應(yīng)鼓勵學(xué)生使用計算機、計算器等工具。

2.要突出學(xué)生的主體地位

學(xué)生主體地位是指學(xué)生應(yīng)是教學(xué)活動的中心，教師、教材以及一切的教學(xué)手段，都應(yīng)為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)，讓學(xué)生應(yīng)積極參與到教學(xué)活動中去，充當(dāng)教學(xué)活動的主角。教師要鼓勵學(xué)生大膽嘗試，鼓勵學(xué)生不怕挫折失敗，鼓勵學(xué)生動口表述、動手操作、動腦思考。鼓勵學(xué)生要多想、多讀、多議、多講、多練、多聽，讓學(xué)生始終處于主動參與、主動探索的積極狀態(tài)。如在“打包問題”教學(xué)中，可讓學(xué)生自己制作模型，自己測量有關(guān)數(shù)據(jù)，自己動手擺列模型，有助于學(xué)生深入思考問題的實質(zhì)，教師要在講解過程中不斷滲透建模的思想，由師生共同探討得到數(shù)學(xué)建模的結(jié)果。

3.要把握適應(yīng)性原則

數(shù)學(xué)建模的設(shè)計應(yīng)與課堂教學(xué)內(nèi)容相配套，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想方法。設(shè)計所涉及的數(shù)學(xué)知識可有所拓寬，但課堂教學(xué)中建模問題要與教學(xué)目標和課堂教學(xué)進度相適應(yīng)，不可任意地拓寬和加深，以免加重學(xué)生學(xué)習(xí)負擔(dān)。選題時可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容構(gòu)造實際模型。

比如函數(shù)、不等式等問題，可以從教材的例題和習(xí)題中改造而成。如：《拋物線》中有一道例題，“拋物線形拱橋如圖所示，當(dāng)拱頂離水面2.5m時，水面寬4.5m。如果水面上升0.5m，水面寬多少（精確到0.01m）？”（此處圖略）稍加改變就可以形成一系列從應(yīng)用到建模的問題：（1）一輛貨車要通過跨度為8m，拱高為4m的單行拋物線形隧道（從正中通過），為保證安全，車頂離隧道頂部至少要有0.5m的距離，若貨車寬為2m，則貨車的限高應(yīng)為多少（精確到0.01m）？（2）一條隧道頂部是拋物拱形，在（1）中將單行道改為雙行道，即貨車必須由隧道中線的右側(cè)通過，那么貨車的限高應(yīng)是多少？（3）一輛貨車高3m，寬2m，要通過高為4m的單行拋物線形隧道，為安全起見，車離隧道頂部至少要有05m的距離，那么拱口寬應(yīng)是多少米（精確到0.01m）？（4）將上題中的單行道改成雙行道，再回答上面的問題;（5）將（1）中的拋物線拱改為圓拱，再解問題（1）;（6）將（2）、（3）、（4）中的拋物線拱改為圓拱，重解這三題;（7）如果開口向下的拋物線下的面積可以用公式s=2ab/2計 算（其中2a是拋物線開口寬度，b是拋物線高度），問分別開鑿滿足問題（1），（5）等長的公路隧道，哪一種拱線的土方工程量更?。浚?）請你設(shè)計一條拋物線拱，它滿足（4）中雙行要求，且拱曲線下的面積最小，從而開鑿的土方量最小。

另外也可以聯(lián)系實際生活，引導(dǎo)學(xué)生建立一些簡單的數(shù)學(xué)模型。日常生活是應(yīng)用問題的源泉之一，現(xiàn)實生活中有很多問題可以通過建立數(shù)學(xué)模型加以解決。如購房問題，市場經(jīng)濟中涉及如成本、利潤、儲蓄等方面的問題是數(shù)學(xué)建模的好素材，適當(dāng)選取后融入教學(xué)活動中，讓學(xué)生“跳一跳可以把果子摘下來”即可。

4.要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識、技能轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。建模過程應(yīng)該是滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程。比如化歸的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，等價轉(zhuǎn)化思想，消元法、換元法、待定系數(shù)法、配方法、反證法、解析法等數(shù)學(xué)方法。教學(xué)中注重全方位滲透數(shù)學(xué)思想方法，才有可能讓學(xué)生從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)建模的思想。

五、數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用

1.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，運用數(shù)學(xué)建模思想也能取得較好的實效。比如，在講授“軸對稱”概念時，可以給出“奶站”模型，讓學(xué)生熟知此類問題的實際應(yīng)用。對于不同的模型，一旦拋開其實際意義，可以單純地從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上來看待，能讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的魅力。

2.在作業(yè)布置中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

現(xiàn)行的教材，涉及應(yīng)用方面的問題很少，這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是十分不利的。為盡量彌補這一缺憾，可補充一些數(shù)學(xué)建模的素材到習(xí)題之中，這樣不但能夠豐富教學(xué)的內(nèi)容，而且又能讓學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的全過程。

3.在考試考核中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)考核的方法正在從單一的閉卷考試轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊问?，可見，客觀公正、尊重個體能力及差異變得更加重要，而創(chuàng)新意識的培養(yǎng)則是數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的宗旨之一。因此，在考核中，要充分展現(xiàn)學(xué)生各方面的創(chuàng)新能力。

總之，數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，對于數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有非常重要的意義。將數(shù)學(xué)建模思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)，其目的是更好地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高他們運用數(shù)學(xué)思想分析問題、解決問題及抽象思維的能力。教師要通過數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，使學(xué)生初步掌握從實際問題中概括數(shù)學(xué)內(nèi)涵的方法，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并為將來學(xué)生的專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

六、總結(jié)

數(shù)學(xué)以高度的抽象性、嚴密的邏輯性以及廣泛的應(yīng)用性，滲透于科學(xué)技術(shù)及實際生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域。建模能力是解題者對各種能力的綜合應(yīng)用，它涉及文字理解能力，對相關(guān)知識的掌握程度，良好的心理素質(zhì)，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學(xué)思維方法的綜合應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模教學(xué)在以上適度的原則下也不應(yīng)該拘泥于形式，受縛于教條，我們應(yīng)密切關(guān)注生活，結(jié)合課本，改變原體，將知識重新分解組合，使之成為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息的問題，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性是大有益處的。數(shù)學(xué)建模是一種新的學(xué)習(xí)方式，順應(yīng)了社會發(fā)展及教育改革的需要，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也可以增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

【參考文獻】

[1]白其崢.數(shù)學(xué)建模案例分析[M].北京：海洋出版社，2000.

[2]朱道元.數(shù)學(xué)建模案例精選[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[3] 陳理榮.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，1999.

[4]蔡鎖章.數(shù)學(xué)建模：原理與方法[M].北京：海洋出版社，2000 .

[5]吳翊，吳孟達，成禮智.數(shù)學(xué)建模的理論與實踐[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，1999.