基于量子信號處理的數(shù)字半色調(diào)算法

席 亮

(1.上海市普陀區(qū)業(yè)余大學(xué)信息工程系，上海 200062;2.上海開放大學(xué)普陀分校信息工程系，上海 200062)

0 引言

數(shù)字半色調(diào)技術(shù)是指把連續(xù)色調(diào)圖像通過計算機程序轉(zhuǎn)化成二值圖像的方法［1］。由于目前大部分圖像輸出設(shè)備都是以二值圖像的形式輸出，因此數(shù)字半色調(diào)技術(shù)在打印、顯示、紡織、印刷、傳真、激光雕刻等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［2-4］。半色調(diào)算法的優(yōu)劣直接影響到輸出圖像的質(zhì)量，實現(xiàn)半色調(diào)技術(shù)的關(guān)鍵是使生成圖像中像素點的分布最優(yōu)化，在視覺效果上盡可能地接近原始連續(xù)色調(diào)圖像。

目前半色調(diào)的研究主要集中在抖動法、誤差擴散法和迭代法3 種［5］。

1)抖動法的典型代表是利用bayer 設(shè)計的抖動矩陣與原圖進行比較產(chǎn)生半色調(diào)圖像，該方法將產(chǎn)生大量人眼能夠辨別的人工紋理，并且細(xì)節(jié)丟失嚴(yán)重。

2)誤差擴散算法把二值圖像與原圖像素值之差按一定比例分散到還未處理的其他像素上，因而具有自我校正能力，得到的半色調(diào)圖像效果較好，但也會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性紋理，且邊緣模糊。許多學(xué)者對此進行了改進，Ostromoukhov 提出了快速誤差擴散算法［6］，葉玉芬等提出了基于視覺差的誤差擴散算法(PEBED)［7］等，但都無法完全消除紋理現(xiàn)象。

3)迭代法先用一種簡單半色調(diào)算法得到二值圖像，然后反復(fù)進行迭代處理，使每次得到的圖像與原圖相比誤差更小，直到生成最優(yōu)半色調(diào)圖像。例如基于人類視覺模型(HVS)的DBS 算法和Pang 等以結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)模型為基礎(chǔ)提出的SAH 算法［8］。迭代法雖然生成的半色調(diào)圖像效果最好，但計算復(fù)雜度較高，很難用于實時處理場合。

近年來，基于量子力學(xué)理論的信息處理技術(shù)受到了學(xué)者們的極大關(guān)注，量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子遺傳、量子粒子群優(yōu)化等方面的研究成果層出不窮［9-10］。2001年Eldar 等首次引入了量子信號處理(QSP)概念［11］，提出了QSP 基本框架。2003 年Tseng 等基于QSP 框架首次提出了量子數(shù)字圖像處理的方法［12］。在國內(nèi)，謝可夫教授提出了一種數(shù)字圖像量子比特表示的統(tǒng)一形式［13］，并推導(dǎo)出量子衍生圖像邊緣檢測［14］、基于量子理論的自適應(yīng)中值濾波［15］等算法。付曉薇把量子概率統(tǒng)計的理論成功應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像的增強［16］，本文作者提出了一種基于量子衍生圖像分解的圖像融合方法［17］。

本文結(jié)合上述研究成果，提出一種基于量子信號理論的數(shù)字半色調(diào)算法，通過仿真實驗表明該方法較之傳統(tǒng)的半色調(diào)算法具有更好的視覺效果。

1 量子信號理論基本概念

1.1 量子比特

經(jīng)典計算機使用比特(bit)作為信息存儲的基本單元，用0 和1 表示2 種不同的狀態(tài)，量子力學(xué)理論中也有一個類似的概念——量子比特(qubit)，量子信息理論是建立在量子比特基礎(chǔ)上。類似于經(jīng)典比特的2 個基本狀態(tài)0 和1，量子比特也有2 個基態(tài)|0〉和|1〉，但量子比特是由2 個基態(tài)的線性疊加構(gòu)成的雙態(tài)量子系統(tǒng)。在量子力學(xué)中，這2 個基態(tài)可以分別對應(yīng)電子的自旋向上方向或自旋向下方向，也可以對應(yīng)光子的垂直偏振方向或水平偏振方向。量子比特可用如下方式來表示:

其中，a 和b 是2 個復(fù)系數(shù)，分別表示狀態(tài)|0〉和|1〉的概率幅，并且它們滿足歸一化條件|a|2+|b|2=1，另外|a|2和|b|2分別表示2 個基態(tài)|0〉和|1〉出現(xiàn)的概率［18］。顯然，當(dāng)a=0 或b=0 時，量子比特退化到經(jīng)典比特0 或1 的形式，因此可以認(rèn)為經(jīng)典比特是量子比特的特例。

在量子世界中，微觀粒子的狀態(tài)是不確定的，它可以不同概率處于多個不同的狀態(tài)，但一旦經(jīng)過量子測量后，將坍縮到一個確定的狀態(tài)。量子比特不僅可以表示，2 個基態(tài)|0〉和|1〉，還可以表示|0〉和|1〉之間所有可能的連續(xù)狀態(tài)，但經(jīng)過測量會坍縮到基態(tài)|0〉或|1〉。

1.2 量子信號處理框架

美國麻省理工學(xué)院的Eldar 等人在2001 年首次提出了量子信號處理(QSP)的概念。QSP 是基于量子力學(xué)的基本理論和數(shù)學(xué)體系建立，在經(jīng)典計算機上實現(xiàn)新的或改進的信號處理算法的框架。它不依賴于量子物理設(shè)備，不受量子系統(tǒng)的物理約束，可以充分發(fā)揮量子力學(xué)理論數(shù)學(xué)體系的優(yōu)勢，是量子衍生方法在信號處理領(lǐng)域應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。QSP 是一種信號處理新算法的生成機制，為信號處理理論提供了一種新的思路，這一思路與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法相似，也是一種對自然現(xiàn)象仿真的算法框架。

QSP 框架對現(xiàn)有算法進行改進的過程包括3 個步驟，輸入映射、QSP 測量和輸出映射，如圖1 所示。

圖1 量子信號處理框架

1)將待處理的輸入信號表示成量子比特的形式，即量子疊加態(tài);

2)將現(xiàn)有信號處理算法表示成對量子態(tài)的測量，通過設(shè)計不同形式的測量算子和修改測量算子中的參數(shù)來改進已有的算法或生成新的算法，并充分利用量子系統(tǒng)數(shù)學(xué)框架的形式使其在經(jīng)典計算機上得以實現(xiàn);

3)將對量子態(tài)進行測量的結(jié)果轉(zhuǎn)化成為信號原來的表示形式并輸出。

目前大部分信號處理算法都可以利用QSP 框架抽象成為由輸入信號通過相應(yīng)處理得到符合要求輸出的模式。圖像處理是信號處理的一個重要分支，QSP 框架在圖像處理領(lǐng)域必能得到有效應(yīng)用，但目前國內(nèi)外相關(guān)研究還比較少。

2 量子半色調(diào)算法

本文基于Eldar 等提出的QSP 框架，對傳統(tǒng)數(shù)字半色調(diào)算法中的誤差擴散算法進行改進，提出一種基于量子信號處理理論的數(shù)字半色調(diào)方法。

2.1 生成二值圖像

假設(shè)f(m，n)為一幅經(jīng)過歸一化的灰度圖像，f(m，n)∈［0，1］，首先將圖像f(m，n)中的每一個像素值都轉(zhuǎn)化成如下所示的量子比特形式:

其中，|a|2和|b|2分別是該量子比特經(jīng)測量后出現(xiàn)基態(tài)|0〉和|1〉的概率，并且滿足|a|2+|b|2=1。|a|2和|b|2的計算可以采用以下方法。

在傳統(tǒng)誤差擴散算法中半色調(diào)圖像某一點的像素值取決于該點原始像素值和相鄰已處理過的像素點的誤差值，如圖2 所示。

圖2 誤差擴散示意圖

其中，s1～s4是已處理過的相鄰像素點擴散到該點的誤差值，g(m，n)是對應(yīng)的二值圖像。通過以下公式計算|a|2和|b|2:

其中，f(p)為概率分布函數(shù)，參數(shù)u，v 為［0，1］之間的實數(shù)，經(jīng)實驗測試取u=0.1，v=0.01。

根據(jù)量子測量理論，量子比特|q(m，n)〉經(jīng)過測量后將會以|a|2的概率坍縮成狀態(tài)|0〉，以|b|2的概率坍縮成狀態(tài)|1〉，從數(shù)字圖像的角度看，可以認(rèn)為坍縮成一幅二值圖像，狀態(tài)|0〉對應(yīng)像素值0，狀態(tài)|1〉對應(yīng)像素值1。本文使用隨機觀測［10，12-13］的方式，對每一個量子比特進行隨機測量，這種隨機觀測的方法雖然會產(chǎn)生一定程度上的不確定性，但經(jīng)大量實驗證明，這種不確定性只存在于很小的范圍內(nèi)，不影響定性分析。具體測量方法為:針對每一個量子比特|q(m，n)〉分別生成一個［0，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù)r，如果r∈［0，|a|2］則該量子比特坍縮到基態(tài)|1〉，對應(yīng)二值圖像的像素值為1，如果r∈(|a|2，1］則坍縮到基態(tài)|0〉，對應(yīng)二值圖像的像素值為0。由此灰度圖像f(m，n)坍縮成了一幅二值圖像g(m，n)。該二值圖像與原圖的誤差為e(m，n)，e(m，n)=|f(m，n)-g(m，n)|。

2.2 誤差反饋

半色調(diào)技術(shù)是用二值圖像代替連續(xù)色調(diào)圖像，因此處理后必將丟失一部分灰度信息，傳統(tǒng)誤差擴散算法雖然把誤差傳遞到了周圍像素，大幅減少了丟失的灰度信息，但也因此引入了人眼可見的結(jié)構(gòu)性紋理，并且導(dǎo)致邊緣模糊，過渡不連續(xù)，圖像對比度降低等問題。因此，本文引入誤差反饋機制，將二值圖像g(m，n)與原始圖像f(m，n)的誤差e(m，n)乘以自適應(yīng)反饋系數(shù)后對原圖進行增強處理。反饋原則為對于較亮區(qū)域進行正反饋，使其亮度增加，灰度值趨近于1，對于較暗區(qū)域進行負(fù)反饋，降低其亮度，使其灰度值趨近于0，對增強過的圖像再進行傳統(tǒng)誤差擴散處理得到的半色調(diào)圖像將具有更高的對比度，并且能夠減少結(jié)構(gòu)性紋理現(xiàn)象。同時這種自適應(yīng)誤差反饋機制也可以把上文中量子隨機觀測帶來的不確定性進一步降低。

設(shè)自適應(yīng)反饋系數(shù)為H，表示誤差e(m，n)對原圖的影響程度，f'(m，n)為增強后的圖像，反饋方程為:

其中，q 是一個常量，可用來調(diào)節(jié)圖像增強的效果，取q=0.196。反饋系數(shù)H 的計算借鑒文獻［7］中的方法，使用以下公式:

其中，favg(m，n)為當(dāng)前像素點及附近八鄰域的像素均值，即:

其中，-1 ≤i ≤1，-1 ≤j ≤1。

2.3 算法實現(xiàn)

本算法的具體實現(xiàn)過程包括以下幾個步驟:

1)利用公式(3)～公式(9)計算|a|2和|b|2，把歸一化后的灰度圖像f(m，n)中的每個像素點表示成量子比特的形式。

2)對每一位量子比特分別生成一個［0，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù)，對其進行隨機測量，利用量子坍縮原理得到二值圖像g(m，n)，并計算該圖像與原圖的誤差e(m，n)。

3)利用公式(11)計算自適應(yīng)反饋系數(shù)H。

4)利用公式(10)對原圖的每一個像素進行增強處理，得到新的連續(xù)調(diào)圖像f'(m，n)。

5)對f'(m，n)按照傳統(tǒng)誤差擴散算法進行處理得到最終的半色調(diào)圖像。

3 仿真實驗及性能評價

3.1 仿真實驗的主觀評價

為了驗證算法的有效性，本文選擇了數(shù)字圖像處理中常見的3 幅圖像作為仿真實驗對象，3 幅圖像lean、peppers、barbara，均為8 bit 灰度圖像，大小為512 ×512。仿真實驗結(jié)果分別如圖3～圖5 所示。其中，子圖(a)為原始圖像，子圖(b)為采用bayer 抖動矩陣得到的半色調(diào)圖像，子圖(c)為使用Floyd-Steinberg 濾波器的傳統(tǒng)誤差擴散算法得到的半色調(diào)圖像，子圖(d)、(e)分別是文獻［19-20］中提出的算法得到的結(jié)果，子圖(f)為本方法得到的半色調(diào)圖像。雖然本文使用的量子隨機測量導(dǎo)致最終產(chǎn)生的圖像存在一定程度上的不確定性，但經(jīng)實驗測試，這種不確定性產(chǎn)生的差異肉眼很難直接察覺，故本文隨機抽取了其中一幅半色調(diào)圖像用來對比。圖6 是使用本方法對lena 圖片處理得到半色調(diào)圖像的直方圖，顯然這是一幅二值圖像，其余實驗結(jié)果的直方圖與此類似。

圖3 圖片lena 實驗結(jié)果圖

圖4 圖片peppers 實驗結(jié)果圖

圖5 圖片barbara 實驗結(jié)果圖

圖6 本方法實驗結(jié)果直方圖(lena 圖)

從3 組實驗結(jié)果的主觀感受分析，使用bayer 抖動矩陣得到的半色調(diào)圖像比較模糊，點增益現(xiàn)象明顯，使用傳統(tǒng)誤差擴散算法得到的結(jié)果清晰度較好，但有明顯的人工紋理現(xiàn)象，且邊緣過渡模糊，文獻［19］提出方法的結(jié)果邊緣特征明顯，但人工紋理現(xiàn)象仍然嚴(yán)重，文獻［20］提出的方法人工紋理現(xiàn)象得到大幅減少，本方法得到的半色調(diào)圖像與文獻［20］的結(jié)果比較接近，但人工紋理現(xiàn)象得到進一步減少，尤其黑色區(qū)域幾乎沒有紋理，并且圖像對比度更高，整體視覺效果更好。

3.2 仿真實驗的客觀評價

由于人的主觀評價容易受到情緒、環(huán)境、性格等影響，評價尺度很難把握，因此本文同時采用以下客觀指標(biāo)作為評價依據(jù):

1)峰值信噪比(PSNR)。

峰值信噪比是指圖像峰值信號能量與信號噪聲方差的比值。該值主要反映圖像亮度的相似性和噪聲水平。PSNR 值越大說明半色調(diào)圖像的質(zhì)量與原圖越接近，具體計算公式如下:

其中，M 和N 為圖像的行數(shù)和列數(shù)，f(m，n)和b(m，n)分別為原始圖像和半色調(diào)圖像的灰度值。

2)歸一化均方誤差(NMSE)。

歸一化均方誤差的計算方法為半色調(diào)圖像與原圖對應(yīng)像素灰度值之差的平方和，與原圖所有像素灰度值平方和的比值。該評價指標(biāo)能夠在一定程度上反映出2 幅圖像之間的相似程度。NMSE 值越小，說明半色調(diào)圖像與原始圖像整體上越接近。具體計算公式為:

3)結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)。

結(jié)構(gòu)相似度指標(biāo)根據(jù)人眼的視覺特點，把亮度、對比度和結(jié)構(gòu)3 個指標(biāo)構(gòu)成一個相似度系統(tǒng)來評價2 幅圖像的相似程度［21］。具體計算公式為:

其中，l(x，y)，c(x，y)，s(x，y)分別為亮度、對比度和結(jié)構(gòu)信息函數(shù)，α，β，γ 均為正數(shù)，用來調(diào)節(jié)三者的權(quán)重，一般取α=β=γ=1。通常SSIM 的取值范圍在［0，1］之間，SSIM 值越大表明2 幅圖像的相似度越高，差異越小。

對lean、peppers、barbara 3 幅圖片分別使用bayer抖動法、傳統(tǒng)誤差擴散法、文獻［19］和文獻［20］提出方法和本方法計算上述3 個評價指標(biāo)值?？紤]到本方法在量子隨機觀測時會產(chǎn)生一定程度的不確定性，仿真實驗時對此進行了大量測試，表1 中的數(shù)據(jù)是lena 圖片經(jīng)過10 次實驗后的3 個客觀評價指標(biāo)值。從表中可以看出，這種不確定性帶來的差異在客觀評價指標(biāo)上只體現(xiàn)在小數(shù)點后第3 位，不影響對其進行客觀評價，故本文隨機抽取其中一組數(shù)據(jù)與其他算法進行對比。

表1 本方法10 次實驗結(jié)果對比表(lena 圖)

表2～表4 中的數(shù)據(jù)是對3 幅實驗圖片分別使用本方法等5 種方法計算得到的客觀評價指標(biāo)值。

表2 圖片lena 實驗結(jié)果對比表

表3 圖片peppers 實驗結(jié)果對比表

表4 圖片barbara 實驗結(jié)果對比表

從3 張表中的實驗數(shù)據(jù)可以看出，使用本方法得到的半色調(diào)圖像PSNR 值和SSIM 值最大，NMSE 值最小，說明它與原圖最接近，相似度最高，差異最小。因此從客觀評價指標(biāo)上分析，本文提出的方法也優(yōu)于其他幾種方法。

4 結(jié)束語

本文基于量子信號理論和傳統(tǒng)的誤差擴散算法，提出了一種新的數(shù)字半色調(diào)方法，通過仿真實驗表明使用該方法得到的半色調(diào)圖像效果較好，主、客觀評價均優(yōu)于傳統(tǒng)的半色調(diào)算法。該方法為研究數(shù)字半色調(diào)技術(shù)提出了一種新的思路，但視覺效果上相比迭代法的仍有一定差距，后續(xù)研究將結(jié)合迭代法對其進行進一步優(yōu)化，以期獲得更好的視覺效果，同時降低迭代法計算的復(fù)雜度。此外進一步降低量子隨機觀測帶來的不確定性，或使用更好的量子測量方法也是今后進一步研究的方向。

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