“追及、相遇”問題的解題策略

陳志偉

一、抓住“一個條件，兩個關(guān)系”.

“一個條件”是：兩物體速度相等，追者和被迫者速度相等是能否追上、兩者間的距離有極值、能否避免碰撞的臨界條件.因此，利用速度相等求出時間，往往是解決追及、相遇問題的突破口.

“兩個關(guān)系”是：時間關(guān)系和位移關(guān)系.時間關(guān)系是指兩物體運動時間是否相等，兩物體是同時運動還是一先一后等；而位移關(guān)系是指兩物體同地運動還是一前一后運動等，其中通過畫運動示意圖找到兩個物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例1 A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度為v_A=10m/s，B車在后，其速度為v_A=30m/s.因大霧能見度低，B車在距A車700m時才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但要經(jīng)過1800m，B車才能停下.問A車若按原速度前進(jìn)，兩車是否會相撞？說明理由.

解析 首先，根據(jù)題意，B車剎車過程中的加速度大小為根據(jù)兩車的運動情況，如果不發(fā)生碰撞，那么，兩車之間最小的距離應(yīng)該出現(xiàn)在“速度相等”這一時刻，而如果此時不碰撞，那么接下來兩車之間的距離將要變大，也就不會再碰撞了.利用“速度相等”，可以求出B車減速至A車的速度所用時間為：

可見，通過“速度相等”這個臨界條件求出時間再進(jìn)行相關(guān)計算還是比較方便的，而教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生受某些參考書的影響，喜歡先列出兩者位移關(guān)系的方程，然后用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理，通過求解位移方程（關(guān)于t的一元二次方程）、計算根的判別式或配方等途徑來判斷是否發(fā)生碰撞、求距離的極值等.雖然這也是追及、相遇問題的一種解法，但這樣做往往會陷入復(fù)雜運算的“泥潭”.而且，純粹從數(shù)學(xué)角度分析，也少了一點物理的“味道”，相比之下，還是把追及、相遇問題看作是一個“物理模型”來求解更加清楚簡便.

二、注意“停車”陷阱.

若被追趕的物體做勻減速運動，則一定要注意判斷，追上前該物體是否已經(jīng)停止運動.如果直接根據(jù)位移關(guān)系列出方程求解，則極有可能得到一個錯誤的結(jié)果，而且是一個“不易察覺”的錯誤結(jié)果.

例2甲車以10m/s的速度在平直的公路上勻速行駛，乙車以4 m/s的速度與甲車平行同向做勻速直線運動.甲車經(jīng)過乙車旁邊時開始以0.5m/s²的加速度剎車，從甲車剎車開始計時，求：（1）乙車在追上甲車前，兩車相距的最大距離；（2）乙車追上甲車所用的時間.

解析 （1）利用“速度相等”，即當(dāng)甲車速度減至等于乙車速度時兩車的距離最大，經(jīng)歷的時間為

（2）作業(yè)中大量學(xué)生這樣解答：追上時有

，看似毫無差錯，實則已掉人“停車”陷阱.導(dǎo)致誤解的原因是被追的甲車在做減速運動，必須先判斷它的停車時間：

三、巧用“速度一時間”圖象.

例3 A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度V_A=10m/s，B車在后，速度V_b= 30m/s，因大霧能見度很低，B車在距a車

時才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但B車要經(jīng)過180m才能夠停止.問：（1）B車剎車時的加速度是多大？ （2）若B車剎車時A車仍按原速前進(jìn)，兩車是否相撞？若會相撞，將在B車剎車后何時？若不會相撞，則兩車最近距離是多少？（3）若B車在剎車的同時發(fā)出信號，A車司機(jī)經(jīng)過

收到信號后加速前進(jìn)，則A車的加速度至少多大才能避免相撞？

解析 本題的第（1）問與第（2）問中判斷是否相撞，與例1情況相似，不再贅述.B車剎車時加速度大小為aV_B=2.5m/s²，且兩車會相撞.設(shè)經(jīng)時間t兩車相撞，則利用“位移關(guān)系”，有

第（3）問的常規(guī)解法是：設(shè)A車的加速度為

若采用“圖象法”，則計算要容易很多.如圖1所示，按照題目已知條件作出“速度一時間”圖象.B車經(jīng)過

4s，速度減小為20m/s，設(shè)從此時起到兩車速度相等經(jīng)歷的時間為

速度圖象，既能直觀地反映兩車的運動過程，又大大減少了計算量.

例4 高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛，甲車在前，乙車在后，速度均為v₀=30m/s，距離s₀=100 m，t=0時刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時間變化的圖象如圖2甲、乙所示，取運動方向為正方向.通過計算說明兩車在0-9s內(nèi)會不會相撞？

解析 由“加速度一時間”圖象可畫出兩車的速度圖象如圖3所示.由圖象可知，t=6 s時兩車等速，此時兩車距離最近.圖中陰影部分面積為0-6s內(nèi)兩車位移之差，即