中立型時滯反饋扭轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析*

劉銘 徐曉峰 張春蕊

（東北林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱 150040）

中立型時滯反饋扭轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析*

劉銘 徐曉峰 張春蕊?

（東北林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱 150040）

研究了中立型時滯動力吸振器抑制扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的振動問題.針對一類強(qiáng)迫扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，采用動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析了動力吸振器與扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，以時滯為參數(shù)，分別得到了動力吸振器與扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，并研究時滯變化時動力吸振器對于主振動系統(tǒng)振動的吸收效果，通過與時滯動力吸振器對比，得到了更大的吸振器和減振系統(tǒng)時滯穩(wěn)定工作區(qū)域，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

扭轉(zhuǎn)振動，中立型，動力吸振器，穩(wěn)定性，減振

引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備在航空、航天、車輛、船舶、機(jī)械、建筑等工程領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，其核心部件是轉(zhuǎn)子系統(tǒng).轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在周期性激振力矩的作用下會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，使得軸系零件磨損加劇、噪聲劇增，甚至?xí)l(fā)生斷軸等事故，后果非常嚴(yán)重.為了安全生產(chǎn)，需要對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動加以抑制，由于設(shè)計簡單和實(shí)用性強(qiáng)，采用動力吸振器減振受到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-6］.傳統(tǒng)的動力吸振器一般都不考慮時滯的作用，但實(shí)際上，對于機(jī)械系統(tǒng)采用主動控制后，傳感器信號的采集和傳輸、控制器的計算、作動器的作動過程等，均會帶來難以避免的時滯效應(yīng)，有時盡管時滯量很小，卻會影響到整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制性能，是不容忽視的.

利用時滯效應(yīng)抑制機(jī)械系統(tǒng)的振動是一門新興的技術(shù)，在傳統(tǒng)動力吸振器的基礎(chǔ)上引進(jìn)一個帶有時滯的部分狀態(tài)反饋，可以增大減振的頻率范圍，而且在某些情況下通過實(shí)時調(diào)節(jié)，可以將主系統(tǒng)的振動完全吸收.美國學(xué)者Olgac最早提出時滯線性動力吸振器，通過調(diào)整反饋增益系數(shù)和時滯量來達(dá)到減小主系統(tǒng)振動的目的［7］.Hosek等研究了采用離心擺式的時滯共振器來抑制扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的振動問題，研究結(jié)果表明，通過調(diào)整反饋增益系數(shù)和時滯量可以很好的抑制主振動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動［8］.徐鑒和趙艷影等在時滯動力吸振器方面做出了大量研究［9-11］，趙艷影等利用穩(wěn)定性切換的方法，研究了扭轉(zhuǎn)動力系統(tǒng)的時滯減振問題，得到了很好的結(jié)果［12］.

盡管在理論研究方面表明時滯動力吸振器對主系統(tǒng)的振動具有很好的減振效果，但是找到合適的時滯量和反饋增益卻并不容易，原因在于時滯量的可調(diào)節(jié)范圍比較小，工程中實(shí)踐起來比較困難.本文采用中立型時滯動力吸振器抑制扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的振動，通過引入中立型反饋可以擴(kuò)大時滯量的可調(diào)節(jié)范圍，提高動力吸振器的實(shí)用性.

1 力學(xué)模型

在文獻(xiàn)［3］和［12］的模型基礎(chǔ)上可以得到，采用中立型時滯動力吸振器抑制線性強(qiáng)迫扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的集中質(zhì)量模型如圖1所示.

圖1所示振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

其中，θ1和θ2分別為主系統(tǒng)和吸振器的扭轉(zhuǎn)角位移，I1和I2分別為主系統(tǒng)和吸振器的質(zhì)量慣性矩，c1和c2分別為主系統(tǒng)和吸振器的線性阻尼系數(shù)，k1和k2分別為主系統(tǒng)和吸振器的線性彈簧的剛度系數(shù)，為中立型時滯反饋控制項，τ為時滯，p＞0，q＞0為反饋增益系數(shù)，F(xiàn)（t）＝Acosω0t為外激勵項.

圖1 中立型時滯動力吸振器抑制扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)Fig.1 A model of vibrating suppression for torsional vibrating system with delayed vibration absorber of neutral

2 中立型時滯動力吸振器的穩(wěn)定性分析

首先研究中立型時滯動力吸振器的穩(wěn)定性問題.圖1所示的減振系統(tǒng)中的中立型時滯動力吸振器運(yùn)動方程為：

其特征方程為：

顯然，當(dāng)τ＝0時，特征方程（4）的兩個根都具有負(fù)實(shí)部.假設(shè)λ＝±iβ（β＞0）為方程（4）的根，代入（4）并分離實(shí)虛部得

兩端平方相加可得

可知，若p＞k2，記

則當(dāng)τ＝τj時，特征方程（4）有唯一一對純虛根±iβ0，其中

因?yàn)?，?dāng)動力吸振器的固有頻率與外激勵的頻率相等時，動力吸振器會發(fā)生共振，將外激勵輸入到振動系統(tǒng)的能量全部吸收，從而使主系統(tǒng)保持不振.因此，要想達(dá)到最佳的減振效果，需要使β0＝ω0，則兩個反饋增益系數(shù)需要滿足

此時，動力吸振器只有一個固有頻率ω0，且時滯穩(wěn)定區(qū)域?yàn)棣印剩?，τ0）.

3 減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為了保證動力吸振器穩(wěn)定工作時整個減振系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還需要研究整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.減振系統(tǒng)（1）和（2）的特征方程為

當(dāng)τ＝0時，特征方程（11）化為

其中，

由于模型中所有參數(shù)都是正的，由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則知，方程（12）所有根都具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件為

假設(shè)λ＝±iβ（β＞0）是特征方程（11）的一對純虛根，代入方程（11）并分離實(shí)虛部得

其中，

顯然，若以β2為變量，方程（15）兩端對β2求導(dǎo)可得

則當(dāng)p＞k2時，方程（15）具有唯一正根的充分必要條件為以下兩個條件之一成立

①方程（16）沒有三個互異實(shí)根；

②方程（16）具有三個互異實(shí)根r1＜r2＜r3，且滿足r2≤0，或f′（r2）＜0，或r2＞0，f′（r2）＞0，f′（r3）＞0.

假設(shè)方程（15）具有唯一正根β*，記

此時，減振系統(tǒng)只有一個固有頻率β*，且時滯穩(wěn)定區(qū)域?yàn)棣印剩?，）.若τ0＜，即整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域比中立型動力吸振器的穩(wěn)定性區(qū)域范圍大，則當(dāng)反饋增益系數(shù)p，q滿足條件（10）時，將時滯τ調(diào)節(jié)到其臨界穩(wěn)定值τ0時，可以將主系統(tǒng)的振動全部消除，并且能夠保證整個減振系統(tǒng)是在穩(wěn)定的狀態(tài)下工作.

4 數(shù)值模擬

下面進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)論的正確性，為說明中立型時滯動力吸振器的優(yōu)越性，將系統(tǒng)參數(shù)取成與文獻(xiàn)［12］中相同，即I1＝I2＝0.04（kgm2），c1＝c2＝0.20（Nms/rad），k1＝1.00（Nm/rad），k2＝3.00（Nm/rad），F(xiàn)（t）＝0.10cos（15.70t）（Nm），初始條件也取成與文獻(xiàn)［12］中相同，即θ1（0）＝θ2（0）＝0（rad），（0）＝（0）＝0.01（rad/s）.在文獻(xiàn)［12］中，作者通過研究得出結(jié)論，為使動力吸振器能將外激勵輸入到主系統(tǒng)的能量全部吸收，保證主系統(tǒng)不振動，需取反饋增益系數(shù)gc＝7.76（Nm/rad），此時減振器的時滯穩(wěn)定工作區(qū)間為τ∈［0，0.03）（s），整個減振系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定工作區(qū)間為τ∈［0，0.1）（s）.

依據(jù)本文的研究，為使中立型動力吸振器能將外激勵輸入到主系統(tǒng)的能量全部吸收，保證主系統(tǒng)不振動，需取反饋增益系數(shù)p，q滿足條件（10），不妨取p＝3.5（Nm/rad），q＝0.4257（Nms/rad），可以驗(yàn)證，此時吸振器只有一個固有頻率ω0＝15.7（rad/s），減振系統(tǒng)只有一個固有頻率5.2195（rad/s），而吸振器的時滯穩(wěn)定工作區(qū)間為τ∈［0，0.0967）（s），整個減振系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定工作區(qū)間為τ∈［0，0.4699）（s）.通過對比可以發(fā)現(xiàn)，加入中立型反饋控制可以同時增大吸振器和減振系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定工作區(qū)間，下面給出具體的數(shù)值模擬結(jié)果，為書寫方便，省略p，q，τ相應(yīng)的單位.

圖2是減振系統(tǒng)在不存在反饋時的時間歷程響應(yīng)曲線（p＝0，q＝0），對應(yīng)減振器的物理參數(shù)是不可調(diào)節(jié)的，相當(dāng)于被動吸振器.此時主系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的振幅為0.009rad，吸振器扭轉(zhuǎn)振動的振幅為0.005rad.

圖3是減振系統(tǒng)存在中立型反饋但反饋控制不存在時滯的時間歷程響應(yīng)曲線（p＝3.5，q＝0.4257，τ＝0），此時主系統(tǒng)振動的振幅由0.009rad減小到0.008rad，減振器扭轉(zhuǎn)振動的振幅也由0.005rad減小到0.003rad，從而證明主動控制比被動控制具有更好的效果.

圖2 減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線p＝0，q＝0Fig.2 Time history response curves of the vibrating system when p＝0 and q＝0

圖3 減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線p＝3.5，q＝0.4257，τ＝0Fig.3 Time history response curves of the vibrating system when p＝3.5，q＝0.4257 and τ＝0

圖4 減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線p＝3.5，q＝0.4257，τ＝0.05Fig.4 Time history response curves of the vibrating system when p＝3.5，q＝0.4257 and τ＝0.05

圖4 是減振系統(tǒng)存在中立型時滯反饋的時間歷程響應(yīng)曲線（p＝3.5，q＝0.4257，τ＝0.05），此時主系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的振幅由0.008 rad減小到0.005 rad，而減振器扭轉(zhuǎn)振動的振幅又由0.003 rad增大到0.005 rad.

圖5是p＝3.5，q＝0.4257，τ＝τ0＝0.0967時減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線，此時中立型動力吸振器與外激勵發(fā)生共振，將外激勵輸入到主系統(tǒng)的能量全部吸收，從而將主系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的振幅減小為0 rad.

圖6是p＝3.5，q＝0.4257，τ0＝0.0967＜τ＝0.45＜＝0.4699時減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線，此時主系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的振幅為0.008 rad，中立型動力吸振器仍然在穩(wěn)定工作.

圖5 減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線p＝3.5，q＝0.4257，τ＝0.0967Fig.5 Time history response curves of the vibrating system when p＝3.5，q＝0.4257 and τ＝0.0967

圖6 減振系統(tǒng)的時間歷程響應(yīng)曲線p＝3.5，q＝0.4257，τ＝0.45Fig.6 Time history response curves of the vibrating system when p＝3.5，q＝0.4257 and τ＝0.45

5 結(jié)論

本文主要研究了采用中立型時滯動力吸振器來控制扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的振動問題.利用穩(wěn)定性理論研究了吸振器和減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，得到的主要結(jié)論如下：

（1）對于時滯動力吸振器，要使主系統(tǒng)的振動被完全吸收，反饋增益系數(shù)的取值是唯一確定的，不可調(diào)節(jié).而中立型吸振器要將主系統(tǒng)的振動完全吸收，兩個反饋增益系數(shù)是可以調(diào)節(jié)的，取值更加靈活.

（2）通過與時滯動力吸振器對比可以發(fā)現(xiàn)，對于相同的系統(tǒng)參數(shù)和初值條件，采用中立型動力吸振器可以使吸振器的穩(wěn)定工作區(qū)域擴(kuò)大3倍以上，使減振系統(tǒng)的穩(wěn)定工作區(qū)域擴(kuò)大4倍以上.另外，適當(dāng)調(diào)節(jié)兩個反饋增益系數(shù)的取值，還可以將吸振器和減振系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)一步擴(kuò)大.

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9 趙艷影，徐鑒.時滯非線性動力吸振器的減振機(jī)理，力學(xué)學(xué)報，2008，48（1）：98～106頁（Zhao Y Y，Xu J.Mechanism analysis of delayed nonlinear vibration absorber.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2008，48（1）：98～106（in Chinese））

10 趙艷影，徐鑒.利用時滯反饋控制自參數(shù)振動系統(tǒng)的振動.力學(xué)學(xué)報，2011，43（5）：894～904（Zhao Y Y，Xu J.Using the delayed feedback to control the vibration of the auto-parametric dynamical system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43（5）：894～904（in Chinese））

11 趙艷影，李昌愛.時滯反饋控制扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的振動.物理學(xué)報，2011，60（11）：1～9（Zhao Y Y，Li C A.The delayed feedback control to suppress the vibration in a torsional vibrating system.ACTA Physica Sinica，2011，60（11）：1～9（in Chinese））

12 趙艷影，李昌愛.時滯動力吸振器抑制扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的振動.動力學(xué)與控制學(xué)報，2013，11（1）：36～41（Zhao Y Y，Li C A.Vibration suppression of torsional vibration system by using the delayed vibration absorber.Journal of Dynamics and Control，2013，11（1）：36～41（in Chinese））

Received 5 January 2015，revised 15 February 2015.

*The project supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities（2572014BB16）

?Corresponding author E-mail：math@nefu.edu.cn

STABILITY ANALYSIS OF DELAYED TORSIONAL VIBRATION SYSTEM OF NEUTRAL TYPE*

Liu Ming Xu Xiaofeng Zhang Chunrui?
（School of Science，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China）

In this paper，the vibration suppression of torsional vibrating system is investigated through the delayed vibration absorber of neutral type.The stability theory of dynamic system was applied to study the stability of the neutral delayed vibration absorber and the torsional vibrating system，and their stable regions were obtained，respectively，by taking time delay as a parameter.Moreover，The absorbing effect of dynamic vibration absorber with the delay changing was obtained.It is shown that the stable region of the vibration absorber and vibration reduction system became larger when compared with the general delayed vibration absorber.Finally，the numerical simulations were also carried out to verify the analytic results.

torsional vibration，neutral type，vibration absorber，stability，vibration suppression

10.6052/1672-6553-2015-008

2015-01-05收到第1稿，2015-02-15收到修改稿.

*中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金項目（2572014BB16）

?通訊作者E-mail：math@nefu.edu.cn