隨機(jī)及移動(dòng)荷載激勵(lì)下彈性梁分岔與混沌*

李海濤秦衛(wèi)陽(yáng)?田瑞蘭

（1.西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系，西安 710072）（2.石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，石家莊 050043）

隨機(jī)及移動(dòng)荷載激勵(lì)下彈性梁分岔與混沌*

李海濤1秦衛(wèi)陽(yáng)1?田瑞蘭2

（1.西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系，西安 710072）（2.石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，石家莊 050043）

移動(dòng)荷載通過(guò)簡(jiǎn)支梁時(shí)，粗糙的梁表面會(huì)使移動(dòng)荷載轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)激勵(lì).本文考慮梁的幾何非線性因素，基于隨機(jī)Melnikov理論確定了系統(tǒng)在均方意義下發(fā)生異宿分岔以及混沌的邊界條件.利用數(shù)值隨機(jī)Runge-Kutta方法對(duì)隨機(jī)激勵(lì)和周期激勵(lì)共同作用下的系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行了仿真計(jì)算，最大Lyapunov指數(shù)等數(shù)值結(jié)果描述了動(dòng)力學(xué)行為變化過(guò)程.結(jié)果表明當(dāng)荷載的速度一定時(shí)，梁跨中的非線性動(dòng)力學(xué)行為受到質(zhì)量和隨機(jī)激勵(lì)的共同影響，表面平整度較差的梁會(huì)增加混沌產(chǎn)生的可能性.

表面平整度，移動(dòng)荷載，隨機(jī)Melnikov過(guò)程，混沌

引言

移動(dòng)荷載是車(chē)輛荷載和重物荷載的簡(jiǎn)化模型，可以廣泛應(yīng)用到“車(chē)-橋”系統(tǒng)和“龍門(mén)吊”起重機(jī)等系統(tǒng)的研究當(dāng)中.近年來(lái)在移動(dòng)荷載領(lǐng)域的研究已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，F(xiàn)ryba［1］專著中描述了許多簡(jiǎn)單移動(dòng)荷載模型，如移動(dòng)常量力，移動(dòng)質(zhì)量以及移動(dòng)彈簧質(zhì)量模型.Stancioiu［2］等綜合有限單元法和振型疊加法研究了若干個(gè)移動(dòng)荷載通過(guò)梁橋時(shí)的跳躍現(xiàn)象.

移動(dòng)荷載問(wèn)題的解決通常基于線性振動(dòng)理論，而對(duì)于結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究尚不多見(jiàn).隨著橋梁的大跨化發(fā)展，大變形效應(yīng)等因素導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的非線性問(wèn)題越來(lái)越突出［3］.Yanmei［4］將移動(dòng)荷載作用下的Euler-bernouli梁描述成一個(gè)類Duffing系統(tǒng)，通過(guò)多尺度法分析了參激共振.肖勇剛［5］考慮梁的幾何非線性因素，建立移動(dòng)荷載模型的振動(dòng)方程，探討了荷載質(zhì)量、速度、橋梁阻尼和跨徑等參數(shù)對(duì)車(chē)-橋耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響.郭樹(shù)起［6］采用改進(jìn)的WKB方法求得了移動(dòng)荷載作用下的梁橋跨中響應(yīng)，結(jié)果表明該方法提高了傳統(tǒng)方法精度.Tian［7］等將移動(dòng)荷載模型簡(jiǎn)化為一類幾何非線性彈簧振子，研究了系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的混沌動(dòng)力學(xué)行為.Yang［8］等建立了考慮軸向受力的移動(dòng)荷載模型，利用最簡(jiǎn)規(guī)范形討論了系統(tǒng)的余維2分岔.

隨機(jī)Melnikov理論是將Melnikov過(guò)程和均方準(zhǔn)則相結(jié)合的方法分析隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)［9-12］.Lin和Yim［9］利用隨機(jī)Melnikov方法研究了諧和激勵(lì)和白噪聲作用下的Duffing系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)噪聲可以擴(kuò)大混沌域.劉雯彥等［10-12］利用隨機(jī)Melnikov方法分別研究了有界噪聲和諧和激勵(lì)共同作用下Duffing系統(tǒng)、Duffing-rayleigh系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最大Lyapunov指數(shù)，安全盆等指標(biāo)說(shuō)明混沌運(yùn)動(dòng)臨界值隨噪聲強(qiáng)度的增大而增大.Yang等將隨機(jī)Melnikov方法應(yīng)用到車(chē)輛、船舶等工程領(lǐng)域的隨機(jī)混沌分析中［13-14］.

目前移動(dòng)荷載的相關(guān)研究一般較少考慮彈性梁表面隨機(jī)因素影響.為了能夠定性分析移動(dòng)荷載通過(guò)彈性梁時(shí)，粗糙表面對(duì)梁跨中響應(yīng)的影響.考慮了彈性梁的非線性因素以及不同等級(jí)表面平整度引起的隨機(jī)沖擊力，建立簡(jiǎn)支梁在隨機(jī)激勵(lì)和連續(xù)移動(dòng)荷載作用下的非線性動(dòng)力學(xué)方程.其次根據(jù)隨機(jī)Melnikov方法得到混沌發(fā)生的閾值.最后應(yīng)用隨機(jī)Runge-Kutta法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程求解，通過(guò)最大Lyapunov指數(shù)和Poincaré截面和說(shuō)明了荷載質(zhì)量和不同等級(jí)表面平整度對(duì)系統(tǒng)的影響，得到與理論分析一致的結(jié)果.

1 模型建立

如圖1：質(zhì)量為M移動(dòng)荷載勻速?gòu)谋砻娌黄秸暮?jiǎn)支彈性梁上通過(guò)，梁的長(zhǎng)為L(zhǎng)，荷載的速度為v，梁的動(dòng)力學(xué)控制方程為［15］：

其中EI，u（x，t）分別是梁的抗彎剛度和位移函數(shù)，γ為橋梁的體密度，A為橫截面積，c1，c2分別為線性、非線性阻尼系數(shù)，δ為單位脈沖函數(shù)，ξ（t）為梁表面不平整度對(duì)荷載的隨機(jī)位移擾動(dòng).

圖1 移動(dòng)荷載系統(tǒng)模型Fig.1 Schematic of moving load system

一般而言，簡(jiǎn)支梁的低階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)較大.因此為了方便研究移動(dòng)荷載模型，可將振型假設(shè)成一階模態(tài)為：

（3）式可以寫(xiě)成：

方程（5）寫(xiě)成狀態(tài)方程：

2 隨機(jī)Melnikov過(guò)程

引進(jìn)尺度變換γ1→εγ1，γ2→εγ2，μ→εμ，σ→εσ，f→εf，（6）式可寫(xiě)成具有擾動(dòng)項(xiàng)的Hamilton系統(tǒng)：

通過(guò)積分可以求得連接鞍點(diǎn)的異宿軌道：

圖2 b＝1時(shí)的勢(shì)能函數(shù)以及異宿軌道.Fig.2 Potential energy function and heteroclinic orbit for b＝1.

判斷系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的Melnikov函數(shù)可以表示成：

對(duì)（10）式中的｜sinω（τ+τ0）｜傅里葉展開(kāi)，則有

由于I3是均值為0的隨機(jī)函數(shù)，因此均值意義的隨機(jī)Melnikov過(guò)程等價(jià)于系統(tǒng)只受到確定性激勵(lì)的情形.為了研究隨機(jī)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的影響，需要將隨機(jī)Melnikov過(guò)程和均方準(zhǔn)則相結(jié)合［9-11］.I3的均方形式可以寫(xiě)成：

其中Φ0為不平整橋面的功率譜密度，可以看出要使Melnikov函數(shù)在均方意義下存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)即〈M（τ0）〉＝0成立，當(dāng)且僅當(dāng)

等式（13）成立是發(fā)生隨機(jī)混沌的必要條件，但并不是發(fā)生隨機(jī)混沌的充分條件.下面將給出最大Lyapunov指數(shù)和Poincaré截面來(lái)判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).

3 數(shù)值模擬

梁表面的不平整性引起的隨機(jī)激勵(lì)是一個(gè)近似各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，時(shí)域模型可以寫(xiě)成［16］

式中ξ（τ）為表面不平整輸出，v為荷載的速度，η（τ）為Gauss白噪聲，其協(xié)方差滿足E（η（τ+ τ0）η（τ））＝2λ2αvδ（τ0）.α和λ為和表面平整度等級(jí)有關(guān)的常數(shù)（具體見(jiàn)表2），τ0為時(shí)移，Ω為行程圓頻率.

圖3 混沌閾值曲線Fig.3 Chaos criteria

圖4 不同表面平整度情形下關(guān)于荷載質(zhì)量的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 Argest Lyapunov exponent versus load mass

圖3為公式（13）取表1、表2中的基本參數(shù)得到關(guān)于w，f的Melnikov混沌閾值曲線.當(dāng)系統(tǒng)（6）的相關(guān)參數(shù)滿足等式（13）時(shí)，隨機(jī)Melnikov函數(shù)就有可能存在均方情形下的簡(jiǎn)單零點(diǎn)τ0，即可能產(chǎn)生Smale馬蹄映射意義下混沌.可以看出隨著彈性梁表面平整度等級(jí)的降低，關(guān)于激勵(lì)幅值f產(chǎn)生混沌的臨界值減小了.因此，在彈性梁表面平整等級(jí)較差的情形下，需要相應(yīng)控制荷載的質(zhì)量、速度才能有效抑制系統(tǒng)的混沌響應(yīng).

最大Lyapunov指數(shù)以及Poincaré截面是判斷非線性動(dòng)力學(xué)行為的可靠定量方法，反應(yīng)了相空間的運(yùn)動(dòng)軌跡由于初值敏感性呈現(xiàn)指數(shù)收斂或發(fā)散.系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為正，說(shuō)明系統(tǒng)存在混沌運(yùn)動(dòng)，這個(gè)結(jié)論對(duì)于確定性動(dòng)力系統(tǒng)和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)都適用.通過(guò)方程（14），以及表1、表2中的參數(shù)得到了隨機(jī)激勵(lì)時(shí)域形式.固定其它參數(shù)，只改變參數(shù)M，利用四階定步長(zhǎng)Runge-Kutta法可以得到隨M變化的Lyapunov指數(shù)譜.當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)由負(fù)為正的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的M值即是發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的門(mén)檻值.圖4所示為不同平整度條件下，關(guān)于M的最大Lyapunov指數(shù)圖.可以看出隨著表面平整度級(jí)別降低，隨機(jī)運(yùn)動(dòng)最終導(dǎo)致混沌發(fā)生的門(mén)檻值提前，混沌發(fā)生的參數(shù)區(qū)域增大.

表1 系統(tǒng)（3）原參數(shù)Table 1 Original parameter of system（3）

表2 梁表面平整度等級(jí)與功率譜參數(shù)α，λ值［16］Table 2 Road roughness and values of power spectral density parameter α，λ［16］

圖5 M＝74kg時(shí)不同等級(jí)表面平整度的相圖和龐加萊截面圖.?A級(jí)表面；?B級(jí)表面；?C級(jí)表面；?D級(jí)表面.Fig.5 Phase diagrams and Poincaré sections under different roughness for M＝74kg.?A-roughness；?B-roughness；?C-roughness；?D-roughness.

圖6 M＝77.5kg時(shí)不同等級(jí)表面平整度的相圖和龐加萊截面圖.?A級(jí)表面；?B級(jí)表面；?C級(jí)表面；?D級(jí)表面.Fig.6 Phase diagrams and Poincaré sections under different roughness for M＝77.5kg.?A-roughness；?B-roughness；?C-roughness；?D-roughness.

圖7 M＝78.3kg時(shí)不同等級(jí)表面平整度的相圖和龐加萊截面圖.?A級(jí)表面；?B級(jí)表面；?C級(jí)表面；?D級(jí)表面.Fig.7 Phase diagrams and Poincaré sections under different roughness for M＝78.3kg.?A-roughness；?B-roughness；?C-roughness；?D-roughness.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性，圖5-圖7給出了M＝74kg、M＝77.5kg、M＝78.3kg時(shí)系統(tǒng)關(guān)于不同等級(jí)表面的相平面圖和Poincaré截面圖.在圖5（a）-圖5（d）中可以看出Poincaré截面為隨機(jī)的一團(tuán)點(diǎn)，此時(shí)可以判定系統(tǒng)在不同等級(jí)表面的激勵(lì)下保持隨機(jī)周期-1運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

從圖6（a）-圖6（b）看出Poincaré截面為隨機(jī)的兩團(tuán)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可以判定為隨機(jī)周期-2運(yùn)動(dòng)，而圖6（c）-圖6（d）中的周期運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出模糊的發(fā)散狀態(tài)，表明表面平整度等級(jí)的降低增加了外在隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度，非線性系統(tǒng)的內(nèi)在的隨機(jī)響應(yīng)被激發(fā)出來(lái).

在圖7中，由于荷載質(zhì)量M已經(jīng)達(dá)到發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界值，Poincaré截面充滿相空間的某一部分，并且呈現(xiàn)出自相似結(jié)構(gòu)，可以判定此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng).

4 結(jié)論

分析了隨機(jī)激勵(lì)下移動(dòng)荷載模型，通過(guò)隨機(jī)Melnikov理論得到了隨機(jī)混沌產(chǎn)生的參數(shù)范圍，基于不同表面平整度得到了不同等級(jí)的隨機(jī)激勵(lì)并且數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)支梁跨中非線性隨機(jī)響應(yīng)。得到以下結(jié)論：

（1）隨機(jī)Melnikov方法得到的關(guān)系式表明，隨著表面平整度等級(jí)的降低，產(chǎn)生混沌的臨界激勵(lì)幅值減小，導(dǎo)致混沌域的參數(shù)空間增大.

（2）數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的門(mén)檻值隨著表面平整度的降低而減小，表明表面不平整的彈性梁增加了混沌運(yùn)動(dòng)的可能性.這與（1）所得到的理論解釋相一致.

（3）在給定的參數(shù)下，系統(tǒng)存在混沌發(fā)生的可能性.在相同平整度等級(jí)的條件下，荷載的質(zhì)量小于臨界值時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)量超過(guò)臨界值時(shí)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).

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Recived 22 November 2014，revised 9 December 2014.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272257，11172234）

?Corresponding author E-mail：qinweiyang@aliyun.com

BIFURCATION ANDCHAOS OF BEAM SUBJECTED TO MOVING LOADS AND RANDOM EXCITATIONS*

Li Haitao1Qin Weiyang1?Tian Ruilan2
（1.Department of Engineering Mechanics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）（2.Department of Mathematics and Physics，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China）

moving loads pass through the rough surface of beam.Considering the characteristics of random excitation，present nonlinear model of moving loads different beam roughness.The critical condition in of mean square is obtained by random Melnikov process.The response of structure under the combin of random and periodic excitation is simulated，and used to the variation of dynamic behaviors.It is concluded that speed，nonlinear dynamic behaviors mid-span of beam are severely influenced by the random excitation.Therefore poor flatness of surface would increase the probability of occurrence of chaos.

road roughness，random Melnikov process，moving loads，chaos

10.6052/1672-6553-2015-010

2014-11-22收到第1稿，2014-12-09收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272257，11172234）

?通訊作者E-mail：qinweiyang@aliyun.com