對一道中考實驗題的探究與論證

吳洪華

摘 要：一道衍生于伏安法測電阻的中考實驗題，討論的是電路中滑動變阻器的電功率隨電流變化的特點。在解答過程中產(chǎn)生了幾點疑問，后用數(shù)理結(jié)合的方法進行了論證，解決了心中的疑問。

關(guān)鍵詞：中考實驗題；疑問；數(shù)理結(jié)合；論證

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）10-0057-3

題 （2014·揚州27）某同學(xué)用圖1所示的電路探究“通過導(dǎo)體的電流與電壓、電阻的關(guān)系”，電源電壓恒為3 V。

（l）閉合開關(guān)后，電流表無示數(shù)，但電壓表有示數(shù)，原因可能是 。

A.電流表斷路 B.電壓表斷路

C.R1斷路 D.R2斷路

（2）探究電流與電壓的關(guān)系時，應(yīng)保持

不變（R1 /R2）。

（3）探究電流與電阻的關(guān)系時，當(dāng)R1的阻值是2 Ω，電流表示數(shù)是1.0 A；要使電流表示數(shù)是0.5 A，R1的阻值是 Ω；多次測量后，作出的I-R1圖像是圖2中的 。

（4）該同學(xué)為研究可變電阻功率的變化規(guī)律，他將R1換成阻值為5 Ω的定值電阻，把R2換成阻值范圍是0～10 Ω的電阻箱。實驗中R2從1 Ω逐漸調(diào)大到10 Ω，實驗數(shù)據(jù)如表1。

當(dāng)R2消耗的功率最大時，其電阻約為 。

A.4 Ω B.5 Ω

C.6 Ω D.4 Ω和6 Ω

簡析：（1）電流表無示數(shù)，則電路斷路；電壓表有示數(shù)，則與電壓表并聯(lián)的電路斷路；（2）要探究電流和電壓的關(guān)系，應(yīng)保持電阻不變；（3）在探究電流和電阻的關(guān)系時，應(yīng)保持電阻兩端的電壓不變，根據(jù)歐姆定律進行分析；（4）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的變化趨勢，可以推斷出“當(dāng)R2消耗的功率最大時，其電阻約為5 Ω”。

作為一道中考題，本題并未在問題設(shè)置中給予學(xué)生太難的障礙，但其第（4）問卻引起了筆者的思考：此處給出了六組實驗數(shù)據(jù)，這與教材中許多規(guī)律探究性實驗通常只要求做三次實驗（或給出三組數(shù)據(jù)）不同，分析題目提供的六組實驗數(shù)據(jù)所反映的變阻器功率變化的趨勢，可以得出“變阻器的電功率P1隨電流I0的增大先增大后減小”的初步結(jié)論，并且從第3、4兩組實驗數(shù)據(jù)還能看出在這兩點變阻器的電功率似乎有對稱的特點。那么，①P1與I0之間是否存在著一個對應(yīng)的有對稱軸二次函數(shù)關(guān)系式？②滑動變阻器消耗的功率隨它接入電路的電阻變化之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？③原試題第（4）問給出實驗數(shù)據(jù)雖只有六組，但已經(jīng)足以證實P2隨R2變化的不對稱性，所以我們在解答最后一問時會產(chǎn)生疑惑：P2的最大值恰恰是在R2=5 Ω這一點嗎？④能否通過數(shù)理結(jié)合的方法解答上面的問題？

根據(jù)試題的第（4）問，將原題中的圖1所示的電路中的電阻箱換成阻值為5 Ω的定值電阻，R2用最大值等于10 Ω的滑動變阻器替代，連接成圖3所示的電路，做以下分析。

根據(jù)電路的總功率等于各電器的功率之和，可推得變阻器的電功率的表達式為：

P2=P總-P1=U電源I1-IR1=-R1（I-I1）=

-R1（I1-）2+（1）

式（1）表明，確實存在一個關(guān)于P2-I1（也即此電路中的總電流）的二次函數(shù)。按理說，P2隨I1變化的特征應(yīng)該是一個開口向下的有對稱軸的拋物線。但須知通過R1的電流不會為0；滑動變阻器的電功率也只有電流不通過它時（此時電路中的電流I-）才等于0，即圖像與橫軸應(yīng)只有一個交點。根據(jù)操作要求，開關(guān)閉合時，變阻器滑片應(yīng)置于阻值最大位置，則圖像的起點在圖中的點P2，雖無限靠近坐標(biāo)原點，但不會落到原點，這是因為在圖3所示的電路中，電路中的電流I1不會為0，電路中的最小電流是I=，其中R1的值越大（R2遠遠大于R1），I1越小，P2也越小，但不會等于0。當(dāng)電路中電流I=（此為拋物線的對稱軸，也即“變阻器接入電路的阻值恰好等于R1”）時，變阻器的電功率有最大值，P最大=，此為圖像的頂點；當(dāng)電路中電流I1=（即滑動變阻器接入電路的電阻等于0）時，P2=0。當(dāng)電路中的電流等于（R1為變阻器的最大值）時，圖像到達另一個端點（，0），如圖4所示。

事實上也不難計算，當(dāng)圖3所示電路中的電流分別是0.1 A（設(shè)R2的值允許）、0.2 A、0.3 A、0.4 A、0.5 A時，R2的電功率分別等于0.25 W、0.40 W、0.45 W、0.40 W和0.25 W，呈現(xiàn)以P2=0.45 W為頂點的顯著對稱性。至此，證實了前面提出的疑問①。那么，以變阻器的阻值R2作為自變量的關(guān)于P2-R2之間的函數(shù)關(guān)系又是怎樣的呢？

借助U電源和定值電阻R1這兩個常量，可以推導(dǎo)并整理得出滑動變阻器電功率P2隨其電阻R2變化的表達式如下。

P2=I2R2=（）2R2==

（2）

式（2）表明，這不是一個形如y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，那它有沒有頂點？有沒有對稱軸呢？

分析式（2）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變阻器接入電路的阻值為0時，由P2=I2R2可知，P2等于0為最小值；當(dāng)變阻器接入電路的阻值等于R1時，式（2）的分母最小，則P2取最大值，且最大值為。那么，與此關(guān)系式對應(yīng)的、能反映P2-R2關(guān)系的圖像是什么形狀呢？為了回答此問題，就以揚州市中考題的第（4）問給出的R1和R2的值并將分別R2等于3 Ω、

5 Ω、7 Ω、9 Ω時R2的電功率P2的值也統(tǒng)計成如表2。

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，按R2的阻值由小（R2=0 Ω）到大的順序用描點法描繪的P2隨R2變化的圖像如圖5所示。圖像反映出變阻器的電功率P2隨R2接入電路阻值的變化具有如下的變化特征：

①當(dāng)R2

②R2=R1這一點是P2變化的分水嶺（函數(shù)圖像的最大值點P最大，即函數(shù)圖像的拐點）。

③在R2=R1這一分水嶺兩側(cè)，P2值的變化是不對稱的，當(dāng)R2由0增大到R1時，P2逐漸增大（增大較快），并達到最大值；R2連入的值達到R1后繼續(xù)增大，P2則緩慢減小，用賦值法易證實P2從其最大值0.45 W減小到0.25 W （R2=1 Ω時，它的電功率值）時，R2的值必須達到31 Ω，顯示出P2隨R2變化的強烈的不對稱性。

從上面的分析可以看出，盡管兩種解法中圖像的差異很大，但我們又可以看出兩者在最大值、最小值等點位的同一性及圖像與橫軸只有一個交點的同一性。同時也看出了原題給出的R2=4 Ω和R2=6 Ω這兩點時P2的功率其實并不相等，只是非常相近而已，但兩個函數(shù)表達式都可證明最大功率就是在R2=5 Ω這一點。

至此，解題之初產(chǎn)生的幾個疑問一一得到了解答，讓筆者心中有如釋重負的豁然之感。這不僅僅是這道中考題的魅力所在，也更是物理問題總有吸引我們不斷探究的獨特魅力吧！

（欄目編輯 王柏廬）