讓學生在數(shù)學學習中學會反思

丁玲

摘 要：我們在解了一道數(shù)學題后，問題本身雖然獲得了解決，但并不意味著解題思維活動的結束，而應該是深入認識的開始，筆者認為可以從思考過程、所涉及的思想方法、數(shù)學活動中有聯(lián)系的問題、數(shù)學活動的結果這四個方面進行反思。

關鍵詞：數(shù)學學習；反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）19-074-1

數(shù)學學習中的反思不僅是對數(shù)學學習一般性的回顧或重復，更是要深入探究數(shù)學活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，反思的目的不僅僅是為了回顧過去，更重要的是指向未來的數(shù)學學習。由于數(shù)學對象的抽象性，數(shù)學活動的探索性，數(shù)學推理的嚴謹性和數(shù)學語言的特殊性，決定了正處于思維發(fā)展階段的中學生不可能一次性地直接把握數(shù)學活動的本質，必須要經過多次地反復思考、深入研究、自我調整才能洞察數(shù)學活動的本質特征。

那么在數(shù)學學習中如何引導學生進行反思呢？教師主要從以下四個方面引導學生進行反思：

一、對自己的思考過程進行反思

對自己的思考過程進行反思，就是在一個數(shù)學活動結束后，力求去回憶自己從開始到結束的每一步心理活動，一開始自己是怎么想的，走過哪些彎路，碰到哪些釘子；為什么會走這些彎路，碰到這些釘子有什么規(guī)律性的經驗可以吸??；自己的思考和老師同學的有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么；自己在思考途中是否做過某些調節(jié)，這些調節(jié)起到了什么作用，或者為什么當時不能做出某些調節(jié)；自己在思考的過程中有沒有做出過某種預測，這些預測對自己的思考是否起到了作用，自己在預測和估計方面有沒有帶普遍意義的東西可以歸納等等。

例1 求過點（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個公共點。

學生的解法一般是：設所求的直線方程為y=kx+1，由y2=2xy=kx+1整理得：

k2x2+2（k-1）x+1=0，根據題意得Δ=0，解得k=12，所求直線方程為：y=12x+1。

老師通過引導學生反思問題的思考過程，可以發(fā)現(xiàn)學生在上述思考過程中有三個不嚴謹之處：

（1）設直線方程為y=kx+1，則已默認所求直線斜率存在；

（2）忽視了“k=0”的情形；

（3）混淆了“相切”與“僅有一個公共點”這兩個不同的概念。

通過上述的反思，可以使學生發(fā)現(xiàn)思考問題過程的不足，從而完善解題過程，同時也提高了他們發(fā)現(xiàn)問題的能力，訓練了思維的嚴密性和批判性，有利于學生形成嚴謹細致的學習作風和習慣。

二、對所涉及的思想方法進行反思

對數(shù)學思想方法的領會、掌握和運用是數(shù)學學習的精髓。數(shù)學思想方法的學習，一方面要靠老師在長期的教學中提示、歸納、點撥，更要靠學生自己在長期的數(shù)學學習中領悟、吸收和運用。中學數(shù)學中蘊涵的思想方法主要有：消元、換元、配方、待定系數(shù)、分類討論、數(shù)形結合等。

數(shù)學活動總是要涉及數(shù)學思想方法，因此反思的一個重要內容就是：發(fā)掘活動中涉及了哪些數(shù)學的思想方法，這些思想方法是如何運用的，有什么特點，這樣的思想方法是否在其他情況下運用過，現(xiàn)在的運用和過去的運用有何聯(lián)系和差異，是否有規(guī)律性的東西。有了這樣的反思，對數(shù)學思想方法的認識、把握、運用的水平就會不斷的提高。

三、對數(shù)學活動中有聯(lián)系的問題進行反思

所謂對有聯(lián)系的問題進行反思，是指在數(shù)學活動中必然要與一些已經相識或似曾相識的問題有所聯(lián)系，因而在活動結束以后應對那些有過聯(lián)系的問題進行反思?；仡櫿麄€活動中曾經與哪些問題有過聯(lián)系，有什么地方聯(lián)系過，除此以外還可以與哪些問題聯(lián)系；思考為什么會或可以產生聯(lián)系，具體產生了什么聯(lián)系，是問題的情景（知識、表述方式、圖形）有聯(lián)系，是問題的方法（策略、數(shù)學思想）有聯(lián)系，還是問題的結論有聯(lián)系；是整個問題有聯(lián)系，還是問題的某個局部有聯(lián)系。所有這些聯(lián)系之間能否概括出某種規(guī)律或經驗，經過這樣的聯(lián)系對原問題是否有新的認識。通過這種反思，力求使得每一個數(shù)學活動都不是孤立無援的，從而起到舉一反三、融會貫通的作用。

四、對數(shù)學活動的結果進行反思

在數(shù)學活動結束后要從以下幾個方面反思：反思整個數(shù)學活動的過程是否正確，反思導出數(shù)學結果的方法是否唯一，還有沒有其他的方法可用，反思能否從本次數(shù)學活動的結果出發(fā)導出其他更進一步的數(shù)學結論，反思能否把這樣的方法用來解其他的數(shù)學問題，也即能否一法多用，多題一解。若能很好地進行這樣的反思，整個數(shù)學活動將會非常的圓滿。

例2 設A，B為橢圓x29+y24=1的左右頂點，P為橢圓上異于A，B的任意一點，求直線PA和PB斜率的乘積。

反思1：本題的結果是-49，而橢圓方程中a2=9、b2=4，是否有一般性的結論-b2a2呢？

將橢圓方程改為一般形式x2a2+y2b2=1后，用相同方法可得kPA·kPB的結果為-b2a2，具有一般性的規(guī)律。

教師引導：我們能不能將此結論推廣到更加一般的情況呢？

反思2：若將AB設為橢圓x2a2+y2b2=1的任意一條過中心的弦，P為橢圓上異于A，B的任意一點，且直線PA和PB的斜率存在，求kPA·kPB的值。

學生計算得出還是等于定值-b2a2。

反思3：既然橢圓中有此統(tǒng)一的結論，那么雙曲線中是否也有類似的結論呢？

對例2解完后的一系列反思，既是讓學生體驗數(shù)學結論具有規(guī)律性的過程，也是學生在教師引導下進行數(shù)學探究的過程，為學生能開展一般性的數(shù)學活動積累了經驗。

數(shù)學學習中的反思活動，一方面靠老師的示范和引導，更重要的是學生自己要學會反思，并在數(shù)學學習中自覺進行反思，逐漸形成反思的習慣和意識。