局部恰當(dāng)半群

付志青 崔冉冉 李真珍 梁 濤

（1.南昌大學(xué)撫州醫(yī)學(xué)院計(jì)算機(jī)與數(shù)理教研室，江西 撫州 344000；2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001；3.景德鎮(zhèn)學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333000；4.南昌大學(xué)撫州醫(yī)學(xué)院，江西 撫州 344000）

1 引 言

設(shè)S是半群，a∈S。在S上定義二元關(guān)系0：對任意的x，y∈S，

不難驗(yàn)證（S，0）也是半群，記為（S，a），并且稱為S的簇。很顯然，在（S，a）中的正則元一定是S的正則元，但反過來不一定成立。于是，設(shè)a，x是S中的元，說x關(guān)于a保持正則性，如果x滿足在（S，a）中是正則的。更進(jìn)一步，如果S中所有的正則元關(guān)于a保持正則性，則稱a是S的正則性保持元。S中所有正則性保持元構(gòu)成的集合記為RP（S）。如果S是幺半群，則RP（S）是S的單位群。有關(guān)于正則性保持元可參考文獻(xiàn)［1-9］。

任意半群S，冪等元構(gòu)成的集合記為E（S）。e∈E（S），稱eSe是半群S的局部子幺半群。設(shè)C表示半群類，若半群S的每一個(gè)局部子幺半群都屬于C，則稱半群S是局部C的。富足半群S稱為恰當(dāng)半群，如果E（S）構(gòu)成半格。半群S中所有局部子幺半群若是恰當(dāng)半群，則稱S為局部恰當(dāng)半群。

Khan和Lawson證明了局部逆半群S中，冪等元e∈RP（S）當(dāng)且僅當(dāng)eSe是局部逆半群S的逆斷面［10-12］。富足半群作為正則半群的推廣，從而產(chǎn)生這樣的問題：在±富足半群中是否有類似的結(jié)果，即在局部恰當(dāng)半群S中，冪等元e是正則性保持元當(dāng)且僅當(dāng)eSe是局部恰當(dāng)半群S的恰當(dāng)斷面，這也是一個(gè)十分自然的問題，本文主要考慮這個(gè)問題［13］。

2 正則性保持元

設(shè)S是一個(gè)半群，a是S的一個(gè)正則元。S中的元素b滿足a=aba。則稱b是a預(yù)逆。記a所有預(yù)逆的集合為Pre（a）。由定義可知，a是S的正則元當(dāng)且僅當(dāng)a有預(yù)逆。在S中a的逆元定義為：元x∈S使得a=axa和x=xax。顯然b是a的逆元當(dāng)且僅當(dāng)a是b的預(yù)逆并且b是a的預(yù)逆。也就是說，預(yù)逆是比逆元“更弱”的元［14］。

對于帶B，設(shè)B=Uα∈SEα是B的一個(gè)半格分解，如果e∈Eα，則把矩形帶Eα記為E（e）。

接下來的命題給出預(yù)逆的性質(zhì)。

引理2.1 S是半群，a，b∈S，則下面的條件等價(jià)：

①aL*［R*］b

②對于任意的x，y∈S1；ax=ay［xa=ya］?bx=by［xb=yb］

結(jié)論2.2S是半群，e2=e，a∈S，則下面的條件是等價(jià)的：

①aL*e［aR*e］；

②ae=a［ea=a］且對于任意的x，y∈S1；ax=ay［xa=ya］?ex=ey［xbe=ye］

顯然的，L*是右同余，R*是左同余。且有L?L*和R?R*。若a，b是正則元，aL*b［aR*b］當(dāng)且僅當(dāng)aLb［aRb］。為方便，與a有L*關(guān)系的冪等元記為a*，與a有R*關(guān)系的冪等元記為a+。恰當(dāng)半群中，每一個(gè)L*類和R*類都只有唯一的冪等元。若 K*表示格林*關(guān)系 L*，R*，H*，D*以及 J*，記Ka*為包含a的K*類［15-16］。

命題2.3 S是幺半群，則a∈RP（S）當(dāng)且僅當(dāng)a是S的單位元。

證明 假定a∈RP（S）。因?yàn)镾是幺半群，有1∈S，更進(jìn)一步，1∈Reg（S），可知1是（S，a）中正則元。故存在x∈S使得1=1°x°1于是有1=1°x°1=1axa1=axa，從而得a是S的單位元［17］。

反過來，假設(shè)a是S的單位元，b∈Reg（S），則存在x∈S，使得

b=bxb=baa-1xa-1ab=b（a-1xa-1）ab=b°（a-1xa-1）°b

從而得在（S，a）中b是正則的，進(jìn)而得a∈RP（S）。

引理2.4 S是富足半群，a∈RP（S），則對于任意b∈Reg（S），有SbS?SaS［18-19］。

證明 設(shè)a∈RP（S），可知對于任意b∈Reg（S），有b是（S，a）中正則元。于是存在x∈S，使得b=b°x°b，從而b=baxab，可得b∈SaS，更進(jìn)一步得SbS?SaS。

命題2.5 S是富足半群。

①a∈RP（S），則對于任意b∈Reg（S）有baR*bL*ab

②a∈RP（S）當(dāng)且僅當(dāng)對于任意b∈Reg（S）有ba R bL ab。

證明 ①設(shè)a∈RP（S），則對于任意b∈Reg（S），存在z∈S使得b=b°z°b，從而b=bazab。現(xiàn)假定abx=aby，等式左邊乘ba可得bazabx=bazaby，也即是得到bx=by，進(jìn)一步即證明了bL*ab，對偶地有baR*b。

②設(shè)對于任意b∈Reg（S）有ba R bL ab。接下來證明a∈RP（S）。由假定，可知存在

x，y∈S使得bax=b，yab=b。又由于b∈Reg（S），存在z∈S使得b=bzb。從而可得

b=bzb=baxzyab=b°（xzy）°b

于是b關(guān)于a保持正則性，即得a∈RP（S）。反過來證明可參考［12，引理4。2］。

引理2.6 S是富足半群，a∈RP（S），若e∈Ha*∩E（S），則有e∈RP（S）。

證 明 設(shè) a∈RP（S），若 e∈Ha*∩E（S）。 有 e R*aL*e，于是可得 a=ea=ae。對任意的 b∈Reg（S），存在x∈S使得b=b°x°b，從而b=baxab，進(jìn)一步可得到

b=b°x°b=baxab=beaxaeb=be（axa）eb=b°（axa）°b

于是得b關(guān)于e保持正則性，由于正則元b的任意性，可得e∈RP（S）。

半群S，若Reg（S）是半群S的子半群，則稱半群S滿足正則性條件。接下來給出本節(jié)的主要定理。

定理2.7 S是富足半群滿足正則性條件，e∈E（S），則接下來的命題是等價(jià)的：

①e∈RP（S）。

②對任意的f∈E（S），有feR f Lef。

證明 ①?②可由命題2.5得出。

②?③設(shè)f∈E（S），由于fe R f L ef。，可知存在x，y∈S，使得fex=f=yef。于是

fexfyef=（fex）f（yef）=fff=f，

從而得exfye∈Pre（f）∩eSe。

②?③設(shè)a∈Reg（S），a'∈Pre（a），可得aa'，a'a∈E（S）由（3），則存在u∈Pre（aa'）∩eSe，

v∈Pre（a'a）∩eSe。接下來考慮va'aa'u。容易驗(yàn)證va'aa'u∈E（S）。且有

ava'aa'ua=aa'ava'aa'uaa'a

=a（a'ava'a）a'uaa'a

=a（a'a）a'uaa'a

=aa（'aa'uaa'）a

=aa'aa'a

=a

即得到va'aa'u∈Pre（a）∩eSe。進(jìn)一步證明了Pre（a）∩eSe≠。

3 局部恰當(dāng)半群

本節(jié)將主要研究局部恰當(dāng)半群中正則性冪等元的刻畫。

命題3.1 S是恰當(dāng)半群，e∈E（S）。記

①則Se是S的恰當(dāng)子半群，且（Se，e）為恰當(dāng)半群。

②進(jìn)一步地，Reg（Se）是S中包含e的最大的正則子半群U，使得（U，e）為正則半群。

證明①由于e∈Se，可知Se≠。設(shè)a，b∈Se，則存在a'∈Pre（a）∩Se，b'∈Pre（a）∩Se。又由于

ab（b'a'）ab=a（bb'）（a'a）b=a（a'a）（bb'）b=（aa'a）（bb'b）=ab

于是可得b'a'∈Pre（ab），注意到b'a'∈eSe，從而得Pre（ab）∩eSe≠，也即是得到Se是S的子半群。

接下來證明Se為恰當(dāng)半群。設(shè)a∈Se，則存在a'∈Pre（a）∩Se。注意到eae∈eSe，且

a'aa'（eae）a'aa'=a'（aa'eaea'a）a'=a'（aa'aa'a）a'=a'aa'

于是可得eae∈Pre（a'aa'）∩eSe，從而有a'aa'∈Se，進(jìn)一步，可得

aa'=a（a'aa'），a'a=（a'aa'）a∈Se

為此即證明了Se是S的富足子半群。又由于E（Se）?E（S），從而有Se為恰當(dāng)半群。

為了證明（Se，e）是恰當(dāng)半群，設(shè)a∈（Se，e），a'∈Pre（a）∩Se。則由于

a=a（a'aa'）a=ae（a'aa'）ea=a°（a'aa'）°a

可知a'aa'是a在（Se，e）中的預(yù)逆元。于是得在（Se，e）中有a°a'R*a，a'°aL*a，從而證明了（Se，e）為富足半群。另一方面，對任意的g，h∈（Se，e），有

g°h=geh=ghe=hge=heg=h°g

于是可得E（Se，e）是半格，進(jìn)一步，可得（Se，e）為恰當(dāng)半群。

②容易驗(yàn)證，Reg（Se）是S的正則子半群。假定T是S中包含e的任意正則子半群，使得（T，e）為正則半群，a∈T。于是存在x∈T使得a=a°x°a，x=x°a°x，從而可得a=aexea，x=xeaex，進(jìn)一步有exe∈Pre（a）∩eSe，進(jìn)而得a∈Se，故T?Se。

正則半群都是富足半群，根據(jù)命題3.1，有任意的正則半群S，冪等元e是正則性保持元當(dāng)且僅當(dāng)Se=S［參看19］。

設(shè)S是半群，對于冪等元e∈S，對于任意的f∈E（S）都有f=fef，則稱e為中間冪等元。若eE（S）e是半格，則稱e為正規(guī)中間冪等元。若a，b∈S，有aeb=ab，則稱e為中間單位元。

引理3.2 S是富足半群，則中間冪等元和中間單位元都是正則性保持元。

證明設(shè)e∈S是中間冪等元，則對于任意的f∈E（S），有fef=f。從而可得feRfLef。再由定理，可知e∈RP（S）。注意到任意中間單位元e都是中間冪等元，進(jìn)而有e∈RP（S）。

設(shè)S°是富足半群S的恰當(dāng)*-子半群，E°是S°冪等元半格。若對于任意的x∈S，都存在e，f∈E（S）及唯一元x°∈S°，使得 x=ex°f，且eL*x°+，fR*x°*，其中x°+，x°*∈E°則稱S°為S的恰當(dāng)斷面。此時(shí)e，f∈E°都是由x唯一確定，且eR*x，fL*x，記ex為唯一冪等元e，fx為唯一冪等元f。

引理3.3［16］S是富足半群，e∈E（S），則eSe是S的*-子半群。

定理3.4 S是局部恰當(dāng)半群，則e∈E（S）∩RP（S）。當(dāng)且僅當(dāng)eSe是S的恰當(dāng)斷面。

證明設(shè)e是S的正則性保持冪等元。由于S是局部恰當(dāng)半群，有eSe是恰當(dāng)半群。于是根據(jù)引理，可得eSe是S的恰當(dāng)*-子半群。

接下來將從三個(gè)方面來證明eSe是S的恰當(dāng)斷面。

（i）由于e∈RP（S），則對任意的f∈E（S），有feRfLef。

（ii） 設(shè) a∈S，g，f∈E （S） 且 gR*aL*f。 則 有egeR*eaeL*efe。進(jìn)一步的由（i）及e∈RP（S），可知geR*a，egeR*ea，且存在z∈S使得f=f°z°f=fezef?，F(xiàn)假定x，y∈S1，若xeae=yeae，則有

xea=xeaf=xea（fezef）

=xeaefzef=（xeae）fzef

=（yeae）fzef

=yea（fezef）

=yeaf

=yea

進(jìn)而得到 xege=yege。注意到（ege）（eae）=egeae=egae=eae，則有egeR*eae。對偶地，可得efeL*eae。。

（iii）在eSe中，記（eae）+［（eae）*］為eae的R*［L*］-類唯一冪等元。由（ii），可知（eae）+=ege。（eae）*=efe再由于g，f∈E（S），e∈RP（S），則存在s，t∈S使得g=g°s°g=geseg，f=f°t°f=fetef存。注意到 geLege，efLefe且 a=（ge）（eae）（ef）。于是存在 x∈eSe使得 a=uxv，其中 u，v∈E（S），uL*x+，vR*x*且 x+，x*∈E（eSe）。根據(jù)［10］，引理 2.1，可得uR*a，vL*a。進(jìn)一步根據(jù)，有eueR*eae。eveL*eae。。又由于eSe是S的恰當(dāng)*-子半群，于是得在eSe中，每一個(gè)L*-類和R*-類都有唯一的冪等元，從而有eue=ege，eve=efe。因?yàn)?uL*x+，vR*x*，v=x*v，x+，x*∈E（eSe），所以有 u=ue，v=ev，從而可得eu=eue，ve=eve，進(jìn)而有eu=ege，ve=efe。再根據(jù)（i），可得euLu+且veRv*。再由于eSe是恰當(dāng)半群，于是可得到eu=x+，ve=x*。從而有

eae=（ege）（eae）（efe）

=（eu）（eae）（ve）

=（eue）a（eve）

=（eu）a（ve）

=x+gxfx*

=x

于是有在eSe中eae是由a唯一確定的，且eSe是S的恰當(dāng)斷面。

反過來，假定eSe是S的恰當(dāng)斷面。設(shè)f∈E（S），則存在 f°∈eSe，使得 f=gf°h，其中 g，h∈E（S），gL*f°+，hR*f°*，f°+，f°*∈E（eSe）。

另一方面，容易驗(yàn)證

fegf°hef=fgef°ehf=fef°hf=fff=f

于是得egf°he∈Pre（f）。注意到 egf°he∈eSe，從而有Pre（f）∩eSe≠。則由定理可知。

e∈RP（S）。

［1］T.S.Blyth.J.B.Hickey.RP-dominated regular semigroups［J］.Proc.Roy.Soc.Edinb.，1984（99A）：184-191.

［2］X.J.Guo.Abundant semigroups satisfying permutation identities［J］.Semigroup Forum，1997（54）：317-326.

［3］X.J.Guo.F-abunadnt semigroups［J］.Glasgow Math.J.2001（43）：153-163.

［4］X.J.Guo.Abundant Semigroup with a Multiplicative Adequate Transversal［J］.Acta Math.Sinica（New Ser.），2002 （18）：229-244.

［5］X.J.Guo，Y.F.Luo.The natural partial orders on abundant semigroups［J］.Adv.Math.（China），2005（34）：297-308.

［6］X.J.Guo，K.P.Shum.Abundant Semigroup with Q-adequate Transversals and Some of Their Special Cases［J］.Algebra Colloquium，2007（14）：689-704.

［7］A.El-Qallali，J.B.Fountain.Quasi-adequate semigroups［J］.Proc.Royal Soc.Edinburgh（Sect.A），1981（91）：91-99.

［8］Fu Zhiqing，Guo Xiaojiang,Li Zhenzhen.Naturally Partial Orders and Locally Quasi-Adequate Semigroups［J］.Journal of Jiangxi Normal University：Natural Science，2012（36）：339-342.

［9］付志青,李珍真,孫慧賢.RP-framed富足半群［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（理科版）2014,38（2）：119-123.

［10］J.B.Fountain.Adequate semigroups［J］.Proc.Edinburgh Math.Soc.1979（22）：113-125.

［11］J.B.Fountain.Abundant semigroups［J］.Proc.London Math.Soc.1982（44）：103-129.

［12］J.B.Hickey.Semigroups under a sandwich operation［J］.Proc.Edinburgh Math.Soc.1983（26）：371-382.

［13］J.B.Hickey.A class of regular semigroups with regularity-preserveing elements［J］.Semigroup Forum，2010 （81）：145-161.

［14］J.B.Hickey.On variants of a semigroup［J］.Bull.Austral.Math.Soc.，1986（34）：447-459.

［15］J.B.Hickey.On regularity preservation in a semigroup［J］.Bull.Austr.Math.Soc.2004（69）：69-86.

［16］J.M.Howie.An introduction to semigroup theory［J］.Academic Press，London，1976.

［17］J.M.Howie.Fundamentals of Semigroup Theory［J］.Clarendonc Press，OXford，1995.

［18］M.V.Lawson.The natural partialorders on an abundant semigroup［J］.Proc.Edinburgh Math.Soc.，1987（30）：169-186.

［19］T.A.Khan，M.V.Lawson.Variants of regular semigroups［J］.Proc.Semigroup Forum，2001（62）：358-374.