各向異性亞鐵磁鏈的自旋波理論

彭 亮， 陳 斌，2

（1.上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093；2.杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018）

近幾十年來，一維的亞鐵磁鏈由于表現(xiàn)出很多奇特的物理現(xiàn)象，而引起了人們的極大興趣和廣泛關(guān)注.亞鐵磁鏈?zhǔn)怯蓛煞N自旋不同的磁性離子通過自旋－自旋相互作用（交換積分）而形成的一維晶格，最簡單的亞鐵磁鏈由自旋為1和自旋為組成.利用自旋波理論（SWT）［1－2］，可以得到亞鐵磁鏈的長波色散關(guān)系與波矢的平方成正比，這與鐵磁鏈的色散關(guān)系相同，而反鐵磁鏈的長波色散關(guān)系與波矢成正比［3］.這說明雖然亞鐵磁鏈近鄰格點(diǎn)上的自旋排列方式與反鐵磁鏈的相同，但是它的物理性質(zhì)更像是鐵磁鏈.隨著人們認(rèn)識的提高和對亞鐵磁鏈的進(jìn)一步研究，又產(chǎn)生了許多新的理論，其中包括修正的自 旋 波 理 論（MSWT）［4］、自 洽 平 均 場 理 論（SCMFT）［5］和 薛 溫 格 玻 色 子 平 均 場 理 論（SBMFT）［6－7］.近年 來，人 們 又 發(fā) 展 了 一 些 新 的 計(jì)算方法，例如密度矩陣重整化群（DMRG）［8］方法和量子蒙特卡羅（QMC）［9］方法.隨著新的理論和科學(xué)的計(jì)算方法的出現(xiàn)，人們對亞鐵磁鏈物理性質(zhì)的了解將會更加全面.

研究各向異性［10］的亞鐵磁鏈，可以提高人們對物質(zhì)磁性的認(rèn)識，同時(shí)可以為新型磁性材料的研發(fā)和應(yīng)用提供理論上的依據(jù)，因此具有理論和實(shí)踐上的重要意義.出于對上述原因的考慮，本文研究了各向異性亞鐵磁鏈的物理性質(zhì).經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，在各向異性的亞鐵磁鏈中，在一定數(shù)值范圍內(nèi)的各向異性因子會對系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā)起到抑制作用，它就像該系統(tǒng)的開關(guān).

1 各向異性亞鐵磁鏈的自旋波理論

對于各向異性的亞鐵磁鏈，其海森堡哈密頓量可表示為

式中，J 是亞鐵磁鏈中兩格點(diǎn)磁性離子上電子間的交換積分，且令J＝1；η 是近鄰格點(diǎn)間的位置矢差；D 是各向異性因子；是自旋Si在z 軸方向上的投影分量.將系統(tǒng)分為兩個(gè)子格，其中子格A 的自旋向上，子格B 的自旋向下；N 為每個(gè)子格的格點(diǎn)總數(shù)，且取晶格長度為單位長度；Si代表子格A中i格點(diǎn)上的自旋，其值為S＝1；si代表子格B中i 格點(diǎn)上的自旋，其值為

將式（1）改寫為

子格A：

子格B：

考慮低激發(fā)態(tài)（即低溫區(qū)）時(shí)，在亞鐵磁鏈中有

利用式（3）和式（4），將亞鐵磁鏈的哈密頓量式（2）展開，并略去算符a，b 的四次項(xiàng)，得到低溫近似下的哈密頓量

式中，Z 為晶格的配位數(shù)，對于亞鐵磁鏈有Z＝2.對式（5）作傅里葉變換，分別引入子格的自旋波算符ak，bk

利用式（6），各向異性亞鐵磁鏈的哈密頓量式（5）可表示為

為了消除交叉項(xiàng)，使式（7）對角化，引入玻戈留玻夫正則變換［12］

其中，變換系數(shù)uk，vk滿足關(guān)系式

利用式（8），得到對角化的哈密頓量

式中

由式（12）可以得出，由于各向異性因子D 的作用，使得一些波矢k 無法在系統(tǒng)中存在，即它會抑制一些準(zhǔn)粒子的激發(fā).圖1是此系統(tǒng)的兩個(gè)激發(fā)能譜，即聲學(xué)支（）和光學(xué)支.可以看出，隨著各向異性因子D 的增加，能譜下降.當(dāng)D 取0.09時(shí)，系統(tǒng)的激發(fā)能譜分成了兩段.而且D 越大，能譜分得越開，即這種抑制準(zhǔn)粒子激發(fā)的作用越強(qiáng).但是，如果D 的取值超過臨界值，這種抑制作用又會消失.通過研究，得到在此亞鐵磁鏈系統(tǒng)中存在兩個(gè)臨界值.一般地，此兩個(gè)臨界值可表示為

由以上兩式可得到系統(tǒng)中的臨界值分別為0.086和2.914.當(dāng)各向異性因子D 的取值在這兩個(gè)臨界值之外時(shí)，即D＜0.086或D＞2.914，它對系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā)沒有影響.當(dāng)D 的取值在這兩個(gè)臨界值之間的時(shí)候，即0.086＜D＜2.914，這個(gè)各向異性因子就會抑制系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā).在各向異性的亞鐵磁鏈系統(tǒng)中，各向異性因子D 起到開關(guān)的作用.

圖1 各向異性亞鐵磁鏈的激發(fā)能譜Fig.1 Energy spectrum of the anisotropic ferrimagnetic chain

2 各向異性亞鐵磁鏈的物理性質(zhì)

下面來研究各向異性亞鐵磁鏈的物理性質(zhì).由哈密頓量式（10），可以得到該體系單格點(diǎn)的自由能

進(jìn)而，各向異性亞鐵磁鏈的低溫比熱容由式（16）求得

各向異性亞鐵磁鏈比熱容的低溫曲線如圖2所示（見下頁）.可以看到，當(dāng)溫度T＞0.1Κ 時(shí)，隨著各向異性因子的增加，系統(tǒng)的比熱容在增大.各向異性亞鐵磁鏈的比熱容與溫度成正比，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.

接下來研究外磁場對各向異性亞鐵磁鏈物理性質(zhì)的影響.處于外磁場H 作用下的各向異性亞鐵磁鏈的哈密頓量可表示為

圖2 各向異性亞鐵磁鏈的比熱容Fig.2 Specific heat of the anisotropic ferrimagnetic chain

式中，取朗德因子g＝1，玻爾磁子μB＝1.利用HP變換，傅里葉變換和玻戈留玻夫正則變換，得到系統(tǒng)對角化的哈密頓量為

式中

此時(shí)體系的自由能可表示為

求得此時(shí)系統(tǒng)原胞的磁化強(qiáng)度為

各向異性亞鐵磁鏈的磁化強(qiáng)度曲線如圖3 所示，磁化強(qiáng)度曲線在m ＝0.5 處呈現(xiàn)一個(gè)平臺，滿足條件［13］

式中，S 為原胞中所有格點(diǎn)自旋之和；m 為原胞的磁化強(qiáng)度；n 為整數(shù).隨著各向異性因子D 的增加，磁化強(qiáng)度平臺在縮短，且有消失的趨勢，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.但是，此時(shí)各向異性因子D 的取值很小.當(dāng)D 的取值相當(dāng)大的時(shí)候，所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)不符，需對自旋波理論進(jìn)行修正.

圖3 各向異性亞鐵磁鏈的磁化強(qiáng)度Fig.3 Magnetization of the anisotropic ferrimagnetic chain

3 結(jié) 論

利用自旋波理論，研究了各向異性的亞鐵磁鏈的物理性質(zhì).研究發(fā)現(xiàn)，各向異性亞鐵磁鏈中存在著兩個(gè)臨界值，當(dāng)各向異性因子的取值在這兩個(gè)臨界值之間的時(shí)候，它會對系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子的激發(fā)起到一定的抑制作用，而且這種抑制作用會隨著各向異性因子的增加而增強(qiáng)，這個(gè)各向異性因子就像是該系統(tǒng)的開關(guān).同時(shí)考慮了外磁場的作用，在外磁場作用下，系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度曲線呈現(xiàn)出一個(gè)平臺，它隨著各向異性因子的增加而縮短.

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