隨機波作用下海床動態(tài)響應分析

張 軍，江俊達，華 瑩，周香蓮

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240;2.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 海洋巖土工程研究中心，上海 200240)

通常的海床動態(tài)響應模擬都是使用確定意義上的規(guī)則波理論，實際的海洋波浪在一定的時間及地點、波浪的出現(xiàn)以及波浪的參數(shù)都有著很強的隨機性。前人的研究大多使用線性波、Stokes 波或者橢圓余弦波。Hsu 和Jeng［1］研究了波浪作用下細砂質(zhì)海床的動態(tài)響應問題。Zhou 等［2-3］建立了波流聯(lián)合作用下的多層海床模型，研究了滲透系數(shù)、孔隙率和波高等對孔壓及有效應力的影響，并分析了液化范圍和各向異性的海床在波浪作用下的動態(tài)響應。Xu 等［4-5］提出了準確計算一階橢圓余弦函數(shù)的近似表達式和使用條件，并使用靜態(tài)Biot 固結(jié)模型進一步研究了橢圓余弦波作用下，多孔介質(zhì)海床的孔壓以及有效應力的分布。對于隨機波的模擬，Longuet-Higgins［6］采用分析電子管噪聲電流的方法，對線性波浪進行疊加模擬隨機波的傳遞。對于不同的海況，采用不同的頻譜對隨機波進行描述［7-9］。目前用隨機波對海床動態(tài)響應進行的計算，大都使用Biot 固結(jié)模型［10-12］，忽略了流體速度及土體位移加速度影響。如，Xu［13］使用簡化的隨機波模擬了海床的液化進程。

為了反映波浪真實性，采用Longuet-Higgins 模型線性波浪疊加法模擬隨機波浪(使用Jonswap 譜)。驗證隨機波浪后，用動力u-p 模式建立海床動態(tài)響應模型，聯(lián)合隨機波浪、u-p 有限元模型，用COMSOL Multiphysics 的PDE 模塊寫入控制方程求解，得到多孔彈性海床的孔壓和有效應力。將隨機波、Stokes 波和橢圓余弦波結(jié)果進行對比后對滲透系數(shù)和飽和度進行了參數(shù)分析。

1 隨機波浪理論及海床動態(tài)響應模型的建立

1.1 隨機波理論

采用Longuet-Higgins 模型，將固定點的海浪波面位移表示為如下隨機過程:

式中:M 為組成波的數(shù)量，數(shù)值充分大;i 為組成波的序列;d 為水深;ki為第i 個組成波的波數(shù);ai表示第i 個組成波的幅值;ζi為第i 個組成波的隨機相位值，均勻分布于(0，2π);表示代表頻率，均勻分布于(fi－1－fi)或由式(2)計算，fi為第i 個組成波的頻率。組成波的波面幅值ai可由隨機波頻譜S(f)求得，波數(shù)ki、頻率和水深d 的關(guān)系可以用下式表示(g 為重力加速度):

而對于頻譜S(f)，采用改進的Jonswap 型譜，此譜的優(yōu)點在于給定了γ 即可由設計波要素確定譜形:

其中，

式中:γ 為增強因子，取1 ～7(平均值為3.3);fp為頻譜峰值對應的波浪頻率，取值可以由fp=1/Tp求得;同時認為f 的取值在0 ～5fp之中均勻分布;σ 的取值依賴于f 的取值，f ＞fp時，σ=0.07，否則取為σ=0.09;TH1/3和H1/3分別為波浪有效周期和有效波高。

隨機波作用下海床受到的波壓力pb為

1.2 海床動態(tài)響應分析模型以及驗證

1.2.1 計算模型的建立

計算模型如圖1 所示，水深為d，厚度為h 的海床下為固定的不透水基層，有效周期為TH1/3，有效高度為H1/3，隨機波沿x 軸正向傳播。

1.2.2 控制方程與邊界條件

多孔彈性海床考慮超孔隙水壓力和土骨架變形下Biot方程可以表示為

式中:p 為孔隙水壓力;γw為孔隙流體的重度;n 為海床土壤孔隙率;Kz為土壤滲透系數(shù);ρf為流體的密度;β 為孔隙流體的壓縮性系數(shù);ε 為土體體積應變。β，ε 分別由以下兩式定義:

圖1 隨機波作用下海床動態(tài)響應計算模型Fig.1 Diagram of a seabed under random waves

其中，kw為孔隙水的體積模量，通常取kw= 2 ×109N/m2;S 為海床土體的飽和度;u 和w 分別為土體位移在水平及豎直方向上的分量;Pw0為孔隙水絕對壓力。

考慮土體位移加速度，忽略與相對孔隙流體位移相關(guān)的慣性項得到u-p 形式的控制方程:

式中:σij為土體總應力;ρ 和ρf分別是土體和孔隙流體的密度;為土體骨架的加速度;為孔隙流體相對于土體骨架的平均位移;即為相對平均加速度;Kf為孔隙流體的體積模量。

2 模型驗證及結(jié)果分析

2.1 模型驗證

如圖2 所示，使用Jonswap 譜頻譜曲線與Jeng［11］的結(jié)果相比(取TH1/3=10 s，H1/3=6 m，d =25 m)，無論是峰值還是譜寬都吻合良好，可以使用。為了進一步驗證u-p 模型，將結(jié)果與解析解(Liu 和Jeng［10］)比較，具體取值見圖3 所示，其中實線為當前模型，虛線為解析解。可見本結(jié)果與解析解相比，波面壓力值幾乎相同，變化趨勢基本相同，存在差異主要因為這里用Biot 動態(tài)模型，考慮流體速度及土體位移加速度，而Liu 和Jeng 用的是Biot 固結(jié)模型，忽略流體速度及土體位移加速度的影響。

圖2 本文結(jié)果與Jeng［11］結(jié)果對比Fig.2 Comparison between the present results and Jeng［11］

圖3 當前模型和解析解(Liu and Jeng［10］)的比較Fig.3 Comparison of previous results (Liu and Jeng［10］)

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 不同波浪理論下海床動態(tài)響應分析

本部分將模擬得到的一階Stokes 波、橢圓余弦波、隨機波與海床動態(tài)響應模型結(jié)合，得到同樣波浪參數(shù)下(參數(shù)見表1，Stokes 波及橢圓余弦波的波高取2 m，與隨機波的H1/3相同)不同波浪理論單位化后的孔壓及有效應力隨海床深度變化的響應曲線，均取各自表面最大波動水壓力剖面分析，單位化參數(shù)P0=ρwgH1/3。橢圓余弦波的模擬將在另一篇文章詳述。如圖4 所示，在孔壓最大的截面上海床表面受到波動水壓力，橢圓余弦波為0.68，大于隨機波0.51，Stokes 波最小為0.43?？讐鹤兓厔莼鞠嗤陂_始階段劇烈衰減，達一定深度后衰減減緩，隨海床深度加深逐漸穩(wěn)定，最終穩(wěn)定值橢圓余弦波大于隨機波，Stokes 波最小。圖5表明有效應力絕對值的最大值Stokes 波(－0.41)最早達到，然后是橢圓余弦波(－0.27)以及隨機波(－0.26)，變化趨勢也基本相同?？梢娛褂貌煌ɡ死碚搶４脖砻娴目讐撼踔祵a(chǎn)生明顯的影響，且最大有效應力出現(xiàn)在海床某深度處，不可簡單用Stokes 波或線性波計算。

表1 計算參數(shù)的選取Tab.1 Parameters selected in present model

圖4 不同波浪理論下孔壓隨海床深度的變化Fig.4 Distribution of pore pressure (p /P0)versus seabed depth with different wave theories

圖5 不同波浪理論下有效應力隨海床深度的變化Fig.5 Distribution of vertical stress (σzz’/P0)versus seabed depth with different wave theories

2.2.2 滲透系數(shù)Kz對結(jié)果影響的分析

滲透系數(shù)一直是海床動態(tài)響應研究很關(guān)注的參數(shù)，由圖6 可見隨著滲透系數(shù)減小(Kz=0.1、0.01、0.001 m/s)，孔壓衰減更平緩。有效應力絕對值最大值隨滲透系數(shù)減小而增大，達最大值的深度則相對更淺(圖7)。由此結(jié)果可知工程上可通過改變滲透系數(shù)達到改變動態(tài)響應及液化狀況的目的。如圖8 所示，取4個周期的時長(32 s)及1/10h 的海床深度觀察不同滲透系數(shù)下，固定點孔壓隨時程的變化，由于波浪作用的隨機性，固定點的孔壓變化也表現(xiàn)出隨機性，而隨著滲透系數(shù)的增大，固定點的孔壓表現(xiàn)出正相關(guān)的增大。

圖6 不同滲透系數(shù)下孔壓隨海床深度的變化Fig.6 Distribution of pore pressure (p /P0)versus seabed depth with different permeability coefficients

圖7 不同滲透系數(shù)下有效應力隨海床深度的變化Fig.7 Distribution of vertical stress (σzz' /P0)versus seabed depth with different permeability coefficients

圖8 不同滲透系數(shù)下1/10h 深度固定點孔壓隨著時程的變化Fig.8 Time varying pore pressure (p /P0)distruibution for different permeability coefficient at z=1/10h

2.2.3 飽和度S 對結(jié)果影響的分析

飽和度是海床的重要參數(shù)，如圖9 所示，雖然隨著飽和度的減小，整個孔壓隨著海床深度變化的趨勢沒有發(fā)生改變，但是孔壓變化衰減速度明顯增快。由圖10 可知，有效應力絕對值達到的最大值隨著飽和度的減小而增大明顯，隨著飽和度從1 變化到0.98 再變化到0.96，有效應力絕對值從0.17 增大到0.26 再增大到0.30。同樣取4T 周期以及1/10h 的深度，研究固定點的孔壓及有效應力隨著時程的變化，圖11 中可知隨著飽和度的增大，固定點的孔壓保持隨機性的同時也相應增大?？梢婏柡投葘讐汉陀行τ绊懨黠@，在對海床動態(tài)響應的計算或者洋底結(jié)構(gòu)物的設計過程中，通過實驗確定飽和度時需要保證精度。

圖9 不同飽和度下孔壓隨海床深度的變化Fig.9 Distribution of pore pressure (p /P0)versus seabed depth with different saturation degrees

圖10 不同飽和度下有效應力隨海床深度的變化Fig.10 Distribution of vertical stress (σzz'/P0)versus seabed depth with different saturation degrees

圖11 不同飽和度下1/10h 深度固定點孔壓隨著時程的變化Fig.11 Time varying pore pressure (p /P0)distruibution for different saturation degrees at z=1/10h

3 結(jié) 語

1)使用不同的波浪理論對海床表面的孔壓初值有明顯影響。使用Stokes 波計算的海床表面的波動水壓力大于橢圓余弦波，隨機波最小。Stokes 波最早達到有效應力絕對值的最大值，然后是橢圓余弦波和隨機波，達到最大值的海床深度也是同樣順序漸增。簡單使用線性波或Stokes 波等模擬復雜的海洋情況將造成較大誤差。

2)隨著滲透系數(shù)的減小，孔壓的變化趨勢并未改變，但使得排水難度增大，影響深度減小，導致孔壓減小。另一方面，有效應力絕對值最大值隨著滲透系數(shù)的減小呈增大趨勢，達到最大值的深度則相對更淺。1/10h海床深度的固定點孔壓隨著滲透系數(shù)的減小而表現(xiàn)出正相關(guān)的增大。有效應力的數(shù)值則相應減小。

3)隨著飽和度的減小，孔壓變化衰減速度明顯增快，且海床底部的穩(wěn)定孔壓值也相應減小。有效應力絕對值達到的最大值隨著飽和度的減小而增大明顯。1/10h 深度的固定點的孔壓隨著飽和度的增大而相應增大。而有效應力則隨著飽和度的增大而減小。

［1］HSU J R C，JENG D S.Wave-induced soil response in an unsaturated anisotropic seabed of finite thickness［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1994，18:785-807.

［2］ZHOU X L，XU B ，WANG J H，et al.An analytical solution for wave-induced seabed response in a multi-layered poro-elastic seabed［J］.Ocean Engineering，2011，38(1):119-129.

［3］ZHOU X L，Wang J H，ZHANG J，et al.Wave and current induced seabed response around a submarine pipeline in an anisotropic seabed［J］.Ocean Engineering，2014，75:112-127.

［4］XU Y F，XIA X H，WANG J H.Calculation and approximation of the cnoidal function in cnoidal wave theory［J］.Computers＆ Fluids，2012，68:244-247.

［5］XU Y F，XIA X H，WANG J H，et al.Numerical analysis on cnoidal wave induced response of porous seabed with definite thickness［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，Science，2013，18:650-654.

［6］LONGUET-HIGGINS M S.The statistical analysis of a random，moving surface［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society of London，Series A，Mathematical and Physical Sciences，1957:321-387.

［7］HASSELMANN K，BARNETT T P，BOUWS E，et al.Measurements of wind-wave growth and swell decay during the Joint North Sea Wave Project (JONSWAP).1973.

［8］HUANG N E，LONG S R，TUNG C C，et al.A unified two-parameter wave spectral model for a general sea state［J］.Journal of Fluid Mechanics，1981，112:203-224.

［9］WEN S H，ZHANG D C，CHEN B H，et al.Theoretical wind wave frequency spectra in deep water I.Form of spectrum［J］.Acta Oceanologica Sinica，1998，7(1):1-16.

［10］LIU H，JENG D S.A semi-analytical solution for random wave-induced soil response and seabed liquefaction in marine sediments［J］.Ocean Engineering，2007，34(8):1211-1224.

［11］JENG Dongsheng.Porous models for wave-seabed interactions［M］.上海:上海交通大學出版社，Springer，2013.

［12］王忠濤，欒茂田，JENG Dongsheng，等.隨機波浪作用下海床動力響應及液化的理論分析［J］.巖土力學，2008，29(8):2051-2056.(WANG Zhongtao，LUAN Maotian，JENG Dongsheng，et al.Theoretical analysis of random wave-induced seabed response and liquefaction［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29(8):2051-2056.(in Chinese))

［13］XU H.Wave-induced liquefaction processes in marine sediments［D］.University of Dundee，2012.