一端外伸梁置換法撓度轉(zhuǎn)角方程關(guān)系的完備性

喻曉今

（華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西 南昌330013）

以簡(jiǎn)單的撓曲線(xiàn)來(lái)替代較為復(fù)雜者，文獻(xiàn)［1］通過(guò)分析簡(jiǎn)支梁、懸臂梁和外伸梁在集中力、集中力偶、分布載荷作用下的最大撓度，發(fā)現(xiàn)了簡(jiǎn)支梁和外伸梁絕對(duì)值最大撓度與對(duì)應(yīng)的懸臂梁（置換梁）自由端撓度的同一性，找到了以簡(jiǎn)代繁的可能性。文獻(xiàn)［2］給出了簡(jiǎn)支梁的比擬梁法（置換法）的轉(zhuǎn)角位移方程和撓度位移方程，適用于簡(jiǎn)支梁，并以實(shí)例應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］推導(dǎo)出簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的置換法的轉(zhuǎn)角位移方程和撓度位移方程。文獻(xiàn)［4］則以置換法解超靜定連續(xù)梁，以置換法位移方程直接列寫(xiě)變形協(xié)調(diào)關(guān)系，各型實(shí)例說(shuō)明其良好的適應(yīng)性。完成導(dǎo)出置換法解一端外伸梁的轉(zhuǎn)角位移方程和撓度位移方程的是文獻(xiàn)［5］的工作，這樣，置換法求解梁撓度和轉(zhuǎn)角的問(wèn)題向另一類(lèi)簡(jiǎn)單支承梁擴(kuò)展。在文獻(xiàn)［6］中，置換法用于解靜定剛架位移。對(duì)于鉸支承Γ 形剛架的位移，文獻(xiàn)［7］作了討論。Γ 形剛架支承的進(jìn)一步增加，在文獻(xiàn)［8］里提出了解法。文獻(xiàn)［9］對(duì)一個(gè)方向無(wú)外力的剛架進(jìn)行了置換法討論。而在置換法與它法結(jié)合運(yùn)用上，文獻(xiàn)［10］有探討。為深化置換法的研究，其位移方程本身性質(zhì)似待揭示。

從梁的撓曲線(xiàn)在其面內(nèi)的幾何圖形的觀察出發(fā)，在任一位置上對(duì)撓曲線(xiàn)加入切線(xiàn)作輔助線(xiàn)，并且，一般地作切線(xiàn)的垂線(xiàn)——將該垂線(xiàn)引向梁的有關(guān)邊界點(diǎn)，此邊界點(diǎn)包括支承點(diǎn)和端點(diǎn)等等，構(gòu)成直線(xiàn)、曲線(xiàn)組成的圖形，權(quán)且稱(chēng)為置換法圖像。對(duì)置換法圖像進(jìn)行分析，以平面幾何關(guān)系和撓曲線(xiàn)所表達(dá)的撓度以及其轉(zhuǎn)角為基本變量，建立起它們的等量關(guān)系，是置換法尋求位移方程的方法。前研究所找到的位移方程有撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，為了進(jìn)一步落實(shí)它們的關(guān)系，需要對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行深入研究，以下證明一端外伸梁的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。

1 右端外伸梁置換法位移方程之間關(guān)系

根據(jù)梁的位移的討論，梁的對(duì)稱(chēng)彎曲中，在小變形條件下，梁的撓度與轉(zhuǎn)角是一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即有w′(x)=θ(x)，其中:w(x)是撓度；θ(x)是轉(zhuǎn)角；x是梁的橫截面在變形前的軸向位置坐標(biāo)。當(dāng)已經(jīng)求出撓度方程（撓曲線(xiàn)方程）后，只要對(duì)撓度方程求關(guān)于自變量x一階導(dǎo)數(shù)，所得函數(shù)便是轉(zhuǎn)角方程。置換法所獲得的位移方程，包括撓度方程和轉(zhuǎn)角方程皆是關(guān)于自變量x的、并存在中間變量的復(fù)合函數(shù)，就是以置換梁自由端撓度、梁長(zhǎng)、跨長(zhǎng)、外伸端撓度和x等參數(shù)為變量的復(fù)合函數(shù)，此情況提示應(yīng)以復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)驗(yàn)證其包含的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程的一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系。右端外伸梁見(jiàn)圖1.

1.1 右端外伸梁置換法圖像

作任一右端外伸梁置換法圖像見(jiàn)圖2，點(diǎn)劃線(xiàn)ABC代表梁的變形前軸線(xiàn)位置，其與x 軸重合，點(diǎn)劃線(xiàn)ABD為梁軸線(xiàn)變形以后的位置——為明晰而夸大，仍然是淺坦的彈性曲線(xiàn)。x軸原點(diǎn)在梁的左端A處?，F(xiàn)于梁的任一位置、離點(diǎn)A為x處的G點(diǎn)處，向下方引一與y軸平行的線(xiàn)段GH，交撓曲線(xiàn)為H點(diǎn)，其即是梁在x位置的撓度（小變形假設(shè)）。作H點(diǎn)的切線(xiàn)JK，連接J、A兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段AJ正交于線(xiàn)JK；同樣，連接K、D兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段DK正交于線(xiàn)JK。顯然，線(xiàn)段AJ，DK分別是梁在G處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x)，wr(x)（小變形假設(shè)）。同理，離梁的A點(diǎn)為x+Δx處的N點(diǎn)處，向下方引一與y軸平行的線(xiàn)段NQ，交撓曲線(xiàn)為Q點(diǎn)，其即是梁在x+Δx位置的撓度。作Q點(diǎn)的切線(xiàn)RS，連接R、A兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段AR正交于線(xiàn)RS；同樣，連接S、D兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段DS正交于線(xiàn)RS。顯然，線(xiàn)段AR，DS分別是梁在N 處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x+Δx)，wr(x+Δx)。

另外，切線(xiàn)JK、RS的交點(diǎn)為T(mén)；線(xiàn)段AR與切線(xiàn)JK的交點(diǎn)為U；線(xiàn)段DK與切線(xiàn)RS的交點(diǎn)為V。

圖1 右端外伸梁Fig.1 Right end overhanging beam

圖2 右端外伸梁置換法圖像Fig.2 Conversion method graph of right end overhanging beam

1.2 右端外伸梁撓度方程、轉(zhuǎn)角方程

在結(jié)構(gòu)一定、荷載一定的條件下，參考文獻(xiàn)［5］給出的右端外伸梁轉(zhuǎn)角方程、撓度方程分別如下

式中：wl(x)表示左置換梁自由端撓度；wr(x)表示右置換梁自由端撓度；l表示跨度；a表示梁外伸部分長(zhǎng)度；wC表示外伸端撓度。

式（1）代入式（2）有：

1.3 撓度方程的一階導(dǎo)數(shù)

對(duì)式（3）求關(guān)于自變量x一階導(dǎo)數(shù)，得

1.4 左右置換梁撓度關(guān)系的幾何特征

對(duì)式（4）中的Ω進(jìn)行分析。借助于置換法圖像，研究的內(nèi)涵。

研讀圖2，看直角三角形TUR，TKV，由于∠RTU=∠VTK（對(duì)頂角），故它們相似（三角形中兩角分別相等）。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到等式：

由此可得

因?yàn)樾∽冃渭僭O(shè)，所有轉(zhuǎn)角都是微小量，并且考慮撓曲線(xiàn)的連續(xù)光滑性質(zhì)，當(dāng)Δx趨近于零時(shí)，也即N點(diǎn)無(wú)限地靠近G點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)無(wú)限靠近H點(diǎn)，并與T點(diǎn)逐漸合為一點(diǎn)。與此同時(shí)，U點(diǎn)趨近于J點(diǎn)；V點(diǎn)趨近于S點(diǎn)。AJ≈AU，DV≈DS（等價(jià)無(wú)窮?。褪?/p>

將式（6）、（7）代入式（5），得：TK(AR-AJ)≈RT(DK-DS)。

再顧及這些線(xiàn)段的物理意義，上式即是

1.5 撓度轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系

式（8）約等號(hào)兩邊同除以(l+a)Δx因子，得：

顯然，式（9）中約等號(hào)兩邊的各自第二個(gè)因子是各自函數(shù)增量與自變量的比值，依照導(dǎo)數(shù)定義，當(dāng)Δx趨于零時(shí)下式成立：

就是：

移項(xiàng)得：

2 左端外伸梁置換法位移方程之間關(guān)系

左端外伸梁見(jiàn)圖3.以下討論步驟完全與右端外伸梁的相同，為節(jié)省篇幅，采用縮略型語(yǔ)匯，詳細(xì)邏輯關(guān)系參看上述內(nèi)容。

2.1 左端外伸梁置換法圖像

圖3 左端外伸梁Fig.3 Left end overhanging beam

圖4 左端外伸梁置換法圖像Fig.4 Conversion method graph of right end overhanging beam

作左端外伸梁置換法圖像，見(jiàn)圖4.不失一般性，點(diǎn)劃線(xiàn)ABC代表梁的變形前軸線(xiàn)位置，其與x軸重合，點(diǎn)劃線(xiàn)ABD為梁軸線(xiàn)變形以后的位置，仍然是淺坦的彈性曲線(xiàn)。x軸原點(diǎn)在梁的左端C處。現(xiàn)于梁的任一位置、離點(diǎn)C為x處的G點(diǎn)處，向上方引一與y軸平行的線(xiàn)段GH，交撓曲線(xiàn)為H點(diǎn)，其即是梁在x位置的撓度。作H點(diǎn)的切線(xiàn)JK，連接J、A兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段AJ正交于線(xiàn)JK；同樣，連接K、D兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段DK正交于線(xiàn)JK。顯然，線(xiàn)段DK、AJ分別是梁在G處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x)，wr(x)。同理，離梁的C點(diǎn)為x+Δx處的N點(diǎn)處，向上方引一與y軸平行的線(xiàn)段NQ，交撓曲線(xiàn)為Q點(diǎn)，其即是梁在x+Δx位置的撓度。作Q點(diǎn)的切線(xiàn)RS，連接R，A兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段AR正交于線(xiàn)RS；同樣，連接S，D兩點(diǎn)，并使線(xiàn)段DS正交于線(xiàn)RS。顯然，線(xiàn)段DS、AR分別是梁在N處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x+Δx)、wr(x+Δx)。

另外，切線(xiàn)JK，RS的交點(diǎn)為T(mén)；線(xiàn)段AJ與切線(xiàn)RS的交點(diǎn)為U；線(xiàn)段DS與切線(xiàn)JK的交點(diǎn)為V。

2.2 左端外伸梁撓度方程、轉(zhuǎn)角方程

［5］給出的左端外伸梁轉(zhuǎn)角方程、撓度方程分別如下：

式中符號(hào)意義同前。

2.3 撓度方程的一階導(dǎo)數(shù)

將式（10）代入式（11），再對(duì)式中變量求關(guān)于x一階導(dǎo)數(shù)，得：

2.4 左右置換梁撓度關(guān)系的幾何特征

對(duì)式（12）中的Ω進(jìn)行分析。研讀圖4，看直角三角形TUJ，TSV，由于∠JTU=∠VTS，故它們相似。得到等式：

由此可得：

當(dāng)Δx趨近于零時(shí)，也即N點(diǎn)無(wú)限地靠近G點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)無(wú)限靠近H點(diǎn)，并與T點(diǎn)逐漸合為一點(diǎn)。與此同時(shí)，U點(diǎn)趨近于R點(diǎn)；V點(diǎn)趨近于K點(diǎn)。AR≈AU，DV≈DK，就是

將式（14），（15）代入式（13），得：

上式即是：

2.5 撓度轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系

式（16）約等號(hào)兩邊同除以(l+a)Δx因子，得：

顯然，式（17）當(dāng)Δx趨于零時(shí)使下式成立

3 結(jié)論

置換法位移方程由自變量x、中間變量wl(x)和中間變量wr(x)等等構(gòu)成，是一組關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)。所述復(fù)合函數(shù)完全適應(yīng)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的條件和要求。

1）定義的置換梁撓度導(dǎo)數(shù)的協(xié)和為零。

2）一端外伸梁的置換法撓度方程、轉(zhuǎn)角方程完全符合一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即w′=θ，故它們也完全保有原梁撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系性質(zhì)。一端外伸梁的置換法位移方程準(zhǔn)確可靠，可以應(yīng)用于理論分析和工程實(shí)踐。

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