劉國發(fā)
(河南水利與環(huán)境職業(yè)學院 河南鄭州 450008)
論數學模型的建立在高職高等數學教學中的應用
劉國發(fā)
(河南水利與環(huán)境職業(yè)學院 河南鄭州 450008)
數學建模是培養(yǎng)學生將數學理論聯系實際的有效途徑,高等數學中處處蘊含著數學建模的思想,針對高職院校學生的數學能力,應尊重學生的認知規(guī)律,在學習高等數學基礎知識過程中漸進式地培養(yǎng)數學建模能力。
高職生 數學建模教學 途徑
學習的目的全在于應用。在高等職業(yè)教育中,由于其明確的職業(yè)教育基本類型,確定了高等數學課程教學必須服務于專業(yè)知識的學習,其教學目標不僅是高等數學基礎知識的學習,重要的是培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力。解決實際問題,實質是綜合運用知識的思維活動過程,然而學生的思維活動需要借助外界的某種環(huán)境因素的剌激作用,所以在數學教學過程中,需要創(chuàng)設適當的問題情境,以啟動學生的思維機器,使學生在獲得知識的過程中,增進理解知識的來源、發(fā)展技能,提高解決實際問題的能力。作為聯系數學理論和實際問題的橋梁和紐帶的數學建模,恰為實現提高解決實際問題的能力提供了有效途徑。
我們知道,數學模型就是用數學語言、方法表述實際問題,其目的是便于繼續(xù)用數學的手段對其進行分析、處理,以便獲得對實際問題更多的、不易觀察出的深層次信息,這種表述就是一個數學模型,其過程就是數學建模。多年來,在高等院校中數學建?;顒拥拈_展,為大學生數學知識的應用、提高創(chuàng)新能力找到了一條行之有效的途徑。然而,數學建模需要較扎實的數學功底和較寬泛的多學科知識,特別是數學建模競賽,并非每個大學生都有能力完成。伴隨著高等教育的大眾化,高職院校學生的數學能力弱化、學習自覺性差是每位數學教師都不可回避的現實,他們的高中基礎數學知識欠缺,更不具備用數學知識分析問題的意識和能力。因此,如何利用數學建模教學來提高學生解決實際問題的能力,是必須認真研究的高等數學教學方法。
首先,必須牢固樹立“有數學就有數學建模”的教學理念。如“歷史上影響人類生活的十大公式”之兩例:原始公式——1+1=2,勾股定理——A2+B2=C2。這就促使教師在教學過程中有意識地引導學生充分認識數學現象,提高教師在教學過程中培養(yǎng)學生分析問題的意識。
其次,要明確數學建模的教學目標。要利用一些較簡單的實際問題,強調分析過程,培養(yǎng)學生分析問題的能力。
第三,精選案例。毫無疑問,數學建模是高職學生不易掌握的學習內容。要結合學生的生活、專業(yè)特點,理論聯系實際,培養(yǎng)學生的數學建模興趣。
數學本身就是為了實際應用才產生的,它的很多重大發(fā)現都是從實際問題的需要面出現的。很多高等數學概念的建立,都有其自身的數學模型,而數學模型又有其背景材料,教學中應展示其產生和發(fā)展的過程,培養(yǎng)解決問題的意識,把握解決問題的一般程序:
案例一:變速直線運動的瞬時速度——建立導數概念
(2)問題的分析:物體自由下落,經過時間,所經過的路程為
當時間由t0變到t0+△時,物體所經過的路程為
由式(2)-式(1)得物體在△時間內經過的路程
將式(3)兩端同除以,得物體在時間內的平均速度,即
(3)設變量、符號說明:△t——物體從t0時刻后的時間增量,△s——物體在△t時間內的路程增量平均速度,v(t0)——t0時刻的瞬時速度。
(4)建立數學模型:根據對問題的分析,t0時刻的瞬時速度可表示為數學式
(5)模型的求解:對(4)求出極限,得時刻的瞬時速度
在高等數學基礎知識的學習過程中,無不處處滲透著數學模型的思想。再如通過求曲邊梯形的面積來建立定積分的概念,用無限分割的思想,加強用“微元”分析方法建立積分模型的過程,使學生對非均勻積累問題的數學建模有一個深刻印象。即采用“分割→近似→求和→取極限”四個步驟建立所求量的積分模型,可簡記為
并用積分模型求不規(guī)則平面圖形的面積、空間圖形的體積、曲線弧長、液體壓力、變力作功等。
通過在學習高等數學基礎知識的過程中培養(yǎng)學生的數學建模思想,是從高職學生的基礎知識實際出發(fā)來培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的最基本途徑。
以高等數學基礎知識為背景,選擇難度較低的實際問題,通過建立數學模型,直接對數學知識加以應用。
案例二:變化率模型——導數的應用
表示自變量每改變一個單位時,函數y的平均變化率;當△x→0時,若y可導,則為函數y=f(x)的瞬時變化率。
(1)問題的提出:在離水面高度為H的岸上,用繩子拉船靠岸。假設繩子的長度為L,船位于離岸S處,那么,當收繩速度V0保持不變時,船的速度V是否改變?
(2)問題的分析:水面高度為H、繩子的長度L、船位于離岸的距離S構成了直角三角形,由勾股定理得