論數學模型的建立在高職高等數學教學中的應用

劉國發(fā)

（河南水利與環(huán)境職業(yè)學院 河南鄭州 450008）

論數學模型的建立在高職高等數學教學中的應用

劉國發(fā)

（河南水利與環(huán)境職業(yè)學院 河南鄭州 450008）

數學建模是培養(yǎng)學生將數學理論聯系實際的有效途徑，高等數學中處處蘊含著數學建模的思想，針對高職院校學生的數學能力，應尊重學生的認知規(guī)律，在學習高等數學基礎知識過程中漸進式地培養(yǎng)數學建模能力。

高職生 數學建模教學 途徑

一、數學建模在高職高等數學教學中的作用

學習的目的全在于應用。在高等職業(yè)教育中，由于其明確的職業(yè)教育基本類型，確定了高等數學課程教學必須服務于專業(yè)知識的學習，其教學目標不僅是高等數學基礎知識的學習，重要的是培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力。解決實際問題，實質是綜合運用知識的思維活動過程，然而學生的思維活動需要借助外界的某種環(huán)境因素的剌激作用，所以在數學教學過程中，需要創(chuàng)設適當的問題情境，以啟動學生的思維機器，使學生在獲得知識的過程中，增進理解知識的來源、發(fā)展技能，提高解決實際問題的能力。作為聯系數學理論和實際問題的橋梁和紐帶的數學建模，恰為實現提高解決實際問題的能力提供了有效途徑。

二、數學建模在高職高等數學教學中應用堅持的原則

我們知道，數學模型就是用數學語言、方法表述實際問題，其目的是便于繼續(xù)用數學的手段對其進行分析、處理，以便獲得對實際問題更多的、不易觀察出的深層次信息，這種表述就是一個數學模型，其過程就是數學建模。多年來，在高等院校中數學建?；顒拥拈_展，為大學生數學知識的應用、提高創(chuàng)新能力找到了一條行之有效的途徑。然而，數學建模需要較扎實的數學功底和較寬泛的多學科知識，特別是數學建模競賽，并非每個大學生都有能力完成。伴隨著高等教育的大眾化，高職院校學生的數學能力弱化、學習自覺性差是每位數學教師都不可回避的現實，他們的高中基礎數學知識欠缺，更不具備用數學知識分析問題的意識和能力。因此，如何利用數學建模教學來提高學生解決實際問題的能力，是必須認真研究的高等數學教學方法。

首先，必須牢固樹立“有數學就有數學建模”的教學理念。如“歷史上影響人類生活的十大公式”之兩例：原始公式——1+1=2，勾股定理——A2+B2=C2。這就促使教師在教學過程中有意識地引導學生充分認識數學現象，提高教師在教學過程中培養(yǎng)學生分析問題的意識。

其次，要明確數學建模的教學目標。要利用一些較簡單的實際問題，強調分析過程，培養(yǎng)學生分析問題的能力。

第三，精選案例。毫無疑問，數學建模是高職學生不易掌握的學習內容。要結合學生的生活、專業(yè)特點，理論聯系實際，培養(yǎng)學生的數學建模興趣。

三、數學建模在學習高等數學基礎知識過程中的應用

數學本身就是為了實際應用才產生的，它的很多重大發(fā)現都是從實際問題的需要面出現的。很多高等數學概念的建立，都有其自身的數學模型，而數學模型又有其背景材料，教學中應展示其產生和發(fā)展的過程，培養(yǎng)解決問題的意識，把握解決問題的一般程序：

案例一：變速直線運動的瞬時速度——建立導數概念

（2）問題的分析：物體自由下落，經過時間，所經過的路程為

當時間由t0變到t0+△時，物體所經過的路程為

由式（2）-式（1）得物體在△時間內經過的路程

將式（3）兩端同除以，得物體在時間內的平均速度，即

（3）設變量、符號說明：△t——物體從t0時刻后的時間增量，△s——物體在△t時間內的路程增量平均速度，v（t0）——t0時刻的瞬時速度。

（4）建立數學模型：根據對問題的分析，t0時刻的瞬時速度可表示為數學式

（5）模型的求解：對（4）求出極限，得時刻的瞬時速度

在高等數學基礎知識的學習過程中，無不處處滲透著數學模型的思想。再如通過求曲邊梯形的面積來建立定積分的概念，用無限分割的思想，加強用“微元”分析方法建立積分模型的過程，使學生對非均勻積累問題的數學建模有一個深刻印象。即采用“分割→近似→求和→取極限”四個步驟建立所求量的積分模型，可簡記為

并用積分模型求不規(guī)則平面圖形的面積、空間圖形的體積、曲線弧長、液體壓力、變力作功等。

通過在學習高等數學基礎知識的過程中培養(yǎng)學生的數學建模思想，是從高職學生的基礎知識實際出發(fā)來培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的最基本途徑。

四、精選案例，開闊思路

以高等數學基礎知識為背景，選擇難度較低的實際問題，通過建立數學模型，直接對數學知識加以應用。

案例二：變化率模型——導數的應用

表示自變量每改變一個單位時，函數y的平均變化率；當△x→0時，若y可導，則為函數y=f（x）的瞬時變化率。

（1）問題的提出：在離水面高度為H的岸上，用繩子拉船靠岸。假設繩子的長度為L，船位于離岸S處，那么，當收繩速度V0保持不變時，船的速度V是否改變？

（2）問題的分析：水面高度為H、繩子的長度L、船位于離岸的距離S構成了直角三角形，由勾股定理得