運(yùn)用幾何畫板提效解題教學(xué)*——以動(dòng)態(tài)幾何題中重疊圖形面積的計(jì)算為例

☆謝登峰 唐劍嵐

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004）

運(yùn)用幾何畫板提效解題教學(xué)*——以動(dòng)態(tài)幾何題中重疊圖形面積的計(jì)算為例

☆謝登峰 唐劍嵐

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004）

動(dòng)態(tài)幾何題是中考的熱點(diǎn)題型，“動(dòng)”已成為中考眩目的亮點(diǎn)。但由于動(dòng)態(tài)幾何題的教學(xué)難度較大，學(xué)生往往十分畏懼解答這類題型，教師在教學(xué)解題思路時(shí)也受到限制。而幾何畫板具有數(shù)學(xué)視覺化和動(dòng)態(tài)化的功能，能夠提升此類問題的教學(xué)效果，有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和想象能力。本文以動(dòng)態(tài)幾何題中重疊圖形面積的計(jì)算為例，探討利用幾何畫板如何提升解題教學(xué)的效率。

幾何畫板；數(shù)學(xué)解題；動(dòng)態(tài)幾何題；重疊圖形

一、多元表征，效果涇渭分明

重疊圖形面積的計(jì)算問題，知識(shí)綜合性強(qiáng)，條件不明顯，結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜。采用傳統(tǒng)教學(xué)方式對(duì)此類問題條件的標(biāo)注和推理過程的呈現(xiàn)比較死板而滯后，且展示效果模糊，不利于反復(fù)呈現(xiàn)。而利用幾何畫板的標(biāo)注、動(dòng)畫、移動(dòng)、軌跡功能，不僅可以鮮明表征各種條件、結(jié)論，還可以動(dòng)態(tài)顯示各種數(shù)量關(guān)系，表征方式多樣，顯示效果突出。

例1：如圖1，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3 3，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。

（1）求∠CQP的度數(shù)；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的AB邊上；

（3）①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x取何值時(shí)，重疊部分的面積等于矩形面積的7/27。

女兒讀碩士班時(shí)，也同時(shí)走進(jìn)婚姻。她初為人母，我一手看護(hù)新生兒，讓她安心完成碩士論文的寫作。論文口試時(shí)，我推著嬰兒車陪考，一路照顧寶寶，論文答辯終于完美過關(guān)。她出書，廢寢忘食地趕工，受邀到法國(guó)各地參加書展，出席各種簽書促銷活動(dòng)，我都義不容辭地包攬了照顧幼兒的重任！

圖1　

此題涉及圖形的運(yùn)動(dòng)、軸對(duì)稱、直角三角形、二次函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)。解決此題的突破點(diǎn)是把軸對(duì)稱問題化歸為運(yùn)動(dòng)問題，難點(diǎn)是尋找Rt△QRP與矩形ABCD重疊部分圖形形狀變化的臨界點(diǎn)。根據(jù)題意，需要作出Rt△QCP的軸對(duì)稱圖形Rt△QRP。在傳統(tǒng)教學(xué)方式中，教師使用尺規(guī)作圖法，不僅耗費(fèi)時(shí)間，而且不便于展示Rt△QRP的多種可能性，為尋找圖形變化的臨界點(diǎn)，教師一般會(huì)頻繁提示，不斷重復(fù)，造成了課堂的低效。而使用幾何畫板，教師通過簡(jiǎn)單操作就可以動(dòng)態(tài)展示圖形臨界情況，并且通過屬性設(shè)置，還可以用顏色區(qū)分變化前后的圖形。使用多種表征方式刺激學(xué)生的視覺，增強(qiáng)了區(qū)分度，顯示效果更加形象生動(dòng)。

如圖2、圖3所示，根據(jù)題意構(gòu)造矩形ABCD，AB=9，AD=3 3。構(gòu)造線段CB邊上的動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn)P作PQ平行DB，雙擊PQ，作出點(diǎn)P關(guān)于PQ的反射點(diǎn)R，很便捷地作出Rt△QCP的軸對(duì)稱圖形Rt△QRP，拖動(dòng)點(diǎn)P，不同的位置形象地體現(xiàn)了折疊的各種可能性。

圖2　

圖3　

圖4　

學(xué)生能較直觀地看到圖形變化的分界點(diǎn)，從而促進(jìn)學(xué)生逆向思考分界點(diǎn)的位置，再通過計(jì)算可快速得出自變量的取值范圍為0＜x≤2 3和2 3＜x＜3 3。

相比傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖法的教學(xué)，使用幾何畫板能更容易地找到動(dòng)點(diǎn)P的臨界點(diǎn)，再通過度量此時(shí)線段CB的長(zhǎng)度，可以輕松估算出x的值，還可以通過設(shè)置臨界點(diǎn)前后圖形的不同顏色，使呈現(xiàn)的畫面效果涇渭分明。

二、“無”中生“有”，結(jié)論如影隨形

重疊圖形的面積計(jì)算問題涉及運(yùn)動(dòng)、軌跡、函數(shù)、最值、方程等較為抽象、復(fù)雜的概念，各概念間的關(guān)系也較為含蓄。傳統(tǒng)處理方法常常力不從心，而幾何畫板的合理應(yīng)用，能做到“無”中生“有”，直觀揭示隱含條件，并能使多元隱匿的關(guān)系直觀化、動(dòng)態(tài)化、明朗化，幫助學(xué)生全面地理解題意。

例2：如圖4所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，∠B= 60°。從初始時(shí)刻開始，點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒時(shí)，△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米。

（這里規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為O的三角形）解答下列問題：

（1）點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是幾秒？

（2）點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動(dòng)到停止的過程中，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)x的值是幾秒？

（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

本題涉及到圖形運(yùn)動(dòng)、面積重疊、直角三角形、相似三角形、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，包含動(dòng)點(diǎn)P、Q的相遇時(shí)間、等邊三角形出現(xiàn)的階段、分段函數(shù)的三種位置關(guān)系等結(jié)論。如果教師僅憑板書、尺規(guī)作圖等方法講解，在短時(shí)間內(nèi)難以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論。而使用幾何畫板可以輕松彌補(bǔ)以上短板。

如圖5、圖6、圖7、圖8所示，通過拖動(dòng)點(diǎn)Q，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知點(diǎn)P和Q隨著時(shí)間x的增加在C點(diǎn)相遇，從而易知時(shí)間相同，用點(diǎn)P的路程除以速度輕松算出時(shí)間為6秒；繪制點(diǎn)Q的軌跡，使點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡隨時(shí)顯現(xiàn)，從圖6、圖7的圖像中可以清晰發(fā)現(xiàn)重疊面積的變化經(jīng)歷了三個(gè)過程，自變量x的取值區(qū)間分別是0≤x≤3、3＜x＜6、6≤x≤9，并且面積y的函數(shù)解析式也是不同的。

如圖8，點(diǎn)Q在ABC運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以看到∠PAQ始終小于60°，只有當(dāng)6＜x≤9時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)角∠PAQ=90°的情況。形象的動(dòng)畫可以直指問題核心，幾何畫板讓畫面真正動(dòng)起來，避免了死板的作圖和分析，可以大大節(jié)省講授時(shí)間，學(xué)生也容易理解，大大地提高了課堂效率。

圖5　

圖6　

圖7　

圖8　

三、“動(dòng)”“靜”結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施后，數(shù)學(xué)的思想和方法成為了數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，必須創(chuàng)設(shè)思想方法教學(xué)的條件。利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)時(shí)，總會(huì)遇到較多困難，如作圖低效、畫面單調(diào)晦澀，不能激發(fā)學(xué)生的興趣等。而利用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)，不僅可以創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的環(huán)境（如數(shù)形結(jié)合），充分展示數(shù)學(xué)的思想與方法，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，把握數(shù)學(xué)的精髓，更容易讓學(xué)生感悟問題中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想［2］。

例3：如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°。點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)。已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG。設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）。

（1）△EFG的邊長(zhǎng)是____（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)G的位置在____；

（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求：

①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探求（2）中得到的函數(shù)y在x取何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值。

圖9　

圖10　

如圖10所示，拖動(dòng)點(diǎn)F，度量線段BE的長(zhǎng)度即自變量x的值，當(dāng)值是2cm時(shí)，從圖形上看出點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，通過推理計(jì)算得出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和一般到特殊的思想。通過動(dòng)畫演示，可以看出重疊部分圖形面積的變化，依次經(jīng)歷了等邊三角形→四邊形→30°角的直角三角形三個(gè)過程，逆向思考可以得出需要分三類情況討論，度量和計(jì)算驗(yàn)證可以得出自變量x的范圍分別是0＜x≤2、2＜x＜3、3≤x≤6三種情況，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)與變化的思想，分類討論的思想等。

如圖11，利用幾何畫板追蹤動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡功能，可以發(fā)現(xiàn)重疊部分面積是由小到大再變小，存在最大值，從坐標(biāo)系可以清晰看到當(dāng)自變量2＜x＜3時(shí)，有最大值。用兩個(gè)三角形面積之差表示重疊部分的四邊形的面積，列出二次函數(shù)，求出最值。此題體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)與變化的思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想等。

圖11　

此類題目蘊(yùn)含運(yùn)動(dòng)與變化的思想、一般到特殊的歸納思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想等。傳統(tǒng)的教學(xué)模式囿于作圖過程繁瑣、表現(xiàn)形式單一等因素的限制，難以吸引學(xué)生的注意力，反而成為學(xué)生形象思維發(fā)展到抽象思維的羈絆。而幾何畫板可以動(dòng)態(tài)演示變化過程，追蹤軌跡，展示靜態(tài)圖像，動(dòng)靜結(jié)合，相得益彰，學(xué)生更易于在數(shù)形結(jié)合中感悟豐富的數(shù)學(xué)思想。

總之，平面幾何圖形重疊圖形面積計(jì)算問題具有較多難點(diǎn)，恰當(dāng)應(yīng)用幾何畫板，不僅可以輕松突破這些難點(diǎn)，還可以促進(jìn)學(xué)生從元分析的視角理解和應(yīng)用有關(guān)知識(shí)解決問題［3］。另外，根據(jù)筆者多年教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生更喜歡使用幾何畫板這種有“科技含量”的課堂，更樂于參與這樣的教學(xué)活動(dòng)，所以，幾何畫板是高效課堂不可缺少的“利器”。

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*本文是2013年度廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2013JGZ113）、廣西教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃廣西普通高中課程改革專項(xiàng)課題（2013ZJJ048）的部分成果。

［編輯：陳鉞］

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1671-7503（2015）21-0057-03