列表法在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題建模中的應(yīng)用

李建東?趙風(fēng)云

本人通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)“列表法”是一種不錯(cuò)的分析應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的方法，列表法簡單明了，可以清楚地理清題目中的各種數(shù)量關(guān)系。 下面結(jié)合青島版八年級(jí)數(shù)學(xué)課本上冊80～81頁的兩個(gè)例題，談?wù)劇傲斜矸ā痹跀?shù)學(xué)應(yīng)用題建模中的運(yùn)用。 為了便于敘述，筆者給出以下定義。

定義1：在實(shí)際問題中往往出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的等量關(guān)系式，其中被選作列方程的等量關(guān)系式叫做基本等量關(guān)系式，其余的稱之為輔助等量關(guān)系式。

定義2：路程、銷售以及工程等問題，一般會(huì)涉及三個(gè)量，其關(guān)系式可以表示為的形式，如我們將路程=速度*時(shí)間；售價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；工作量=工作效率×工作時(shí)間稱為輔助公式。 輔助公式中知道其中任何兩個(gè)量，可以求第三個(gè)量。

例1：甲、乙兩地相距360千米，張老師和王老師分別乘坐早7時(shí)發(fā)出的普通客車和8時(shí)15分發(fā)出的豪華客車從甲地到乙地，恰好同時(shí)到達(dá)。 已知豪華客車與普通客車的平均速度比是4：3，求兩車的平均速度。

解析：本例是有關(guān)行程的問題，此類問題中有三個(gè)基本量：路程、速度和時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，在這三個(gè)基本量中，知其二可求其一。

本題中涉及兩種交通工具，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，可以制作4行5列表（行為類別和關(guān)系，列為三個(gè)基本量量和輔助公式），并把題目中有關(guān)的量填入表格。 如下：

速度關(guān)系 ∶ =4∶3 ①

時(shí)間關(guān)系 ②

路程關(guān)系 ③

根據(jù)以上三個(gè)等量關(guān)系可以用三種方法解決問題。

方法一：以②作為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)速度。

設(shè)普通客車的速度為 ，則豪華客車的速度為 ，代入②中得：

解之得 ，以下過程略。

方法二：以①作為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)時(shí)間。

設(shè)張老師所用時(shí)間為 ，則王老師所用時(shí)間為 ，代入①中得：

解之得 ，以下過程略。

方法三：以③作為基本等量關(guān)系，需要設(shè)速度和時(shí)間。

設(shè)張老師所用時(shí)間為 ，普通客車速度為 ，則豪華客車的速度為 ，王老師所用時(shí)間為 ，代入③得方程組：

解之得 ，以下過程略。

點(diǎn)評(píng)：目的并不在于求出問題的答案，而是通過本例讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“列表法”整理應(yīng)用問題的數(shù)據(jù)，分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，完成應(yīng)用題建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本例的三種解法實(shí)質(zhì)上也是我們教師通常所講的未知數(shù)的三種設(shè)法：直接設(shè)未知數(shù)、間接設(shè)未知數(shù)、設(shè)輔助未知數(shù)。

例2：陽光小區(qū)有A型和B型兩種住宅出售，A型與B型住宅每平方米的價(jià)格分別是全樓每平方米平均價(jià)格的1.1倍和0.9倍，而且A型比B型的面積少40平方米。如果A型與B型兩種住宅的售價(jià)分別是33萬元和36萬元，求全樓每平方米的平均價(jià)格。

解析：本例同樣有兩類組成，每類可以看作是有關(guān)單價(jià)、數(shù)量、售價(jià)的問題，基本關(guān)系式為：售價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，因此學(xué)生可列出如下表格并填寫已知數(shù)量。

每平方米價(jià)格關(guān)系 ①

面積關(guān)系 ②

售價(jià)關(guān)系 ③

方法一：以①作為基本等量關(guān)系，需設(shè)面積。

設(shè)A型住宅面積為 ，則B型住宅面積為 ，代入①中得：

以下過程略。

方法二：以②作為基本等量關(guān)系，需設(shè)每平方米的價(jià)格。

設(shè)全樓每平方米的價(jià)格為 元/平方米，A型住宅每平方米的價(jià)格為 元/平方米，B型住宅每平方米的價(jià)格為 元/平方米，代入②得：

以下過程略。

方法三：以③作為基本等量關(guān)系，需設(shè)面積和每平方米價(jià)格。

設(shè)A型住宅面積為 ，全樓每平方米的價(jià)格為 元/平方米，則B型住宅面積為 ，A型住宅每平方米的價(jià)格為 元/平方米，B型住宅每平方米的價(jià)格為 元/平方米，代入③得方程組：

以下過程略。

點(diǎn)評(píng)：綜合上述兩個(gè)例題的解題經(jīng)驗(yàn)，用“列表法”在解決基本數(shù)量關(guān)系為 型（如路程=速度×?xí)r間；售價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；工作量=工作效率×工作時(shí)間）的應(yīng)用題時(shí)，可以采用如下思路。

首先，確定題目的背景（路程問題、銷售問題、還是工程問題），它的基本關(guān)系是什么，也就是表中的輔助公式，明確輔助公式中有哪些基本量；

其次，根據(jù)題意列出表格，當(dāng)涉及兩種類型時(shí)，一般需要列4行5列表， 并把已知量填寫在表格內(nèi)的相應(yīng)位置；

再次，根據(jù)題意，結(jié)合表格寫出所有等量關(guān)系式。 如例1中根據(jù)普通客車與豪華客車在路程、速度與時(shí)間三方面的關(guān)系可以分別寫出三個(gè)等量關(guān)系式（路程的關(guān)系：①普通客車的行程=豪華客車的行程，速度的關(guān)系：②普通客車的速度：豪華客車的速度=3：4，時(shí)間的關(guān)系：③普通客車所用時(shí)間-豪華客車所用時(shí)間= 時(shí)）；

最后，確定使用哪個(gè)關(guān)系作為基本等量關(guān)系式，借助輔助等量關(guān)系式，設(shè)合適的未知數(shù)，把其他未知量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入基本等量關(guān)系式。

列出了方程，就完成了從“實(shí)際問題”到“數(shù)學(xué)問題”的建模過程，問題的求解就相對(duì)簡單了。 我們通過列表法使問題的數(shù)據(jù)清晰、條理，使問題的數(shù)量關(guān)系更加凸顯，也為尋求等量關(guān)系提供了方便，是解決此類建模問題的良策。