一類傳染病模型的動力學分析

李艷紅

（昆明理工大學城市學院，云南昆明 650051）

一類傳染病模型的動力學分析

李艷紅

（昆明理工大學城市學院，云南昆明 650051）

傳染病是危害人類身體健康的重要病癥之一，長期以來人類的生存和經(jīng)濟的發(fā)展都深受其害.通過閱讀相關文獻發(fā)現(xiàn)，目前對傳染病的研究基本是進行數(shù)據(jù)擬合來預測病情趨勢，卻很少考慮當時間變化時怎樣更好的控制傳染病.為了更接近現(xiàn)實醫(yī)學，本文首先建立了包含接種者和隔離者的SVEIQR模型，從而找到基本再生數(shù)，然后通過參數(shù)的設置和控制，達到控制并最終消除傳染病的目的.

傳染病；接種；隔離；基本再生數(shù)；穩(wěn)定性

1 引言

當傳染病具備傳染源、傳播途徑、易感人群等條件時,就會在人群中傳播,但會受到自然因素和社會因素的影響.目前醫(yī)學上較有效且常用的措施分別是隔離治療已患病者和預防（如接種疫苗）易感染者.因此找到一個最優(yōu)疫苗接種和隔離控制策略來阻止傳染病的蔓延具有十分重要的意義.

2 預備知識及相關理論

2.1 線性穩(wěn)定性

考慮具有常系數(shù)的線性系統(tǒng)

其中A=(aij)n×n是n階實矩陣，x∈!n

定理2.1(1)系統(tǒng)（2.1）具有穩(wěn)定的平凡解?矩陣A的特征值都具有負實部或零實部,且具有零實部的特征值僅僅對應矩陣A的簡單初等因子.

(2)系統(tǒng)（2.1）的平凡解是漸進穩(wěn)定的?矩陣A的所有特征值的實部均小于零.

(3)系統(tǒng)（2.1）的平凡解是不穩(wěn)定的?矩陣A存在具有正實部的特征值或存在對應于多重初等因子的零實部特征值.

2.2 線性系統(tǒng)的擾動理論

設非線性系統(tǒng)

考慮F對x的Jacobi矩陣

若它與t無關，則系統(tǒng)（2.2）可以寫成

其中f(t,x)∈C[I×in，in]，f(t,0)=0.

定理2.2設f(t,x)在[t0,+∞]×in上連續(xù)，關于x滿足Lipschitz條件，且對t一致有

則當A不存在零實部的特征值時，線性系統(tǒng)(2.3)與非線性系統(tǒng)（2.1）具有相同的穩(wěn)定性.

定理2.3設ζ是in中的有界閉集，從ζ內(nèi)出發(fā)的式（2.1）的解x(t)≡x(t;t0,x0)永遠停留在ζ中.若存在V(x)∈C1[ζ,i]使

設S是M內(nèi)的最大正向不變集，則有

特別的，若S={0}時，式（2.1）的平凡解是漸近穩(wěn)定的.

3 模型的建立

3.1 模型的建立

由于接種和隔離在傳染病控制中的作用越來越明顯，因此本文同時考慮了接種和隔離，建立了SVEIQR模型.模型如下：

其中參數(shù)如下：

S(t):t時刻易感者的數(shù)量p:預防接種率

V(t):t時刻接種者的數(shù)量ε:潛伏者向患病者的轉(zhuǎn)化率

E(t):t時刻潛伏者的數(shù)量ρ:疾病恢復率

I(t):t時刻患病者的數(shù)量d:自然死亡率

Q(t):t時刻隔離者的數(shù)量α:因病死亡率

R(t):t時刻恢復者的數(shù)量γ:接種者的免疫喪失率

A人口的常數(shù)輸入率δ:患病者的隔離率

從對限時訓練剩余題目處理情況的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，69.02%的學生面對限時訓練剩下的做錯題目想老師去解決，也看出了學生整體知識和能力還是不夠，雖然我們給出了詳細的解題過程，但是依然無法自己突破，也看出了課后小組成員的交流還不夠。

其中αβ(0≤σ≤1)表示接種者的傳染率系數(shù),當σ=0時意味著接種者對疾病完全免疫,當σ=1時意味著疫苗完全失效，不具有預防功能.為了更好的模擬實際情況，文中假設接種者具有部分免疫，即0<σ<1;易感者的傳染率為飽和型βN/(1+ωN).

3.2 模型的分析

再由（3.1）的第四、五、六個方程知

由（3.1）的第一、二個方程可知

因此（3.1）的全部解(S,V,E,I,Q,R)最終將趨向、進入或停留在區(qū)域

3.3 平衡點的存在性

因為模型（3.1）中的前四個方程不含變量Q和A,故考慮如下子系統(tǒng)

類似于前述可得區(qū)域

是系統(tǒng)（3.2）的正向不變集.我們以下的討論均在Ω0內(nèi).

當R0≤1時（3.2）僅有無病平衡點M0(S0,V0,E0,I0),其中

當R0≥1時（3.2）有兩個平衡點：無病平衡點M0和地方病平衡點M*(S*,V*,E*,I*),其中

且I*是方程F(I)=0的正根.

定理3.2若R0≤1,具有全局漸近穩(wěn)定的無病平衡點; 若R0>1,無病平衡點不穩(wěn)定,地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定.

4 模型的參數(shù)控制與主要結(jié)果

4.1 對系統(tǒng)（3.2）施加輸入控制

設輸入控制率為k，則模型變?yōu)?/p>

同前面可得

是系統(tǒng)（3.3）的正向不變集.

4.2 對系統(tǒng)（3.2）的易感者施加隔離控制

設隔離控制率為m,則模型變?yōu)?/p>

此時對應的正向不變集仍為Ω0.

定理3.4當

結(jié)果：要達到消除傳染病的目的，易感者的隔離控制率m要滿足

4.3 對系統(tǒng)（3.2）的傳染者施加隔離控制

設隔離控制率為n,則模型變?yōu)?/p>

結(jié)果：要達到消除傳染病的目的,傳染病的隔離控制率n要滿足

結(jié)論：本文通過對非線性傳染病的SVEIQR模型的全局分析,找到了決定系統(tǒng)在可行域內(nèi)動力學行為的重要指標——基本再生數(shù)R0,它可控制疾病流行與消除.當R0<1 時,新感染者數(shù)量下降,傳染病的傳播得到控制并最終消除; 當R0>1時,傳染病在種群中持續(xù)傳播蔓延并成為地方病.同時探討了通過一些控制措施使得基本再生數(shù)R0變小,例如控制人口的輸入、減少易感者或患病者的人數(shù)等,并且可知當參數(shù)滿足一定的條件時R0<1,從而使得疾病最終消除.

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1673-260X（2015）04-0003-03