基于二次B樣條的廣義差分法

秦丹丹， 馮 雪， 左 平

（空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長春 130022）

0 引 言

廣義差分法從微分方程的積分守恒形式出發(fā)，通過選取試探函數(shù)空間為有限元子空間，檢驗函數(shù)空間為相應(yīng)于對偶剖分的分段低次多項式函數(shù)空間來導(dǎo)出計算格式。文中介紹了基于二次B樣條的廣義差分法。B樣條函數(shù)具有很多優(yōu)良性質(zhì)，如:有明確的表達式，具有有限支集、對稱性和良好的光滑性等。因此，B樣條函數(shù)作為試探函數(shù)空間的基函數(shù)可以保證系數(shù)矩陣的對稱性、正定型和稀疏性。二次B樣條廣義差分法既保持了差分法的簡單性，又兼具有限元的精確性。

1 B樣條函數(shù)

m階B樣條函數(shù)Sm（x）[1]定義如下:

其中S1（x）為[0，1]上的特征函數(shù)。值得注意的是B樣條函數(shù)的卷積定義式有下面的等價形式[2]:

由以上定義式可以得到三階二次B樣條函數(shù)的表達式:

顯然，m階B樣條是分段m-1次多項式，且具有緊支集suppSm（x）=[0，m];此外，m階B樣條還具有如下性質(zhì):

1）Sm（x）是以 x=為對稱軸的單峰值山丘狀函數(shù);

B樣條性質(zhì)的證明詳見文獻[2-3]。

2 基于B樣條的廣義差分法

考慮二階常微分方程:

其中，p∈C（I），p≥0，f∈C（I），I=[a，b]。

對區(qū)間[a，b]進行均勻剖分，網(wǎng)格節(jié)點為a= x0＜x1＜…＜xn=b，且在區(qū)間[a，b]外分別擴充兩點:x-2，x-1和 xn+1，xn+2，相鄰節(jié)點間的距離記為h，記Ii=[xi-1，xi]。

構(gòu)造基函數(shù)

則函數(shù)組{φi（x）}為區(qū)間[a，b]上以{xi}為節(jié)點的二次樣條的一組基。

為方便處理邊值條件，將前兩個函數(shù)換成線性組合[4]:2φ-2（x），φ-1（x）-φ-2（x）。同時將最后兩個基函數(shù)換成:φn-2（x）-φn-1（x），2φn-1（x）。變換前后基函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)空間是等價的。改換后的基函數(shù)稱為變形的二次B樣條基函數(shù)，仍記為{φi（x）}。在左端點處滿足φ-2（x0）=1，φi（x0）=0（i≠-2），在右端點處滿足φn-1（xn）=1，φi（xn）=0（i≠n-1）。

試探函數(shù)空間Uh取為滿足邊值條件的二次B樣條有限元空間。由于文中考慮的是零邊值問題，所以任一uh∈Uh可以表示成

式中:ci——待定系數(shù);

uh——自由度為n，故試探函數(shù)空間的維數(shù)為n。

對偶剖分取為a=x0＜x1＜…＜xn=b，即對偶剖分與原剖分相同。檢驗函數(shù)空間Vh取為相應(yīng)于對偶剖分的分段常數(shù)函數(shù)空間。檢驗函數(shù)為:

可見，檢驗函數(shù)空間與試探函數(shù)空間維數(shù)相同。

因此，基于二次B樣條的廣義差分格式[5]為:求uh∈Uh，使得

進一步應(yīng)用分部積分公式，結(jié)合邊值條件就得到微分方程的積分守恒形式如下[6]，求uh∈Uh，使得

在網(wǎng)格節(jié)點處取值非零的導(dǎo)數(shù)有:

通過研究學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)二次B樣條廣義差分法有以下誤差估計[5，7-8]:

可以看出，二次B樣條廣義差分法不具有最佳L2收斂階。

3 數(shù)值算例

在已知二階常微分方程中，令a=0，b=1，p =0，f（x）=4π2sin（2πx）。此問題的精確解為u（x）=sin（2πx）。用uh（x）表示數(shù)值解，定義數(shù)值解在H1半模和L2模下的誤差:

誤差error1對應(yīng)的收斂階記為order1，誤差error2對應(yīng)的收斂階記為order2。用n表示求解區(qū)間的剖分數(shù)。應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件Matlab，得到誤差與收斂階數(shù)據(jù)見表1。

表1 誤差與收斂階

表中數(shù)據(jù)說明:隨著網(wǎng)格剖分的加密，數(shù)值解與精確解越來越接近。在H1半模和L2模下，二次B樣條廣義差分法均具有二階收斂精度。

4 結(jié) 語

當試探函數(shù)空間為Lagrange型二次元時，相應(yīng)于節(jié)點和半整節(jié)點存在兩組不同的基函數(shù)，而二次B樣條有限元空間只有相應(yīng)于節(jié)點的一組基函數(shù)，因此，兩種方法的系數(shù)矩陣階數(shù)之比約為2∶1。此外，B樣條有限元可以保證位函數(shù)的光滑性。但是，二次B樣條廣義差分法不具有最佳L2收斂階，這個缺點在一次和三次B樣條廣義差分法中可以得到避免。因此，在廣義差分法中，關(guān)于試探函數(shù)空間的選取仍然是至關(guān)重要的。

[1] 陳廣生.B樣條函數(shù)的一個性質(zhì)[J].廣西科學(xué)，2008，15（4）:381-382.

[2] 梁學(xué)章，李強.多元逼近[M].北京:國防工業(yè)出版社，2005.

[3] 孫家昶.樣條函數(shù)與計算幾何[M].北京:科學(xué)出版社，1982.

[4] 梁旭彪，簡柏敦，倪正光.B樣條有限元法[J].中國電機工程學(xué)報，1987，7（6）:9-20.

[5] LI Rong-hua，CHEN Zhong-ying，WU Wei.Generalized difference methods for differential equations [M].New York:Marcel Dekker Inc.，2000.

[6] 高廣花，王同科.兩點邊值問題基于三次樣條插值的高精度有限體積元方法[J].山東大學(xué)學(xué)報，2009，44（2）:45-51.

[7] CHEN Zhong-ying.Error estimates for generalized difference method[J].Acta Sci Natur Univ Sunyatseni，1994，33（4）:22-28.

[8] CHEN Zhong-ying，LI Rong-hua，ZHOU Ai-hui. A note on the optimal-estimate of the finite volume element method[J].Advances in Computational M athematics，2002，16（4）:291-303.