例談兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的困惑解析與算法建構

于正軍

新課程強調教師的教學應以學生的認知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗為基礎，這里所指的“學生的認知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗”理應是學生在學習過程中所凸顯出來的一種“認知現(xiàn)實”。即激發(fā)學生在學習過程中將已學的數(shù)學知識自然轉化為新知識學習的一種認知經(jīng)驗和學習能力，而不僅僅泛指學生已學的知識或已經(jīng)積累的學習經(jīng)驗，強調的是在學生“認知現(xiàn)實”背景下的一種知識經(jīng)驗的有效遷移和主動建構。筆者通過對蘇教版三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法教學中學生所呈現(xiàn)出來的困惑現(xiàn)象分析，旨在說明數(shù)學課堂教學理應遵循學生的認知現(xiàn)實，方能促進算法的自然建構和算理的深度理解。

一、 困惑呈現(xiàn)：下一步路在何方

一線教師在課堂上出示兩位數(shù)乘兩位數(shù)28×12的算式后，直接依據(jù)教材中的提示，機械地教給學生進行豎式計算的方法，學生在教師的帶領下輕松地完成了28×12豎式計算過程。此時教師自認為學生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，繼而順勢出示兩道練習題62×41和13×72，讓學生獨立練習。練習結束后，教師帶領學生進行集體交流時，學生的豎式書寫過程令教師驚詫不已，優(yōu)秀學生是“望而卻步”，中、下等生是瞎寫一通。仔細觀察學生的豎式書寫：

左題中“4×6”得“24”，學生不知道在豎式中如何書寫、“24”寫在哪兒。同樣，右題中“7×3”得“21”，學生也不清楚在豎式中的正確書寫位置，不知道是直接寫下“21”，還是寫“1”進“2”。學生在計算這兩道豎式時，其錯誤及困惑聚焦為：十位上的數(shù)乘下來，得數(shù)何時可以直接寫下來，何時需要向前一位進位？此時學生在筆算認知上已無法確定下一步路在何方。

二、 學情解析：忽視了學生的認知現(xiàn)實

兩位數(shù)乘兩位數(shù)對于學生來說，是計算學習過程中的一次新“跨越”。然而，由于教師在教學實踐中忽視了學生的計算現(xiàn)實，豎式計算書寫過程中兩次乘積的計算步驟和方法以及書寫格式未能成為學生有效探索筆算方法過程中所應理解的“數(shù)學概念”。這說明兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式書寫格式及其計算方法的建構未能源于學生的思維特點和認知水平，如此知識結構的形成不是基于學生認知現(xiàn)實而得以自然建構與生長，因而學生無法吸收與理解。

為什么當學生直接計算62×2和13×7時，學生能正確計算和規(guī)范書寫，而學到兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，反而把兩位數(shù)乘一位數(shù)的已有知識與計算技能遺忘了，是什么因素干擾了學生的思維？為什么已有知識經(jīng)驗不能促進新知識的形成與建立，反而阻礙了新知的生成與建構？

筆者以為，教師在教學實踐中忽視了學生的已有學習經(jīng)驗與認知現(xiàn)實，未能引領學生經(jīng)歷新知識的形成過程，未能從學生的認知現(xiàn)實出發(fā)，去體驗新知識的“來龍去脈”，去觸摸新知識形成的“源頭”，而是“照搬”教材，機械地把教材中的方法“灌輸”給學生。教材中直接呈現(xiàn)方法提示 ■，接下去怎樣算呢？這一過程直接呈現(xiàn)在學生面前，學生一定感到很突然、很迷茫，不知道“56”是哪兒來的，或無法理解為什么可以這樣得出“56”。如此告知，未能遵循兒童的認知經(jīng)驗和思維現(xiàn)實。沿著兒童的思維不難體會，只要將兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式■呈現(xiàn)在學生面前，無論是兒童的思維直覺，還是對豎式運算的直觀感覺，學生嘗試練習■一定會認為個位上8與2相乘，十位上2與1相乘，因為學生已經(jīng)積累了個位上數(shù)相加、減和十位上數(shù)相加、減的兩位數(shù)加減法運算經(jīng)驗。所以，教材中第一步呈現(xiàn)“56”，學生一下子無法理解“56”是怎么算出來的、為什么這么算，脫離了兒童的認知現(xiàn)實，斷裂了數(shù)學知識的前后聯(lián)系，忽視了知識的起源與發(fā)展。

回顧學生對兩位數(shù)乘法筆算的已有知識經(jīng)驗理應是兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法，應該引領學生從兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法筆算的經(jīng)驗與方法逐步向兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法筆算進行遷移與轉化，讓學生在兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎上逐步建構起兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法筆算的計算方法與書寫格式。在日常教學實踐中，教師如果未能從兒童的認知現(xiàn)實出發(fā)，而是機械地教教材，直接以告知的口吻告訴學先用2乘8，再用2乘2，然后用1乘8，再用1乘2，那么，中等偏下的學生就無法記住這樣的計算方法和運算順序，需要經(jīng)過幾節(jié)課的強化訓練，學生才可能記住。

而教材中是從口算的角度引導學生向筆算進行遷移。28×10=280，28×2=56，280+56=336。如此呈現(xiàn)不僅忽視了學生的認知現(xiàn)實，也脫離了知識間的應然聯(lián)系。因為這樣的口算方法本身并不符合兒童的認知現(xiàn)實和情感現(xiàn)實，在平時的教學中也未發(fā)現(xiàn)有如此口算方法的學生。首先，這一口算過程所支撐的計算算理涉及乘法分配律，此階段的學生思維還未觸及此規(guī)律，而且此運算律是小學階段學生最難以掌握與理解的運算規(guī)律，三年級學生的運算思維還未能達到如此抽象的思維水平。其次，從學生的情感上分析，學生總是希望在解決問題的過程中能找到簡單、直觀、明了的計算方法，但三步計算中同時伴隨著乘法進位與加法進位，這是計算過程中的復雜因素，也是學生在計算過程中容易出錯的因子。再次，口算與筆算的算理與算法所凸顯出來的運算思維不在同一思維水平上，因為筆算知識是在口算知識不能適應人在社會中的生存發(fā)展需要而自然產(chǎn)生的。即當人們在生活應用中不能直接通過口算得出結果時，新的一種計算方法——筆算即豎式計算便應運而生。因此，從口算算理向筆算方法進行遷移不符合新知識的形成結構和學生的認知特點，它對筆算計算方法不能自然形成有效的遷移與建構作用。因此，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算需要從兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法進行轉化，應該由“筆算引出新的筆算”，而不是由口算引出筆算。

三、 算法建構：由筆算走向新的筆算

想要讓學生能自然地掌握并理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算的方法及算理，教師須要從知識的“生長性”出發(fā)，以“兒童的方式”設計教學，引領學生這種經(jīng)歷知識“生長”的過程，遵循兒童的認知現(xiàn)實，順應兒童的思維方式。所以，教學時需要教師設計出如下“兒童化”的實踐探索，促使學生以兒童的認知方式吸納新知，內化新知。

1.出示■并設問：這是幾位數(shù)乘幾位數(shù)？

2.兩位數(shù)乘兩位數(shù)可以拆成幾個兩位數(shù)乘一位數(shù)的算式？

3.■你會拆成哪兩個兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式計算的算式？

4.由于學生已經(jīng)積累了兩位數(shù)乘一位數(shù)的經(jīng)驗，而且學生已經(jīng)形成了當兩位數(shù)乘一位數(shù)時，寫豎式總是把兩位數(shù)寫在上面，一位數(shù)寫在下面的計算技能，所以課堂上學生會很快把拆成這兩個豎式（觀察發(fā)現(xiàn)學生拆時有意把十位上的1還寫在十位上）。

5.學生分別算出這兩道兩位數(shù)乘一位數(shù)的結果：。這是學生已學的知識，所以無論是計算還是書寫，學生都能輕松完成。

6.引導學生思考：現(xiàn)在拆成進行計算，怎樣把它們的計算過程合并在的豎式計算的過程中呢？

7.學生嘗試豎式合并，大部分學生合并成這種形式。學生這種錯誤是符合學生計算現(xiàn)實的，這是學生在學習過程中真實的一面。

8.教師化學生的錯誤資源為有效教學資源：（1）“56“是怎么得到的？（2）“28”是怎么得到的？這里的“1”表示什么？所以28乘1個十實際上得到28個什么？（3）因此，“28”書寫時，應如何對齊數(shù)位？這樣設計教學，不僅讓學生經(jīng)歷了兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算方法的形成過程，也有效突破了學生的認知難點，不會出現(xiàn)前面的兩種困惑現(xiàn)象。

綜上所述，無論是教學內容的選擇，還是學習方法的運用，都必須貼近兒童實際、尊重兒童學習現(xiàn)實，這樣才能有效促進兒童體驗與探索、思考與理解，數(shù)學課堂才會由被動走向主動，由低效走向高效。

【責任編輯：陳國慶】