基于蘭徹斯特方程的防御作戰(zhàn)效能分析

叢紅日，吳福初，陳鄧安（海軍航空工程學院指揮系，山東煙臺264001）

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基于蘭徹斯特方程的防御作戰(zhàn)效能分析

叢紅日，吳福初，陳鄧安
（海軍航空工程學院指揮系，山東煙臺264001）

摘要：對防御作戰(zhàn)的重要意義、目的和基本方法進行了分析總結，在此基礎上，通過對蘭徹斯特方程的毀傷系數進行分解和細化，建立了體現防御的蘭徹斯特方程，給出了具體算例，并簡要分析了其對平局條件、交戰(zhàn)強度等方面的影響。

關鍵詞：蘭徹斯特方程；防御作戰(zhàn)；作戰(zhàn)模型；效能分析；毀傷系數；防御系數

防御作戰(zhàn)簡稱防御，是指抗擊敵方進攻的作戰(zhàn)，包括戰(zhàn)略、戰(zhàn)役和戰(zhàn)術范圍的防御，是作戰(zhàn)的基本類型之一[1]。防御作戰(zhàn)的主要目的與作戰(zhàn)效果是保存自己，消耗敵人。防御作戰(zhàn)包括3種基本方法：防止被發(fā)現并定位、機動防御和防止被毀傷。

由于防御是相對進攻而言的，防御的效果主要體現為對進攻效果的削弱程度，而且與進攻相比，專門用于防御的武器裝備相對較少，防御主要體現為作戰(zhàn)方法的有效運用，而武器裝備的使用在其中居于次要地位。因此，對防御作戰(zhàn)進行定量分析非常困難。

但在作戰(zhàn)過程中，防御作戰(zhàn)與進攻作戰(zhàn)同樣重要。要想對作戰(zhàn)問題進行定量分析研究，離開對防御作戰(zhàn)的定量分析研究不但是不全面、不完整的，而且在某種意義上來講，也是不可能的。因此，必須通過研究，找到一種對防御作戰(zhàn)進行定量分析研究的適當方法。本文以蘭徹斯特方程為基礎，提出一種對防御作戰(zhàn)進行定量分析研究的思路和方法。

1　蘭徹斯特方程及其重要意義

1.1蘭徹斯特方程的重要意義

1916年，英國人Lanchester提出了蘭徹斯特方程。該方程在作戰(zhàn)模型、作戰(zhàn)仿真、軍事運籌等領域得到了廣泛應用，成為了一種重要的基礎性工具[2]。

作戰(zhàn)是一種典型的對抗性的、此消彼長的動態(tài)過程[3-4]，而蘭徹斯特方程以微分方程的形式描述作戰(zhàn)過程，正確反映了作戰(zhàn)過程的本質。因此，盡管蘭徹斯特方程存在一些問題和不足，但仍然是以數學方法描述作戰(zhàn)過程的最好方法之一[5]。尤其是如何在蘭徹斯特方程中體現防御，是一個非常有意義的研究課題。

1.2經典蘭徹斯特方程

經典的單兵種蘭徹斯特方程為[2]：式（1）中：A、B分別是交戰(zhàn)甲、乙雙方的兵力數量；a、b分別是甲、乙雙方的毀傷系數。

多兵種蘭徹斯特方程為[2]：式（2）中：A、B分別是交戰(zhàn)甲、乙雙方的兵力向量；ΦA、ΦB均是非負矩陣，分別稱為交戰(zhàn)甲、乙雙方對對方的毀傷系數矩陣；ΨA、ΨB均是列和不超過1的非負矩陣，分別稱為交戰(zhàn)甲、乙雙方的火力分配矩陣；“*”算子為矩陣對應元素相乘。

1.3蘭徹斯特方程的缺陷

經過長期的研究和應用，蘭徹斯特方程的缺陷逐漸暴露出來。由于應用的背景和場合不同，蘭徹斯特方程的缺陷或局限性表現各不相同[6]。但從基本方面來講，無論是單兵種蘭徹斯特方程，還是多兵種蘭徹斯特方程，蘭徹斯特方程都是以毀傷系數來統(tǒng)一表示交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)能力，過于簡單，也過于籠統(tǒng)，難以反映作戰(zhàn)影響因素的多樣性，也難以反映作戰(zhàn)過程的復雜性[7]。

其中，在蘭徹斯特方程中，雖然毀傷系數中也蘊含了防御能力，但沒有顯式地表現出來，沒有正確反映防御在作戰(zhàn)中的重要地位。

2　體現防御的蘭徹斯特方程

2.1防御作戰(zhàn)能力的表示

從本質上講，防御作戰(zhàn)的效果最終都體現為降低敵方的毀傷效果。因此，防御作戰(zhàn)的作戰(zhàn)能力可用防御系數來表示，防御系數越大，對敵方以毀傷系數表示的毀傷能力的降低幅度越大，防御能力也就越強。

防御系數是實際作戰(zhàn)過程中防御能力（不包括抗擊能力）的綜合表示。影響防御系數大小的主要因素包括：指揮員的指揮水平、武器裝備水平、人員素質與訓練水平、戰(zhàn)場環(huán)境等，這其中既有客觀因素，如武器裝備水平、戰(zhàn)場環(huán)境等，又有主觀因素，如指揮員的指揮等；既有相對確定性的因素，如武器裝備水平等，又有偶然性因素，如戰(zhàn)場環(huán)境等。因此，防御系數本質上是一個變量。例如，同樣一支部隊，由不同的指揮員進行指揮，或者在不同的作戰(zhàn)環(huán)境中作戰(zhàn)，其防御能力可能會存在很大差異。但對于一次具體的作戰(zhàn)來講，雖然在作戰(zhàn)過程中防御能力也會發(fā)生變化，但通常變化不會太大，因此，可以近似地看做一個常量。至于防御系數的具體取值，則需要綜合分析對防御能力產生影響的各種因素，通過一定的評估方法（如層次分析法、專家評估法等）來獲得。

2.2體現防御的蘭徹斯特方程的一般形式

通過把防御系數引入蘭徹斯特方程，就可以在蘭徹斯特方程中顯式地體現防御作戰(zhàn)，通過把攻擊（體現為毀傷系數）和防御（體現為防御系數）進行區(qū)分，把防御的效果明確體現出來，從而有利于對作戰(zhàn)過程進行更精確的描述和研究。

具體方法是把傳統(tǒng)的蘭徹斯特方程中的毀傷系數進行分解、細化。為此，首先需要引入2個新概念。

定義1：基本防御條件。這是指只進行火力抗擊而不采取其他防御措施的防御條件。

定義2：理論毀傷系數。這是交戰(zhàn)雙方在基本防御條件下的毀傷系數。

由于防御的效果體現為削弱、降低敵方的毀傷效果。因此，式（3）中：DA、DB分別為交戰(zhàn)雙方的防御系數矩陣；ΦA0、ΦB0分別為交戰(zhàn)雙方的理論毀傷系數矩陣；“/”算子表示矩陣對應元素相除。

基本防御條件只是為了研究問題的方便而規(guī)定的一種特殊條件。在一些比較簡單的作戰(zhàn)中，如冷兵器時代的格斗、現代作戰(zhàn)中短兵相接的戰(zhàn)斗、對攻戰(zhàn)中的戰(zhàn)斗等，較符合基本防御條件。但是，在實際作戰(zhàn)中通常很難滿足基本防御條件，并不能否定規(guī)定的基本防御條件的合理性。

由定義可知，在基本防御條件下，DA=1，DB=1，即矩陣中各元素均為1，而在作戰(zhàn)中，交戰(zhàn)雙方通常都會采取各種防御措施，因此，DA≥1，DB≥1，即矩陣中各元素均大于等于1。也就是說，通過防御，能降低敵方的的毀傷能力，減小毀傷系數。

把上式代入多兵種蘭徹斯特方程，則：

ì

?d

ídtB0ABB，（4）

?dtA0BAA式中，“*”、“/”定義同前。

這就是體現防御的多兵種蘭徹斯特方程，也是體現防御的蘭徹斯特方程的一般形式。

2.3毀傷系數與防御能力系數的確定

在利用蘭徹斯特方程解決作戰(zhàn)問題的過程中，如何評估和確定毀傷系數是一個非常困難的問題，因為雖然己方的攻擊能力可以通過一定的方法來確定[8]，但敵方的防御能力對毀傷系數也有重要影響。相反，如果把毀傷系數進行分解，在規(guī)定的基本防御條件下，理論毀傷系數主要反映交戰(zhàn)雙方的攻擊能力，可以采取一定方法相對精確地進行評估[9]，而且所確定出的毀傷系數的含義也更加明確，更有利于利用蘭徹斯特方程來研究作戰(zhàn)問題。

至于防御能力系數DA、DB，則主要是對敵方防御能力的評估。雖然也很困難，但由于需要考慮的因素及其之間的相互關系已大大簡化，相對就比較簡單。至于如何來確定防御能力系數DA、DB，已經超出了本文的研究范圍，就不作更深入的研究和討論。

2.4算例

1）基本想定。為了簡化問題，這里以交戰(zhàn)雙方均為單兵種的情況為例進行分析。事實上，多兵種交戰(zhàn)的情況只是更加復雜，需要采用矩陣形式進行表示和計算，并無本質區(qū)別。

設：交戰(zhàn)甲、乙雙方的初始兵力數量分別為1 000個作戰(zhàn)單位和800個作戰(zhàn)單位，即

設：交戰(zhàn)甲、乙雙方的理論毀傷系數均為1，即在基本防御條件下，交戰(zhàn)雙方的每個作戰(zhàn)單位在單位時間內均能毀傷對方的1個作戰(zhàn)單位，即

至于防御能力，為了比較，設定2種典型情況。

情況1：交戰(zhàn)甲、乙雙方均只進行火力抗擊，不采取其他防御措施，即滿足基本防御條件，此時，根據定義，則

情況2：交戰(zhàn)甲、乙雙方的防御能力系數分別為1 和4，即

以上想定情況經整理后見表1。

表1　交戰(zhàn)情況想定Tab.1 Scenarios of operating instance

2）計算。把情況1的各個參數帶入式（4）進行求解，則當作戰(zhàn)至約2.2個單位時間時，乙方所有作戰(zhàn)單位均被消滅，而此時，甲方還剩下600個作戰(zhàn)單位的兵力，甲方獲勝。把情況2的各個參數帶入式（4）進行求解，則當作戰(zhàn)至約2.95個單位時間時，甲方所有作戰(zhàn)單位均被消滅，而此時，乙方還剩下約624個作戰(zhàn)單位的兵力，乙方獲勝。計算結果經整理后見表2。

表2　計算結果Tab.2 Calculation results

3）計算結果分析。計算結果表明，在其他情況完全相同的情況下，防御能力對交戰(zhàn)結果能產生決定性影響。在情況1時，由于交戰(zhàn)雙方的理論毀傷能力和防御能力均相同，甲方由于兵力數量的優(yōu)勢而獲勝；而在情況2時，乙方通過提高防御能力有效降低了對方對己方的實際毀傷能力，并最終取得了勝利。

本算例還說明，實力相對較弱的一方（通常為防御方，在本例中為乙方），只要能夠有效組織防御（防御的形式可以多種多樣，如陣地防御、機動防御等），就有可能戰(zhàn)勝對手，從而以弱勝強，古今中外戰(zhàn)爭史中的大量戰(zhàn)例都充分證明了這一點。當然，如何有效組織防御，這是對防御方防御能力（特別是指揮員的指揮能力）的極大考驗。

3　補充分析

3.1平局條件分析

對平局條件進行研究和討論是利用蘭徹斯特方程研究作戰(zhàn)問題的一種重要方法。當交戰(zhàn)雙方戰(zhàn)成平局時，反映了交戰(zhàn)雙方的實際作戰(zhàn)能力相當[2]。也就是說，可以通過對平局條件的研究來從總體上對交戰(zhàn)雙方的實際作戰(zhàn)能力進行研究。

針對單兵種蘭徹斯特方程的平局條件為[2]

如果采用體現防御的多兵種蘭徹斯特方程的形式，并使用相應參數的小寫來表示一個兵種的情況，則平局條件為

即

從上式就可以清楚地看出，以理論毀傷系數表示的攻擊能力和以防御系數表示的防御能力對作戰(zhàn)能力起著同等重要的作用，這從理論上證明了進攻與防御同樣重要。

3.2對交戰(zhàn)強度的影響

在多兵種作戰(zhàn)中，如何進行最優(yōu)火力（兵力）分配是一個重要的戰(zhàn)術問題[10]。在文獻[2]中，沙基昌通過分析給出了一個最優(yōu)策略，即：交戰(zhàn)雙方都應選擇交戰(zhàn)強度最大的對手作為首選作戰(zhàn)對象。

交戰(zhàn)強度是指交戰(zhàn)時我對敵毀傷系數與敵對我毀傷系數乘積的幾何平均值。

使用相應參數的小寫來表示多兵種交戰(zhàn)中一個兵種的情況，用j表示交戰(zhàn)強度，則

顯然，交戰(zhàn)雙方以防御系數表示的防御能力和以理論毀傷系數表示的攻擊能力對交戰(zhàn)強度具有同等重要的影響。防御能力越低，則交戰(zhàn)強度越大。因此，根據最優(yōu)策略，在其他條件相同或相當的情況下，應選擇防御能力較低的對手作為首選作戰(zhàn)對象。

4　結語

本文對防御作戰(zhàn)的基本方法和作戰(zhàn)效果進行了分析總結，在此基礎上，通過對蘭徹斯特方程的毀傷系數進行分解和細化，建立了體現防御的蘭徹斯特方程，并進行了簡要分析，為使用蘭徹斯特方程研究作戰(zhàn)問題提出了一種新的思路和方法，但對于如何確定防御系數等問題沒有深入進行探討，有待在以后的研究中加以完善。

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CONG Hong-ri, WU Fu-chu, CHEN Deng-an
（Department of Command, NAAU,antai Shandong 264001, China）

Abstrraacctt:: The significance, purpose and basic methods of defense operation were analzed, on this base, bdecomposing the destroing coefficient of Lanchester equation, the Lanchester equation containing defense was set up, and the calculat?ing eample was offered. In the end, its influences on dogfall condition and operating intensitwere analzed briefl.

作者簡介：叢紅日（1966-），男，副教授，博士。

收稿日期：2014-10-16；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.021

文章編號：1673-1522（2015）02-0187-04

文獻標志碼：A

中圖分類號：E843

修回日期：2015-01-06