Wilkinson定理擾動界的改進估計

劉丹，李彪（海軍航空工程學院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

?

Wilkinson定理擾動界的改進估計

劉丹，李彪
（海軍航空工程學院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

摘要：Wilkinson定理是代數(shù)特征值問題中的一個經(jīng)典定理，文章給出了Wilkinson定理的結(jié)果中關(guān)于擾動矩陣上界的另一種估計形式，并指出該形式對Wilkinson定理具有一定的改進。

關(guān)鍵詞：Wilkinson定理；ill-posed問題；條件數(shù)；Schur分解

特征值問題既是一個理論上非常有意義的問題，同時又有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。Wilkinson定理是代數(shù)特征值問題中的一個經(jīng)典定理，在研究矩陣特征值的敏度等問題時，如矩陣特征值的條件數(shù)和矩陣到相應(yīng)的ill-posed集[3]之間距離的關(guān)系，它是非常重要的理論工具。1972年，J.H.Wilkinson在其論文[1]中證明了下述定理。

定理1：設(shè)矩陣A∈?n×n，且A=λ，HA=λH，其中,∈?n且≠0，≠0。假設(shè)λ是矩陣A的一個單特征值，則λ的（絕對）條件數(shù)[3]是，如果C(λ)>1，則存在矩陣E∈?n×n使

得λ是矩陣A+E的一個重特征值，且

如果矩陣有重特征值，那么稱該矩陣關(guān)于特征值問題是病態(tài)的（ill-posed）[4]。

不難發(fā)現(xiàn)，Wilkinson定理實際上給出了一個矩陣A到其對應(yīng)的ill-posed集之間距離的一個簡單上界，這一結(jié)論也成為該類問題后續(xù)研究工作中的一個基礎(chǔ)工具。1987年，J.W.Demmel在論文[5]中，將上述結(jié)果推廣到了其他幾類問題中，如矩陣逆問題、特征值和特征向量的計算問題、多項式求零點及線性控制系統(tǒng)的極點配置問題[6]中。值得注意的是，J.H.Wilkinson在其隨后發(fā)表的幾篇論文中特別指出，當時取得的關(guān)于特征值問題上下界的估計仍存在一定的不足，建議研究一種新的數(shù)值方法。本文借助矩陣Schur分解的方法，研究并給出關(guān)于Wilkinson定理中擾動矩陣上界的一種改進的估計形式。

1　預備知識

定義1[7]：若矩陣A∈?n×n，且λ是其特征值，則滿足A=λ的向量稱為A與特征值λ對應(yīng)的右特征向量，而滿足HA=λH的向量稱為A與特征值λ對應(yīng)的左特征向量。

定義2[7]：稱A的特征值λ具有代數(shù)多重度μ，若λ是特征多項式det(A-λI)=0的μ重根。若特征值λ的代數(shù)多重度為1，則稱該特征值為單特征值，非單的特征值稱為多重特征值。

定理2[8]：（Schur分解）若矩陣A∈?n×n，那么一定存在酉矩陣Q和上三角矩陣R，使得A=QRQH。

2　主要結(jié)果

首先證明以下2個引理。

引理1：設(shè)矩陣A∈?n×n，那么λ是矩陣A的一個重特征值，當且僅當存在非零向量,∈?n，使得A=λ，HA=λH，H=0。

由引理1，可進一步地證明引理2。

引理2：若存在矩陣E∈?n×n，使得λ是矩陣A+E的一個重特征值，則，其中非零向量,∈?n，且與H分別為矩陣A的對應(yīng)于特征值λ的右和左特征向量。

證明：考慮矩陣E∈?n×n使得(A+E )=λ，H(A+E)=λH，H=0，對于非零向量,∈?n成立。

證畢。

假設(shè)λ?λ(A2)，則由文獻[8]知，的條件數(shù)是λ和A2的分離度的倒數(shù)，即，且。

這樣，就得到了下述定理。

定理3：若C(λ)>1，則存在矩陣E∈?n×n，使得λ是矩陣A+E的一個重特征值，且

上式說明，存在矩陣E∈?n×n，使得λ是矩陣A+E的一個重特征值，且

由矩陣A的Schur分解知，從而||E||2≤sepF(λ;A2)。

證畢。

定理表明，sepF(λ;A2)也是矩陣A到對應(yīng)的illposed集之間距離的一個上界。

3結(jié)論

綜上所述，設(shè)矩陣A∈?n×n有如下Schur分解，其中Q∈?n×n為酉陣。取，此時

參考文獻：

[1]孫繼廣.矩陣擾動分析[M].北京：科學出版社，2001：242-243. SUN JIGUANG. Matriperturbation analsis[M]. Beijing：Science Press，2001：242-243.（in Chinese）

[2]G.H.戈盧布，C.F.范洛恩.矩陣計算[M].袁亞湘，譯. 3版.北京：科學出版社，2001：370-371. GENE H GOLUB，CHARLES F VANLOAN. Matricalculation[M].UANAIANG，Translated. 3rd ed. Beijing：Science Press，2001：370-371.（in Chinese）

[3]WILKINSON J H. Note on matrices with a verill-conditioned eigenproblem[J]. Numerical Mathematik，1972，19：176-178.

[4]威爾金森J H.代數(shù)特征值問題[M].北京：科學出版社，2001：87-89. WILKINSON J H. The algebraic eigenvalue problem[M]. Beijing：Science Press，2001：87-89.（in Chinese）

[5]DEMMEL J W. On condition numbers and the distance to the nearest ill-posed problem[J]. Numerical Mathematik，1987，51：251-289.

[6]韓會磊，呂濤.基于矩量分析的極點配置問題新算法[J].四川大學學報：自然科學版，2008，45（2）：245-246. HAN HUILEI，LV TAO. A new algorithm for pole assignment based on the moment analsis[J]. Journal of Sichuan Universit：Natural Science Edition，2008，45（2）：245-246.（in Chinese）

[7]張賢達.矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學出版社，2004：458. ZHANGIANDA. Matrianalsis and applications[M]. Beijing：Tsinghua UniversitPress，2004：458.（in Chinese）

[8]劉新國.數(shù)值代數(shù)基礎(chǔ)[M].青島：青島海洋大學出版社，1996：71-72. LIUINGUO. Fundamentals of numerical algebra[M]. Qingdao：Qingdao Ocean UniversitPress，1996：71-72. （in Chinese）

Reforming Estimation of the Perturbation Bound in Wilkinson Theorem

LIU Dan, LI Biao
（Department of Basic Sciences, NAAU,antai Shandong 264001, China）

Abstrraacctt:: Wilkinson theorem is a classical theorem in the problem of algebraic eigenvalue . In this paper, a new form of es?timation of the perturbation bound in Wilkinson theorem was given, and that it was a reforming result was proved.

作者簡介：劉丹（1982-），女，講師，碩士。

收稿日期：2014-08-10；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.01.020

文章編號：1673-1522（2015）02-0184-03

文獻標志碼：A

中圖分類號：O241.1

修回日期：2015-01-05

特征值的基本問題可以陳述為：給定一個n×n維矩陣A，確定λ的值，使得線性代數(shù)方程A=λ具有n×1非零解。這樣的λ稱為矩陣A的特征值，向量稱為與λ對應(yīng)的特征向量。