數(shù)量關(guān)系：小學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的蹊徑

周琦

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)量關(guān)系”是指在同一類數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出的規(guī)律性的揭示數(shù)量間的本質(zhì)關(guān)系。數(shù)量關(guān)系具有高度的抽象性和廣泛的適用性，它是從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)總結(jié)提煉出來的，同時(shí)又能普遍應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問題的解決，在解決實(shí)際問題中具有重要意義。學(xué)生對數(shù)量關(guān)系運(yùn)用水平的強(qiáng)弱在某種程度上顯示著其數(shù)學(xué)水平的高低，數(shù)量關(guān)系是幫助他們快速有效地解決數(shù)學(xué)問題的指南針，為他們指明方向，提供方法支持。我們要把數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用教學(xué)當(dāng)作小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)，注重?cái)?shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解與運(yùn)用，彰顯數(shù)量關(guān)系的育人價(jià)值。

一、感悟價(jià)值，重視數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的價(jià)值不言而喻，它有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型，提高解題能力。數(shù)學(xué)問題一般將數(shù)量關(guān)系融入有關(guān)情境，而數(shù)量關(guān)系的剖析是尋求問題答案的關(guān)鍵因素，我們要在平時(shí)教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生在問題的解決中感悟價(jià)值，重視數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建，發(fā)揮數(shù)量關(guān)系的功效。

例如，在教學(xué)蘇教版教學(xué)四年級上冊第二單元《兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)》中的例4時(shí)，我在情境中出示了例題：“圖書室的兩個(gè)書架一共放了224本書，每個(gè)書架各有4層，平均每個(gè)書架每層放了多少本書？”我讓學(xué)生分小組探討數(shù)量關(guān)系，合作解決問題。在巡視過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生有這樣三種解答方法：（1）4×2=8（層），224÷8=28（本）;（2）224÷2=112（本），112÷4=28（本）;（3）224÷4=56（本），56÷2=28（本）。前面兩種方法是正確的，可第三種解答方法明顯是錯(cuò)誤的，雖然得數(shù)是對的，可是在數(shù)量關(guān)系上是說不通的，是顯然沒有道理的，看來還有少部分學(xué)生沒有能夠正確梳理出數(shù)量關(guān)系。于是，我就調(diào)整教學(xué)中心，把分析、梳理數(shù)量關(guān)系作為重點(diǎn)。我首先邀請個(gè)別小組代表展示匯報(bào)解題思路，在交流中我引導(dǎo)學(xué)生：“找出題目中有聯(lián)系的兩個(gè)條件，根據(jù)這兩個(gè)有聯(lián)系的條件可以先算什么？”然后要求歸納概括出它們之間的數(shù)量關(guān)系。在討論第三種算法時(shí)，我讓用這種方法列式解答的學(xué)生代表回答：“224÷4中的兩個(gè)數(shù)量各表示什么？兩者之間有聯(lián)系嗎？可以相除嗎？”“224表示兩個(gè)書架中所放書的總本數(shù)，4表示一個(gè)書架有4層，而不是代表兩個(gè)書架總共有4層，所以224和4之間沒有聯(lián)系。”看到那個(gè)做錯(cuò)的學(xué)生一時(shí)沒有想通，另一個(gè)反應(yīng)靈敏的學(xué)生幫忙解了圍?！澳愕幕卮鹫姘?，在解決問題中，我們首先要找出有聯(lián)系的兩個(gè)條件，根據(jù)有聯(lián)系的兩個(gè)條件確定先算什么，搞清楚它們之間是哪種運(yùn)算關(guān)系?！蔽疫m時(shí)總結(jié)，“我們只有科學(xué)理清數(shù)量關(guān)系，方能正確解決問題?！?/p>

通過詳細(xì)的探討分析，學(xué)生們深深懂得數(shù)量關(guān)系的重要性，感知領(lǐng)悟到合理的數(shù)量關(guān)系在解決實(shí)際問題中的價(jià)值，正確數(shù)量關(guān)系的指引，能夠讓我們有效地找到正確的解答方法。

二、建構(gòu)方法，研煉數(shù)量關(guān)系

高爾基說過：“學(xué)習(xí)并不等于就是模仿某些東西，而是掌握技巧和方法?！蔽覀兊年P(guān)鍵任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會科學(xué)的方法，在解決問題的過程中清晰地研究提煉數(shù)量關(guān)系，在頭腦中形成一定的有效確立數(shù)量關(guān)系的策略。

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊第三單元《常見的數(shù)量關(guān)系》一課時(shí)，為了讓學(xué)生循序漸進(jìn)，我首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧生活中的常見問題，讓他們口頭列式，讓他們感受到數(shù)量關(guān)系廣泛存在于日常生活中，數(shù)量關(guān)系有助于我們分析、解決問題。接著出示了例2情境圖，讓學(xué)生觀察并從情境圖中收集相關(guān)數(shù)學(xué)信息。有些學(xué)生將圖中的無關(guān)信息也找了出來，我沒有反對，將他們發(fā)現(xiàn)的每一個(gè)信息都一一板書出來。接下來，我引導(dǎo)學(xué)生從眾多的信息中提取與問題有關(guān)的數(shù)學(xué)信息，學(xué)生很快排除了無關(guān)信息，找到有效數(shù)學(xué)信息：“鋼筆每支12元，練習(xí)本每本3元;要買4支鋼筆和5本練習(xí)本?！比缓笪易寣W(xué)生在這些有用信息中尋找有聯(lián)系的兩個(gè)信息，將具體數(shù)量轉(zhuǎn)化為抽象為“單價(jià)”“數(shù)量”“總價(jià)”概念，使學(xué)生知道“購買單件物品所用的錢叫作單價(jià)”“購買全部物品所需的錢就是總價(jià)”。在學(xué)生認(rèn)識理解了基本概念后組織探討它們之間的運(yùn)算關(guān)系，構(gòu)建常見數(shù)量關(guān)系。學(xué)生依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和原有知識基礎(chǔ)，概括出：“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)”“總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”三種數(shù)量關(guān)系。有了清晰的數(shù)量關(guān)系，在接下去的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系快速求出其中任意一個(gè)數(shù)量，便捷解決有關(guān)單價(jià)、總價(jià)之類的實(shí)際問題。

數(shù)量關(guān)系的提煉就如一個(gè)抽絲剝繭的過程，要有耐心和細(xì)心，從紛繁的情境內(nèi)容中探尋有效信息，透過表象看本質(zhì)，去粗取精，去偽存真，方能撥開云霧見青天。

三、靈活運(yùn)用，累積數(shù)量關(guān)系

“重復(fù)是學(xué)習(xí)之母?！钡腋乖缡钦f。數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用教學(xué)必須在反復(fù)實(shí)踐中運(yùn)用、累積，為靈活解決各種基本乃至復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題積淀知識基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn)，拓寬數(shù)學(xué)思維，提高綜合運(yùn)用水平，提升解決問題的能力。

我們要在每一次教學(xué)中潛移默化地滲透數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，把學(xué)生的每一次練習(xí)當(dāng)作有意義的實(shí)踐應(yīng)用，在實(shí)踐中有意識地歸納積累各種常見的基本數(shù)量關(guān)系。如在教學(xué)中抽象概括出的“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”“速度×?xí)r間=路程”等基本數(shù)量關(guān)系具有較高應(yīng)用價(jià)值，我們可以利用這些積累的基本數(shù)量關(guān)系稍作變化，舉一反三，變化出更多的數(shù)量關(guān)系，產(chǎn)生滾雪球效應(yīng)。在各類解決問題的策略的教學(xué)中，我們都可以將列表、畫圖、從條件想起等策略與數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用相結(jié)合，讓兩者共同聯(lián)合為解決問題服務(wù)，在此過程中靈活運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，豐富數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵。例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊《列表的策略》一課時(shí)，我在指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題選擇條件并用列表的方法整理?xiàng)l件后，為了凸顯用表格整理數(shù)據(jù)清楚直觀、便于分析的優(yōu)點(diǎn)，我引領(lǐng)學(xué)生依托表格分析數(shù)量關(guān)系，確定可以先算什么。學(xué)生一目了然地發(fā)現(xiàn)依據(jù)表中對應(yīng)的“桃樹3行，每行7棵”可以用“每行的棵數(shù)×行數(shù)”計(jì)算出桃樹的總棵數(shù)，根據(jù)“梨樹4行，每行5棵”可以計(jì)算出梨樹的總棵數(shù)。在此，我又有意引導(dǎo)學(xué)生概括出“每行的棵數(shù)×行數(shù)=總棵數(shù)”這一基本數(shù)量關(guān)系式。

數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不是一朝一夕的事，我們要在平時(shí)的教學(xué)中不失時(shí)機(jī)地滲透數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用教學(xué)，給學(xué)生創(chuàng)造靈活運(yùn)用的機(jī)會，積累基本數(shù)量關(guān)系，為形成解決問題的模型奠定基礎(chǔ)。

“數(shù)量關(guān)系”占據(jù)了數(shù)學(xué)研究總內(nèi)容的“半壁江山”，我們要重視數(shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，讓學(xué)生在充分感悟數(shù)量關(guān)系的價(jià)值中研煉方法、靈活運(yùn)用，不斷豐富解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提升解決問題的能力。