工科線性代數(shù)課程教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)

閆麗

摘 要：線性代數(shù)是工科數(shù)學(xué)的一門主要課程，但它作為一門獨(dú)立課程教學(xué)的歷史并不長(zhǎng)，需要調(diào)整、完善的地方還很多。

關(guān)鍵詞：工科線性代數(shù)；課程內(nèi)容；體系；定義

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）19-013-02

線性代數(shù)是工科高等院校各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，但線性代數(shù)作為一門獨(dú)立課程教學(xué)的歷史并不長(zhǎng)，20世紀(jì)80年代中后期，一些大學(xué)才把線性代數(shù)作為工程數(shù)學(xué)的一門獨(dú)立課程。近年來，一方面由于線性代數(shù)在信息工程、工程計(jì)算中的大量使用；另一方面隨著素質(zhì)教育的全面開展，線性代數(shù)成為對(duì)大學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法教育的一種手段，人們對(duì)線性代數(shù)越來越重視，對(duì)線性代數(shù)一些傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)概念（定義）、授課方式的探索、調(diào)整和完善不斷深入。筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談一些線性代數(shù)課程的教學(xué)體會(huì)。

1、目前，國(guó)內(nèi)較多的工科線性代數(shù)教材內(nèi)容安排是：行列式 矩陣 n維向量及向量空間 線性方程組 特征值與特征向量（相似、對(duì)角化） 二次型。也有少數(shù)一些教材內(nèi)容安排是：線性方程組的消元解法 矩陣 行列式（含矩陣的秩、逆矩陣等） n維向量與方程組解的結(jié)構(gòu) 特征值與特征向量（相似、對(duì)角化） 二次型。第二種內(nèi)容安排，考慮主要到矩陣是貫穿線性代數(shù)的主要內(nèi)容，行列式的經(jīng)典定義對(duì)初學(xué)者又較難接受，所以先講矩陣，后講行列式，但因傳統(tǒng)的矩陣的秩等定義和定理，又是由行列式來定義或證明的，故矩陣的秩、逆矩陣等仍放在行列式后面講授，這樣一來，矩陣的內(nèi)容，就被行列式的內(nèi)容割裂開來，使得本來就以“塊”與“塊”拼接的、松散的課程結(jié)構(gòu)變得更加缺乏內(nèi)在統(tǒng)一性，易使學(xué)生產(chǎn)生混亂，所以筆者傾向于第一種教材內(nèi)容安排。

2、毋庸置疑，具有較強(qiáng)抽象性與邏輯性是線性代數(shù)的課程特色；線性空間與線性變換是線性代數(shù)學(xué)科的基本理論核心，線性空間與線性變換內(nèi)容的教學(xué)有利于對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，可實(shí)際情況是，大學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，由于他們的相關(guān)預(yù)備知識(shí)不足；還不具備在抽象化過程中的批判眼光以及對(duì)事物的共同特征加以一般化和統(tǒng)一化的演繹能力；特別是線性代數(shù)這種形式化理論帶來的統(tǒng)一化、一般化和簡(jiǎn)單化的好處，他們還不能理解，因此在學(xué)習(xí)過程中普遍感到難度較大，如果這時(shí)一味地強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)的課程特色，以線性空間與線性變換為課程主線，勢(shì)必會(huì)加大學(xué)生學(xué)習(xí)難度，甚至使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，筆者認(rèn)為線性代數(shù)教學(xué)突出矩陣?yán)碚摷捌溥\(yùn)算這條主線更適合工科學(xué)生的實(shí)際情況和專業(yè)需求，更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而學(xué)生的抽象思維能力和數(shù)學(xué)思想也可以通過這樣的過程得到培養(yǎng)。我們現(xiàn)行的一些教材和教學(xué)也是這樣做的。

3、經(jīng)典的行列式的定義利用了逆序數(shù)，其優(yōu)點(diǎn)是具體，而且由此證明行列式的性質(zhì)也不難，但在教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)逆序數(shù)的概念都不那么容易搞明白，行列式的定義就更難接受了。筆者比較傾向于用歸納法定義行列式，即：

當(dāng) 時(shí)， ；

當(dāng) 時(shí)，

；

當(dāng) 時(shí)，

，

其中 是 的代數(shù)余子式。

顯然，和行列式的經(jīng)典定義相比，這樣定義的行列式學(xué)生更容易接受和掌握。利用此定義及定理：行列式與展開的行（列）無關(guān)（李懋和等編著的《線性代數(shù)》（兵器工業(yè)出版社，2004）對(duì)此定理進(jìn)行了證明），證明行列式的性質(zhì)也不難。當(dāng)然，如果行列式的性質(zhì)不用證明，這樣的行列式定義就更簡(jiǎn)單了。

4、借助行列式所定義的矩陣的秩，也是讓學(xué)生接受起來感到困難的概念，并且這種定義主要用于某些定理及其推論的證明，而求矩陣的秩通常并不用定義而是用矩陣的初等變換。如果利用與矩陣等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)形中1的個(gè)數(shù)來定義矩陣的秩，問題就變得簡(jiǎn)單多了，學(xué)生也易于掌握。當(dāng)然，這里需要證明一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，運(yùn)用反證法和分塊矩陣的知識(shí)，即可得到證明。以下給出證明過程：

價(jià)于 ，但由 的上面表示式知 至少有一列為零，矛盾。故 ，推出 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形唯一。

5、長(zhǎng)期以來，我國(guó)線性代數(shù)教材絕大多數(shù)屬于傳統(tǒng)“塊”狀體系，行列式、矩陣、線性方程組解的存在性、解的結(jié)構(gòu)，向量組的線性相關(guān)與無關(guān)，二次型、特征值等等，擺放在學(xué)生面前的每一“塊”，都是一個(gè)新的開始，需要學(xué)生從頭認(rèn)識(shí)，熟悉起來，特別是每一“塊”在描述它的對(duì)象時(shí)往往要使用幾種語(yǔ)言和若干不同記法，而在這些語(yǔ)言和記法之間存在著不同思維模式的轉(zhuǎn)換，無疑這些都是導(dǎo)致學(xué)生感到困難的重要因素，因此，在進(jìn)行每一“塊”教學(xué)時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x擇好切入點(diǎn)，直接關(guān)系到教學(xué)的效果，如行列式可以以二元線性方程組為切入點(diǎn)；幾何向量是線性空間的極好模型，從2維、3維幾何空間開始（強(qiáng)調(diào)其有關(guān)運(yùn)算的性質(zhì)），再到 維向量空間；矩陣及其初等變換是從用消元法解線性方程組過程中抽取出來的，由這些學(xué)生們熟悉的模型，而引入或展開新的知識(shí)，會(huì)讓學(xué)生比較容易接受。

目前，工科院校線性代數(shù)課程教學(xué)還存在著許多需要提高和完善的地方，制訂一種以公理化為基礎(chǔ)，使大學(xué)生較為容易接受的線性代數(shù)課程體系和教學(xué)方法，是我們每位任課教師的共同責(zé)任。

參考文獻(xiàn)：

[1] 游 宏.關(guān)于工科線性代數(shù)課程教學(xué)的幾點(diǎn)思考。大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇論文集，2009.