兩類四階非線性微分方程的解法

賈艷萍，李錄蘋

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

兩類四階非線性微分方程的解法

賈艷萍，李錄蘋

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

應(yīng)用變量變換方法,求解兩類可化為一階可積類型的四階非線性微分方程,擴大了變量變換方法的使用范圍。

變量變換;微分方程;通解

常微分方程的解法[1-5]眾多，變量變換是求解常微分方程的常用技巧。它將方程的原變量用新的變量替換，使得原方程變?yōu)橄鄬σ浊蠼獾念愋汀１疚膶⑼ㄟ^變量變換求解兩類四階非線性微分方程。

定理1四階微分方程

通過變量替換可求出通解，其中a1，a2為常量，p，f是連續(xù)函數(shù)。

證明原方程可變形為

則（2）式轉(zhuǎn)化為

此為齊次方程[5]，作變換u=vx，則（3）可轉(zhuǎn)化為變量分離方程[5]

可得（4）的通解為v=v(x,c1)，

于是（3）的通解為u=xv(x,c1)。

由二階非齊次線性方程[5]的解法求出

y''+a1y'+a2y=xv(x,c1)的通解y=y(x,c1,c2,c3)。

再由常數(shù)變易法[5]求出

z'+p(x)z=y(x,c1,c2,c3)的通解z=z(x,c1,c2,c3,c4)，

其中c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)。

解：原方程可以改寫為

上式可寫為

由定理1，令z'+z=y，則（5）式轉(zhuǎn)化為

于是（6）式變?yōu)?/p>

解得（7）的通解為u=c1x，

再由比較系數(shù)法可求出

y''+2y'+y=c1x的一個特解為=c1x-2c1，

則y''+2y'+y=c1x的通解為

又因為z'+z=0的通解為z=c4e-x，

從而由常數(shù)變易法可得

z'+z=c3xe-x+c2e-x+c1x-2c1的通解為

其中c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)。

定理2四階微分方程

通過變量替換可求出通解。其中a1，a2為常數(shù)，p(x)，q(x)，Q(x)是連續(xù)函數(shù)。

證明原方程可改寫為

則（8）式轉(zhuǎn)化為

則（9）式轉(zhuǎn)化為

由常數(shù)變易法可求出其通解u=u(x,c1)，在由二階非齊次線性方程的解法可求出y''+a1y'+a2y=u(x,c1)的通解為y=y(x,c1,c2,c3)，再由常數(shù)變易法求出z'+p(x)z=y(x,c1,c2,c3)的通解為z=z(x,c1,c2,c3,c4)，其中c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)。

例2求方程

（10）式可化為

于是（11）式可轉(zhuǎn)化為

由常數(shù)變易法可解得（12）的通解為，

再通過高階方程的降階可求得

最后由常數(shù)變易法求出

[1]肖菊霞.幾類一階常微分方程及其解法[J].考試周刊,2014(64)：50-51.

[2]董曉紅.常微分方程不同解法比較[J].包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2012,13(1)：89-91.

[3]姜崳芃.二階變系數(shù)常微分方程解法研究[J].金融理論與教學(xué),2012(4)：90-91.

[4]王柔懷,伍卓群.常微分方程講義[M].北京：人民教育出版,1963.

[5]王高雄,周之銘.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2001.

The Solution of Two Classes of Fourth Order Nonlinear Differential Equation

JIA Yan-ping,LI Lu-ping
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

This paper applies variable transformation method to solve the two classes of fourth order nonlinear differential equation.

variable transformation,differential equation;general solution

O175.1

A

1674-0874(2015)04-0012-02

2015-04-20

賈艷萍（1982-），女，山西朔州人，碩士，講師，研究方向：泛函分析。

〔責(zé)任編輯 高海〕