關(guān)于一階矩陣的再認(rèn)識與詮釋

常秀芳，李映波，李 高

（1.山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西大同 037003；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)烏海市海勃灣區(qū)煤炭局，內(nèi)蒙古烏海016000）

關(guān)于一階矩陣的再認(rèn)識與詮釋

常秀芳1，李映波2，李 高1

（1.山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西大同 037003；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)烏海市海勃灣區(qū)煤炭局，內(nèi)蒙古烏海016000）

對一階矩陣與數(shù)或與數(shù)學(xué)式子及其二次型之間的表述，提出了新的看法，給出了新的具體的表述方式，指出行矩陣與列矩陣的乘積和向量的內(nèi)積、數(shù)量積概念的不同之處，并得出兩個(gè)結(jié)論。

一階矩陣；行矩陣；列矩陣；內(nèi)積；數(shù)量積；二次型

在教學(xué)實(shí)踐中，翻閱了大量的高等代數(shù)和線性代數(shù)[1-3]，注意到，行矩陣與列矩陣乘積運(yùn)算成一階矩陣，或遇到一階矩陣后，往往認(rèn)其為一個(gè)數(shù)，這與矩陣概念是相悖的，并由此產(chǎn)生一系列的問題，為此提出了給出了新的具體的表述方式，予以商榷。

1 一階矩陣

定義1矩陣是由m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的一個(gè)數(shù)表，為了表示它是一個(gè)整體，并用括號括起來，記作

當(dāng)m=n時(shí)，即行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，稱為n階矩陣或n階方陣。

定義2在n階方陣中，只有一行和一列的矩陣，稱為一階矩陣。

一階矩陣是只有一個(gè)元素的矩陣，它是階數(shù)最小的方陣，在n階方陣中，是沒有零階矩陣的。

在一階矩陣A=(a)中，如果a=0，則矩陣A=(0)稱為一階零距陣；如果a≠0，則矩陣A=(a)是一階可逆矩陣，其逆矩陣為；如果a=1，則矩陣A=(1)是一階單位矩陣。

由于矩陣是一個(gè)數(shù)表，它不表示任何具體的數(shù)值，因此，一階矩陣A=(a)也是一個(gè)數(shù)表。從而矩陣(a)與a兩者之間有著本質(zhì)的區(qū)別，前者是一個(gè)數(shù)表，后者是一個(gè)具體的數(shù)，絕對不能把矩陣(a)與數(shù)a等同起來。可是大量的教材或參考資料中，把一階矩陣竟然說成是一個(gè)數(shù)，這是一種錯(cuò)誤的表達(dá)，必須引起注意，予以糾正。

2 行矩陣與列矩陣的乘積

如果只有一行的矩陣稱為行矩陣，也稱為行向量；如果只有一列的矩陣稱為列矩陣，也稱為列向量。

行向量（行矩陣）和列向量（列矩陣）是特殊的矩陣，以及由向量的內(nèi)積、數(shù)量積和矩陣的概念知。

結(jié)論1同維的兩個(gè)行矩陣（行向量）或兩個(gè)列矩陣（列向量）是不能做矩陣乘積運(yùn)算的，只能作內(nèi)積或向量的數(shù)量積，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。

結(jié)論2同維的行矩陣（行向量）與列矩陣（列向量）是不能作內(nèi)積或向量的數(shù)量積，作為只有一行或只有一列的特殊矩陣，只能做矩陣相乘運(yùn)算的，其結(jié)果并不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)一階距陣，即

可是教材或參考資料中，大量把

錯(cuò)誤地表述或?qū)懗墒且粋€(gè)數(shù)ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj，更有甚者數(shù)與矩陣的運(yùn)算不分，如把矩陣乘積定義中，一個(gè)m×s矩陣A=(aij)m×s與一個(gè)s×n矩陣B=(bij)s×n的乘積矩陣C=(cij)m×n的元素cij錯(cuò)誤地寫成等于距陣的積，又等于一個(gè)數(shù)的錯(cuò)誤形式，例如

其正確的書寫為

3 一階單位矩陣

矩陣E1=(1)，因?qū)θ魏我粋€(gè)一階矩陣A，有E1A=AE1=A，所以E1=(1)是一階單位矩陣。

一階單位矩陣中是沒有任何零元素的，它是比較特殊的一階距陣，只有一個(gè)元素，而且元素是1，但并不表示它就是1，有的教材把XTX=E1寫成XTX=1或說成是1都是錯(cuò)誤的，須予以糾正。

4 二次型

所以在推導(dǎo)二次型的矩陣形式過程中，或用矩陣表示時(shí)，甚至用矩陣作正交變換等內(nèi)容時(shí)，都必須對二次型加以括號才能和矩陣相等。例如，在推導(dǎo)過程中，則應(yīng)為

則應(yīng)為[f]=xTAx。

在正交變換中，則存在正交矩陣Q，作正交變換x=Qy，則應(yīng)為

5 結(jié)束語

綜上所述，對于一階矩陣中的種種易混淆的內(nèi)容必須引起大家的注意，歧異的或錯(cuò)誤的內(nèi)容在教材或教參中必須消除和糾正，在內(nèi)容的編排上必須融有正確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、科學(xué)的、負(fù)責(zé)的態(tài)度。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]吳傳生,王衛(wèi)華.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]常秀芳，李高.伯努利方程的幾種新解法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,23(2)：89-91.

[4]李高，常秀芳.不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)的解及其性質(zhì)[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào),2011,27(3)：6-10.

[5]李高，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程及其衍生方程[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào),2011,27(5)：13-15.

[6]李高，常秀芳.關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào),2010,26(6)：12-14.

[7]李高，李殊璇，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程可解的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào),2013,29(2)：1-2.

[8]常秀芳，李高.Taylor冪級數(shù)直接展開的新方法[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào),2013,29(5)：1-3.

Interpretation of First Order Matrix

CHANG Xiu-fang1,LI Ying-bo2,LI Gao1
(1.School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,0370031；2.Coal Bureau of Haibowan District,Wuhai city,Innre Mongolia?,Wuhai 016000)

Of first-order matrix and the number or and mathematical formulas and quadratic expression between,this paper puts forward a new view,gives a new concrete way of expression,points out the row matrix and column matrix and vector inner product,the difference between the inner product and the scalar product,and two conclusions.

first-order matrix;row matrix;column matrix;inner product;scalar product;quadratic form

O175.14

A

1674-0874(2015)04-0009-03

2014-10-20

山西大同大學(xué)教學(xué)改革資金資助項(xiàng)目[XJY2013211]

常秀芳（1965-），女，山西朔州人，副教授，研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教育。

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>