血吸蟲病在多個(gè)染病者群體傳播的S-DI模型的穩(wěn)定性分析

甘莉娟，薛 夢(mèng)，Sakhone Sysavathdy，齊龍興

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

血吸蟲病在多個(gè)染病者群體傳播的S-DI模型的穩(wěn)定性分析

甘莉娟，薛 夢(mèng)，Sakhone Sysavathdy，齊龍興

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

主要介紹血吸蟲病在多個(gè)染病者群體傳播的S-DI模型,對(duì)于兩種不同的發(fā)生率產(chǎn)生不同的模型,分別求出其平衡點(diǎn)及疾病爆發(fā)的閾值,并且分別判斷出無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,并進(jìn)行了數(shù)值模擬。

血吸蟲?。籗-DI模型；雙線性發(fā)生率；標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率；穩(wěn)定性

血吸蟲病是一種嚴(yán)重危害人類健康的寄生蟲病,據(jù)世界衛(wèi)生組織于1995年估計(jì),全球有75個(gè)國(guó)家和地區(qū)有血吸蟲病的流行,受威脅人口約6.25億,感染血吸蟲病者1.93億。我國(guó)也是全球血吸蟲病危害最嚴(yán)重的國(guó)家之一。

目前,在實(shí)際防病,治病及科研等方面還存在著一系列的問題。當(dāng)然,在研究血吸蟲病傳播的模型中,許多人已經(jīng)做了很多的努力[1-6]。我們已經(jīng)考慮了很多因素對(duì)血吸蟲病傳播的影響，例如宿主的潛伏期及血吸蟲配對(duì)結(jié)構(gòu)等等[1]。

影響血吸蟲病流行的因素中水源是非常重要的因素之一,血吸蟲生活史中的許多階段都是在有水的條件下完成的,人們接觸含有血吸蟲的水源的程度不同，其受感染的程度也不同。本文就這一因素用數(shù)學(xué)的方法來(lái)探討,希望為今后血吸蟲病的控制和預(yù)防有很好的引導(dǎo)作用。

本文主要介紹了血吸蟲病在多個(gè)染病者群體傳播的S-DI模型,引入判斷該模型穩(wěn)定性的方法[2]。主要針對(duì)兩種不同的發(fā)生率來(lái)介紹S-DI模型,并由此判斷血吸蟲病未來(lái)局部傳播趨勢(shì)。

1 模型的建立

由血吸蟲病的傳播機(jī)理可知，由于易感者接觸含有血吸蟲的水源的程度不同，使其受感染的程度也不同,因此我們可將其分為輕度感染者和重度感染者兩類,分別用I1和I2表示,每一子群體中的病人均可與易感者S接觸但有不同的有效接觸率和移出率。假定輸入率為常數(shù)K=μS0,且均為易感者,有效接觸率系數(shù)為β,自然死亡率系數(shù)為μ,移出率系數(shù)為γ。

若采用雙線性發(fā)生率,則相應(yīng)的S-DI模型為[3]

若采用標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率,則相應(yīng)的S-DI模型為

其中pi為染病者進(jìn)入Ii群體的比例系數(shù),;γi是Ii類病人的移出率系數(shù);βi是Ii類病人的有效接觸率系數(shù)。

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

對(duì)于上述兩種模型的穩(wěn)定性,主要思路：(1)有正平衡點(diǎn)的情況下求出正平衡點(diǎn);(2)對(duì)該方程系統(tǒng)進(jìn)行線性化,得到相應(yīng)的線性系統(tǒng);(3)應(yīng)用常微分方程理論求出相應(yīng)的特征方程和特征根,判斷根的實(shí)部是否是負(fù)的;有負(fù)實(shí)部,則該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定,否則不穩(wěn)定。

2.1 雙線性發(fā)生率模型

為求系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn),令其右端為0,從而求得可能存在的兩組解分別為,

下面分兩種情形討論平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性。令

在上式中pi是染病后成為Ii類型病人的概率,是Ii類病人的平均患病期。從而,便是當(dāng)人群全是易感者（流行初期）S0時(shí)，一個(gè)病人在其平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù),所以上式所定義的閾值R0便是基本再生數(shù)。

當(dāng)R0＜1時(shí),系統(tǒng)(1)僅有唯一平衡點(diǎn)E0(S0,0,0),從而由其特征根的符號(hào)判斷E0(S0,0,0)的穩(wěn)定性[4]。系統(tǒng)(1)在E0(S0,0,0)點(diǎn)的Jacobian矩陣是

其特征方程為

其特征根

當(dāng)R0＞1時(shí),系統(tǒng)(1)除了無(wú)病平衡點(diǎn)E0(S0,0,0)外,還有一地方病平衡點(diǎn)E1=(S+,I1+,I2+),其中

此時(shí),由于R0＞1,容易驗(yàn)證無(wú)病平衡點(diǎn)E0(S0,0,0)不穩(wěn)定,下面證明當(dāng)R0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定。

系統(tǒng)(1)在地方病平衡點(diǎn)E1的特征方程為

當(dāng)R0＞1時(shí),容易驗(yàn)證

因此由Hurwitz判別定理[5]知,特征方程的根全都具有負(fù)實(shí)部,即當(dāng)R0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率模型

為求系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn),令其右端為0,從而求得可能存在的兩組解分別為,

下面分兩種情形討論平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性。令

上式R0與易感者S0無(wú)關(guān)。由系統(tǒng)(2)可以看出是Ii類病人的平均患病期,故R0便是一個(gè)病人平均患病期內(nèi)有效接觸的個(gè)體數(shù),即有效接觸數(shù)。

當(dāng)R0＜1時(shí),系統(tǒng)(2)僅有唯一平衡點(diǎn)E0(S0,0,0),從而由其特征根的符號(hào)判斷E0(S0,0,0)的穩(wěn)定性[4]。系統(tǒng)(2)在E0(S0,0,0)點(diǎn)的特征根分別為

故點(diǎn)E0(S0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的。此時(shí)E0為無(wú)病平衡點(diǎn)。

當(dāng)R0＞1時(shí),系統(tǒng)(2)除了無(wú)病平衡點(diǎn)E0(S0,0,0)外,還有一地方病平衡點(diǎn)E2=(S?,I1?,I2?),其中

此時(shí),由于R0＞1,容易驗(yàn)證E0(S0,0,0)不穩(wěn)定,下面證明當(dāng)R0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。

系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E2的特征方程為

容易驗(yàn)證d2＞0,d2d1-d0＞0。因此,由Hurwitz判別定理[5]知,特征方程的根全都具有負(fù)實(shí)部,即當(dāng)R0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E2(S?,I1?,I2?)局部漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值模擬

3.1 雙線性發(fā)生率

選取S0=1,μ=0.01,β1=0.05,β2=0.1,p1=0.4,p2=0.6,γ1=0.3,γ2=0.2 作為系統(tǒng)(1)的一組參數(shù)值,計(jì)算可得R0=0.2074。由于R0＜1時(shí),系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的(如圖1)。

又選取S0=1,μ=0.01,β1=0.05,β2=0.1,p1=0.4,p2=0.6,γ1=0.03,γ2=0.02 作為系統(tǒng)(1)的另一組參數(shù)值。計(jì)算可得R0=1.5000。由于R0＞1時(shí),系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)也是局部漸近穩(wěn)定的(如圖2)。

圖1 系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定

圖2 系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)也是局部漸近穩(wěn)定

3.2 標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率

選取同3.1相同的參數(shù)值,分別算得R0=0.2074和R0=1.5000。當(dāng)R0＜1時(shí),系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的(如圖3)。當(dāng)R0＞1時(shí),系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)也是局部漸近穩(wěn)定的(如圖4）。

圖3 系統(tǒng)（2）的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定

圖4 系統(tǒng)（2）的地方病平衡點(diǎn)也是局部漸近穩(wěn)定

4 討論

討論了血吸蟲病在多個(gè)染病者群體傳播的SDI模型,應(yīng)用Hurwitz判別定理對(duì)兩種不同發(fā)生率的模型穩(wěn)定性的分析,證明了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

對(duì)于雙線性發(fā)生率模型,我們發(fā)現(xiàn)其基本發(fā)生率與S0有關(guān),說明疾病流行與否與最初人口基數(shù)有關(guān),那么在控制疾病時(shí),我們可嘗試采取分散人口或隔離等方式,這樣將有助于控制疾病的傳播。

我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0＜1時(shí),兩個(gè)模型都僅有無(wú)病平衡點(diǎn),它是局部漸近穩(wěn)定的,說明血吸蟲病將不會(huì)流行;當(dāng)R0＞1,兩個(gè)模型除無(wú)病平衡點(diǎn)外還有一地方病平衡點(diǎn)。此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,而地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定,說明血吸蟲病流行而導(dǎo)致地方病產(chǎn)生。

從這兩個(gè)模型我們可以看出,雖然發(fā)生率不同,但是數(shù)學(xué)結(jié)論類似。這也說明改變發(fā)生率對(duì)這類模型的主要結(jié)論影響不大,由于考慮到雙線性發(fā)生率形式簡(jiǎn)單便于研究,在今后的研究中我們將以雙線性發(fā)生率來(lái)考慮,為今后有關(guān)血吸蟲病的研究做更多的努力。

[1]L X Qi,J A Cui,Y Gao,et al.Modeling the schistosomiasis on the islets in Nanjing[J].Int J Biomath，2012(5)：12500371-12500377.

[2]J Hyman,J Li.An intuitive formulation for the reproductive number for the spread of diseases in heterogencous populations[J].Math Biosci,2000(167)：65-86.

[3]馬知恩.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社,2004.

[4]馬知恩,周義倉(cāng).常微分方程的定性與穩(wěn)定性方法[M].北京：科學(xué)出版社,2001.

[5]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.

[6]王愛麗.具有多種傳播方式的介水傳染病模型的穩(wěn)定性[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，39（2）：17-23.

The Stability Analysis of S-DI Model of Schistosomiasis Spread in the Multiple Infected Population

GAN Li-juan,XUE Meng,Sakhone Sysavathdy,QI Long-xing
(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei Anhui,230601)

This article mainly introduces the S-DI model of schistosomiasis spread in the multiple infected population.For two kinds of different incidence of different models,we find out the equilibria and threshold of disease outbreaks.The local stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium are determined in theory and by numerical simulations respectively.

schistosomiasis;S-DI model;bilinear incidence;standard incidence;stability

O151.26

A

1674-0874(2015)04-0005-04

2015-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目[11401002]；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目[1208085QA15]

甘莉娟（1992-），女，安徽合肥人，在讀碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>