極大極小隨機規(guī)劃逼近最優(yōu)值的收斂性

趙禮陽，霍永亮

（1.重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331；2.重慶文理學院數(shù)學與財經(jīng)學院，重慶402160）

極大極小隨機規(guī)劃逼近最優(yōu)值的收斂性

趙禮陽1，霍永亮2

（1.重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331；2.重慶文理學院數(shù)學與財經(jīng)學院，重慶402160）

為了研究極大極小隨機規(guī)劃問題最優(yōu)值的收斂性，先把極大極小隨機規(guī)劃問題轉化為二層極小隨機規(guī)劃模型，通過二層極小隨機規(guī)劃模型得到其解的收斂性條件，然后在進一步假設上層原問題有唯一最優(yōu)解的情況下，得到其逼近問題的最優(yōu)值上半收斂于原問題的唯一最優(yōu)值。

隨機規(guī)劃；逼近解；上半收斂

設上層極大隨機規(guī)劃問題的決策變量為x∈Rn，下層問題極小規(guī)劃的目標函數(shù)為是下層極小隨機規(guī)劃問題的決策變量，并且下層極小隨機規(guī)劃問題滿足約束條件：對于極大極小隨機規(guī)劃問題，可以轉化為二層極小隨機規(guī)劃問題，下層隨機規(guī)劃問題的收斂性反饋到上層隨機規(guī)劃問題，同時得到上層隨機規(guī)劃問題最優(yōu)值的收斂性。文獻［1］中對二層極小隨機規(guī)劃解的收斂性進行了詳細的討論，并得出了相應的結論。文獻［2］是研究了隨機規(guī)劃解的穩(wěn)定性。文獻［3-4］研究了隨機規(guī)劃逼近解的收斂性條件。文獻［5］研究了隨機規(guī)劃上半收斂性條件。文獻［6］在二層極大的數(shù)學模型下分析其逼近解的收斂性。本文在文獻［1］和文獻［4］的基礎上，在得到最優(yōu)解的情況下，進一步研究極大極小問題最優(yōu)值的收斂性條件。

本文考慮如下極大極小隨機規(guī)劃問題：

原問題（1）等價于下列二層隨機規(guī)劃問題：

其中y為

的解。

問題（3）的逼近問題可以寫成

其中y為

的解。

本文假定定義域X和Y分別是在Rn和Rm上的緊集，f，g都是定義在Rn×Rm×Rp上的連續(xù)有界的函數(shù)，μ0=P°ξ-1，μn=P°ξ-1n，ξ是定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上面的m維隨機向量，ξn為ξ的離散化隨機變量序列。

1　下層原問題等價的隨機規(guī)劃解集的收斂性

在討論上層隨機規(guī)劃問題最優(yōu)解的收斂性之前，先討論下層隨機規(guī)劃解的收斂性問題。如果固定x0∈Rn，則原問題的下層隨機規(guī)劃問題的等價命題可以改寫成：

同時，當xn→x0時，其相應的逼近問題可以改寫成：

設問題（7）和（8）的可行集為S0（x0）和Sn（xn）。為了討論的方便，本文把問題（7）和（8）轉化為無約束問題（9）和（10）：

其中δS（y）滿足隨機規(guī)劃問題（9）與（10）的最優(yōu)解集分別設為M0（x0）和Mn（xn）。

定義1［5］稱可行集S0（x0）是正則的，即滿足S0（x0）=clS0（x0）0，并且S0（x0）0≠φ，其中：

定義2［2］若xn→x0，稱集合序列｛Mn（xn）｝上半收斂于M0（x0），即

引理1［1］若xn→x0，且f（x，y，μ）在X×Y×Rp上連續(xù)有界，在X×Y×Rp上下半連續(xù)且有界，對每個固定的y，gj（x，y，μ）關于（x，μ）上半連續(xù)，可行集S0（x0）正則，且μn→μ0，則問題（8）的最優(yōu)解序列Mn（xn）上半收斂于問題（7）的最優(yōu)解集M0（x0）。

根據(jù)文獻［1］的推論2.1可以得到：如果下層問題（7）有唯一最優(yōu)解，則問題（8）的任意一個最優(yōu)解yn（xn）∈Mn（xn）連續(xù)收斂于問題（7）的唯一最優(yōu)解y0（x0）。

2　上層原問題等價的隨機規(guī)劃的最優(yōu)值的收斂性

本文討論下層問題（7）只有唯一最優(yōu)解的情況。設問題（7）的最優(yōu)解為y0（x），問題（8）的任意一個最優(yōu)解設為yn（x），上層規(guī)劃原問題的等價解問題可以改寫成

相應的逼近問題可以改寫成

設問題（11）和（12）對應的最優(yōu)解集為M0和Mn，設A0是問題（11）的優(yōu)解對應的函數(shù)值，An是逼近問題最優(yōu)解集對應的函數(shù)值序列，即，令：

根據(jù)文獻［1］的定理3.1和文獻［2］的定理5.1，有

由文獻［1］的定理3.2可得，問題（12）的最優(yōu)解集序列Mn上半收斂于問題（11）的最優(yōu)解集M0。

推論1如果x0∈Rn是問題（11）的唯一最優(yōu)解，那么Mn的任意最優(yōu)解xn∈Mn都上半收斂于x0。

證明因為Mn上半收斂于M0，又因為M0為單元素集合，則就有Mn中的任意序列xn，有xn→x0。否則有xn→a，且a≠x0，這就與Mn上半收斂于M0相互矛盾。證明完畢。

定理1若xn→x0，且f（x，y，μ）在X×Y×Rp上連續(xù)有界，gj（x，y，μ），j=1，2，…，d，在X×Y×Rp上下半連續(xù)且有界，對每個固定的y，gj（x，y，μ）關于（x，μ）上半連續(xù)，可行集S0（x0）正則，且μn→μ0，如果x0∈Rn是問題（11）的唯一最優(yōu)解，則有：lim Fn（xn）=F0（x0），即

證明因為x0是問題（11）的唯一最優(yōu)解，故中所有最優(yōu)解對應的函數(shù)值構成的序列為Fn（xn）。由推論1得：Mn中任意序列上半收斂于x0，而f是X×Y×Rp上的連續(xù)有界函數(shù)，所以必有函數(shù)序列∫p-f（xn，yn（xn），μ）μn（dμ）上斂于F0（x0），式（13）顯然是成立R的。證明完畢。

［1］周婉娜，霍永亮，吳凡.二層隨機規(guī)劃逼近最優(yōu)解集的上半收斂性［J］.純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2014，32（2）：207-215.

［2］霍永亮.隨機規(guī)劃穩(wěn)定性理論［M］.成都：西南交通大學出版社，2010.

［3］駱建文，魯世杰.隨機規(guī)劃逼近解的收斂性［J］.浙江大學學報，20007，27（5）：493-497.

［4］霍永亮，劉三陽.隨機規(guī)劃逼近最優(yōu)解集的上半收斂性［J］.西安電子科技大學學報，2005，32（6）：953-957.

［5］霍永亮.二層隨機規(guī)劃逼近問題最優(yōu)解集的上半收斂性［J］.系統(tǒng)科學與數(shù)學，2014，34（6）：674-681.

［6］劉勇，王慧，徐裕生，等.二層隨機規(guī)劃逼近解的收斂性［J］.純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2008，24（4）：768-773.

（責任編輯劉舸）

Astringency of Minimax Stochastic Programming Approximation Optimal Value

ZHAO Li-yang1，HUO Yong-liang2
（1.College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China；2.College of Mathematics and Finance，Chongqing University of Arts and Science，Chongqing 402160，China）

In order to study the convergence of the optimal minimax stochastic programming problem value，at first，the minimax problem was transformed stochastic programming into two layers of minimal stochastic programming model，and we obtained the convergence conditions through two layers of minimal stochastic programming model.Then suppose further that the upper primary problem has a unique optimal solution under the condition of the unique optimal approximation，the problem of optimal value of semi converges to the value of the original problem was obtained.

stochastic programming；approximation solution；upper semi-convergence

O175

A

1674-8425（2015）04-0132-04

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.026

2015-01-15

重慶高校創(chuàng)新團隊建設計劃項目（KJ301321）

趙禮陽（1990—），男，重慶大足人，碩士研究生，主要從事隨機優(yōu)化解的穩(wěn)定性研究。

趙禮陽，霍永亮.極大極小隨機規(guī)劃逼近最優(yōu)值的收斂性［J］.重慶理工大學學報：自然科學版，2015（4）：132-135.

format：ZHAO Li-yang，HUO Yong-liang.Astringency of Minimax Stochastic Programming Approximation Optimal Value［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：132-135.