載人月面著陸過程的應(yīng)急上升軌道優(yōu)化設(shè)計

彭祺擘，張海聯(lián)（載人航天總體研究論證中心，北京100094）

載人月面著陸過程的應(yīng)急上升軌道優(yōu)化設(shè)計

彭祺擘，張海聯(lián)
（載人航天總體研究論證中心，北京100094）

研究了月面軟著陸過程發(fā)生故障后的應(yīng)急上升軌道，建立了整個應(yīng)急上升過程的優(yōu)化設(shè)計模型，并針對構(gòu)建的強約束軌道優(yōu)化問題，設(shè)計了將Gauss偽譜法和直接打靶法結(jié)合的混合優(yōu)化策略，求解得到了滿足應(yīng)急條件的上升軌道參數(shù)。仿真分析表明該方法可以有效解決月面應(yīng)急上升軌道優(yōu)化問題，且求解收斂性和魯棒性較好，可為同類問題的求解提供參考。

月面著陸；應(yīng)急上升；軌道設(shè)計；高斯偽譜法；直接打靶法

1　引言

不同與無人月球探測，能否保證航天員安全是決定載人登月任務(wù)成功與否的關(guān)鍵。因此軌道設(shè)計必須要考慮飛行器在發(fā)生故障后的任務(wù)中止能力，任務(wù)中止軌道的設(shè)計與正常任務(wù)軌道同樣重要。目前雖有部分文獻對載人登月的應(yīng)急軌道進行了研究，但主要是圍繞地月轉(zhuǎn)移過程發(fā)生故障后的應(yīng)急返回展開研究［1，2］，對于月面上升過程，相關(guān)文獻［3，4］主要是針對標(biāo)稱軌道進行設(shè)計和研究，而對月面軟著陸過程中出現(xiàn)故障后的應(yīng)急返回軌道設(shè)計較少。載人登月任務(wù)一般采用基于環(huán)月軌道交會的飛行方案，著陸器在從環(huán)月軌道到達月球表面的著陸過程中，有可能發(fā)生一些故障，導(dǎo)致任務(wù)無法繼續(xù)并要求著陸器快速返回環(huán)月軌道，與在軌飛船完成交會對接，因此有必要預(yù)先對月面應(yīng)急上升交會軌道做出設(shè)計，以保證發(fā)生故障時航天員的安全性。本文即主要研究著陸器的應(yīng)急上升軌道優(yōu)化策略。

月球沒有大氣，著陸器在著陸過程中發(fā)生故障時，主要靠發(fā)動機來調(diào)整控制策略，使其返回到環(huán)月軌道。應(yīng)急返回軌道設(shè)計需同時滿足故障時刻著陸器的位置、速度約束以及與在軌飛船的交會對接條件約束，其軌道設(shè)計可以看作是求解一類同時滿足初始和終端狀態(tài)約束的最優(yōu)控制問題。針對這一軌道設(shè)計的特點，本文將目前研究較多的一類配點法——偽譜法與傳統(tǒng)的打靶法相結(jié)合，提出了一種混合優(yōu)化策略，對月面應(yīng)急上升交會軌道進行了優(yōu)化設(shè)計。仿真分析表明此方法求解精度高，對初值敏感度較底，具有很好的魯棒性和收斂性。

2　問題描述

載人登月任務(wù)的月面軟著陸過程主要分為三個階段：下降軌道機動段、無動力下降段和動力下降段［5］，如圖1所示。

月面著陸器故障發(fā)生在著陸過程的不同階段時，其所采用的應(yīng)急上升策略不同。故障發(fā)生在無動力下降段時，只需要采用脈沖推力提升著陸器軌道高度并調(diào)整其與載人飛船的相位差，使兩飛行器滿足交會對接條件；故障發(fā)生在動力下降段時，則首先需采用連續(xù)推力發(fā)動機將著陸器送入交會對接初始軌道，然后采用脈沖推力變軌實現(xiàn)與在軌飛船的交會對接［6］。本文主要針對月面著陸動力下降段發(fā)生故障后的應(yīng)急上升軌道做出設(shè)計，并進行相關(guān)特性分析。

在動力下降段著陸器發(fā)生故障時，它與在軌飛船的相對狀態(tài)一般不能滿足交會對接初始條件要求，故首先需要調(diào)整著陸器的軌道高度和位置、速度狀態(tài)，使其最終與在軌飛船建立合適的相對狀態(tài)，隨后啟動標(biāo)準(zhǔn)化交會程序?qū)崿F(xiàn)交會對接［7］。因此，應(yīng)急上升段的主要任務(wù)是將著陸器從任務(wù)中止點送入預(yù)定交會對接軌道，此階段采用連續(xù)推力模式，完成后著陸器一般進入近月點約15 km且與載人飛船共面的橢圓軌道［8］。下面給出具體優(yōu)化設(shè)計方法。

3　優(yōu)化設(shè)計模型

應(yīng)急上升過程可以看作是動力下降段的逆過程，因此其軌道設(shè)計可看作是求解滿足一系列約束條件的最優(yōu)控制問題，具體優(yōu)化求解過程如下。

3.1設(shè)計變量

月面上升級一般采用固定推力發(fā)動機［4］，因此選取發(fā)動機的推力方向角α、β和飛行時間tf作為應(yīng)急上升段軌道優(yōu)化設(shè)計的設(shè)計變量如式（1）：

給定一組設(shè)計變量X，即可對動力學(xué)模型進行積分確定出應(yīng)急上升段的飛行軌道參數(shù)。

3.2動力學(xué)模型

建立月心慣性坐標(biāo)系OL-XYZ，其坐標(biāo)原點為月心，X軸指向著陸器動力下降時刻月面中央灣位置，Z軸為月球自轉(zhuǎn)方向。

建立軌道坐標(biāo)系o-xyz，該坐標(biāo)系為非慣性系。其坐標(biāo)原點為著陸器質(zhì)心，z軸從月心指向著陸器方向，x軸垂直于z軸指向動力下降初始時刻的運動方向，與月球正北方向的夾角為γ。其中，γ為動力下降開始時刻著陸器速度方向與月球正北方向夾角，見式（2）。

其中，i0為初始環(huán)月軌道傾角，φ0為動力下降點著陸器的月心緯度，以上參數(shù)如圖2所示。

圖2　相關(guān)坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Coordinate system s

在著陸器應(yīng)急上升時，只考慮發(fā)動機推力Ta和月球引力，假設(shè)為月球中心重力場，且忽略其它攝動

力影響，則推導(dǎo)應(yīng)急上升過程動力學(xué)方程為式（3）：

式中，r為月心距，u、v、w為軌道坐標(biāo)系中的速度分量，λ和φ為上升過程中的經(jīng)緯度，ma為質(zhì)量，Isp為發(fā)動機比沖，μL為月球引力常數(shù)。

3.3約束條件

月面著陸器在下降過程中發(fā)生故障應(yīng)急上升時，主要需考慮兩類約束條件，一類時由于著陸器的位置約束，即邊界條件，要求著陸器要能在故障位置快速返回預(yù)定軌道；另一類是著陸器的性能約束，包括發(fā)動機，安全性要求等。

1）邊界條件

主要包括初始及終端條件約束。初始條件為故障時刻著陸器的位置和速度，如式（4）和式（5）。

其中，RL為月球半徑，ta為動力下降到任務(wù)中止的飛行時間，ha、λa和φa為任務(wù)中止時刻著陸器在月固系下的高度和經(jīng)緯度，ua、va和wa為任務(wù)中止時刻著陸器在月固系下的速度。

終端條件為滿足著陸器入軌后的交會對接約束，主要包括高度和共面約束，相位這里不作為約束條件，而是在優(yōu)化目標(biāo)中給出。

因此終端條件為應(yīng)急上升后載人飛船的位置和速度，如式（6）和式（7）。

其中，i0和Ω0為目標(biāo)軌道的傾角和升交點赤經(jīng)，HLLO為目標(biāo)軌道高度，hf為應(yīng)急上升后高度。

2）工程約束

首先，著陸過程中推力方向角受發(fā)動機限制不能隨意選取，應(yīng)滿足式（8）：

其次，上升過程中為避免著陸器撞月的可能性，要求其飛行過程的月面高度大于某一安全值，即式（9）：

3.4優(yōu)化目標(biāo)

根據(jù)任務(wù)需求，應(yīng)急上升可選擇不同的優(yōu)化目標(biāo)。

1）相位差

倘若分析應(yīng)急上升后著陸器與載人飛船的相位差范圍，則選取相位差為優(yōu)化目標(biāo)，如式（10）：

其中，Φfd為從動力下降到任務(wù)中止著陸器飛過的相位角，Φfa為從任務(wù)中止到應(yīng)急上升完成著陸器飛過的相位角，tH為初始無動力下降段飛行時間。上式中取“+”號時得到最小相位差，取“-”號時得到最大相位差。

2）燃料消耗

倘若任務(wù)要求在最短時間內(nèi)完成應(yīng)急上升或燃料消耗最少，則可選取燃料消耗為優(yōu)化目標(biāo)，即式（11）：

上升過程中推力大小恒定，因此優(yōu)化目標(biāo)可寫為式（12）：

4　優(yōu)化求解策略

由于模型較為復(fù)雜，且約束條件較多，傳統(tǒng)方法求解存在難以收斂、計算速度慢或?qū)Τ踔得舾械葐栴}。本文提出基于一類配點法-高斯偽譜法和直接打靶法相結(jié)合的混合優(yōu)化策略，即首先同時離散控制變量與狀態(tài)變量，取較少Gauss點，利用GPM求解軌道初值；然后進一步離散控制變量，將上步結(jié)果作為初值，利用直接打靶法求解精確解。此方法可避開變量初值猜測問題，降低對初值的敏感度。下面給出優(yōu)化方法。

4.1利用GPM計算初值

利用Gauss偽譜法求解結(jié)果為離散值，Gauss點選取較少時精度較差。Gauss點較多時設(shè)計變量數(shù)目就會較為龐大，此時初值選取不當(dāng)會導(dǎo)致問題收斂不到可行解［9］。針對此問題，本文只利用GPM作為初值生成器。

首先選取較少的Gauss點N（文中N=6），利用GPM將最優(yōu)軌道設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，并利用SQP算法求解近似最優(yōu)解，實踐表明此時需賦初值設(shè)計變量少，對初值不敏感，魯棒性好。然后將計算得到的結(jié)果作為下步計算的初值。Gauss偽譜法求解原理參考文獻［6］。

另外，本文對于初值的求解，采用了從可行解到最優(yōu)解的串行優(yōu)化策略。即首先將等式約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，求得可行解；然后利用求得結(jié)果作為初值，求解原有最優(yōu)控制問題，得到最優(yōu)解。這種辦法可更有效提高收斂性。

4.2利用直接打靶法求解高精度最優(yōu)解

進一步離散控制量，在選取的Gauss點之間進一步離散時間，即將每兩個Gauss點之間時間進行K等分，將整個軌道離散為（N+1）·K段。每個Gauss點處控制變量初值已在4.1節(jié)中求得，等分點之間控制變量初值通過樣條插值求得。

每個離散點ti（i=0～（N+1）·K）處，狀態(tài)變量為Xi=X（ti），控制變量為Ui=U（ti）。由于狀態(tài)變量是連續(xù)的，因此每一段利用Runge-Kutta積分對軌道進行逼近。這樣優(yōu)化問題經(jīng)離散化后，利用SQP算法對非線性規(guī)劃問題求解，得到最終解。

圖3給出了求解策略流程。

圖3　月球應(yīng)急上升的軌道優(yōu)化策略Fig.3 Optim ization strategy of emergency ascent trajectory

5　仿真算例

以月球極軌為例，計算著陸器在某時刻中止任務(wù)后最優(yōu)上升軌道，仿真參數(shù)如下。

設(shè)載人飛船初始環(huán)月軌道傾角為90°，高度為110 km，升交點赤經(jīng)為180°。動力下降段初始高度15 km，經(jīng)度0°，緯度90°；終端高度2 km，經(jīng)度5°，緯度76°。所設(shè)計的標(biāo)稱著陸軌道位置、速度變化如圖4所示。

設(shè)任務(wù)中止時間ta=203.28 s，如圖4所示，中止時刻著陸器參數(shù)（即應(yīng)急上升初始條件）見表1。

表1　應(yīng)急上升初始軌道參數(shù)Table 1 Initial trajectory parameters of emergency ascent

終端條件為：通過應(yīng)急上升，著陸器進入與載人飛船共面，近月點15 km，遠月點220 km的橢圓軌道，其中遠月點設(shè)為220 km主要是為了在后續(xù)交會對接段調(diào)整兩飛行器的相位差［6］。

應(yīng)急上升的過程約束見式（13）

圖4　標(biāo)稱著陸軌道位置、速度變化曲線Fig.4 Time history of position and velocity in lunar standard descent trajectory

另外，設(shè)上升級初始質(zhì)量ma0=5 000 kg，發(fā)動機推力Ta=18 kN，發(fā)動機比沖Isp=300 s。

5.1相位差范圍

首先以相位差作為優(yōu)化目標(biāo)，且約束應(yīng)急上升燃料消耗mu≤2500 kg，分別計算應(yīng)急上升結(jié)束后，著陸器與載人飛船可達到最大、最小相位差，結(jié)果如表2所示。

表2　應(yīng)急上升后兩飛行器相位差范圍Table2 Range of phase difference between two aircrafts

圖5給出了飛行過程中兩飛行器相位差變化。

結(jié)果表明，應(yīng)急上升段調(diào)整較小相位就需要耗費較多飛行時間和燃料，調(diào)相能力很差，在工程中并不可行，因此應(yīng)急上升段一般不以調(diào)相為目的。這樣應(yīng)急上升后相位差并不能滿足交會對接要求，但可在應(yīng)急交會段完成兩飛行器的相位差調(diào)整，已滿足要求。

圖5　應(yīng)急上升過程兩飛行器的相位差變化Fig.5 Time history of phase difference between two aircrafts

5.2燃料最優(yōu)上升軌道

以燃料消耗為優(yōu)化目標(biāo)，可得應(yīng)急上升飛行時間為210.7 s，燃料消耗為1 290.143 kg，最終兩飛行器相位差為4.47°。應(yīng)急上升飛行軌跡如圖6所示。

圖6　應(yīng)急上升過程的飛行軌跡Fig.6 The flying track during emergency ascent

上升過程各方向速度變化如圖7所示，推力方向變化如圖8所示。

通過大量仿真試驗，初值在約束范圍內(nèi)隨機選取，求解均能收斂，且結(jié)果通過積分驗證均能滿足所有約束條件，因此其求解精度較高，魯棒性較好。此外，優(yōu)化計算在Matlab環(huán)境下編程，計算機CPU為1.7 GHz/CORE（TM）i5，內(nèi)存為3 G時，計算過程耗時小于2分鐘，可見收斂速度較快。

6　結(jié)論

本文對月面軟著陸過程中著陸器發(fā)生故障時的應(yīng)急上升軌道做出了研究，建立了整個應(yīng)急上升過程的優(yōu)化設(shè)計模型，并采用連續(xù)推力模式，對整個軌道進行了優(yōu)化設(shè)計。針對本文這一強約束條件下的非線性優(yōu)化問題，設(shè)計了Gauss偽譜法和直接打靶法相結(jié)合的混合優(yōu)化策略，仿真表明此方法可有效解決本文所提出的復(fù)雜優(yōu)化問題，且收斂速度快，求解精度較高，魯棒性較好，可為同類問題求解提供參考。

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Optim ization of Lunar Emergency Design Ascent Trajectory during M anned Lunar Landing

PENG Qibo，ZHANG Hailian
（Manned Space System Reasearch Center，Beijing 100094，China）

Lunar emergency ascent trajectory during soft landing was studied and a lunar emergency ascent trajectory optimization design model was established.A hybrid optimization strategy combining GPM and shootingmethod was designed to obtain the optimal solution of the ascent trajectory parameters satisfying the emergency constraints.The simulation results showed that the proposed method could solve the complex optimization problem effectively，and themethodology and strategy for the optimal trajectory design have good robustness and strong convergence.

lunar landing；emergency ascent；trajectory design；Gauss Pseudospectral Method（GPM）；direct shootingmethod

V412.4+1；V476.3

A

1674-5825（2015）02-0187-06

2014-09-09；

2015-03-08

彭祺擘（1982-），男，博士，助理研究員，研究方向為航天任務(wù)分析與仿真。E-mail：poochie003@163.com