偶數(shù)與自然數(shù)一樣多

曾洪根

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伽利略

（Galileo Galilei，1564～1642），意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，科學(xué)革命的先驅(qū)。伽利略發(fā)明了擺針和溫度計(jì)，在科學(xué)上為人類做出了巨大貢獻(xiàn)，是近代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的奠基人之一。

偶數(shù)與自然數(shù)，哪一種數(shù)多？這時(shí)，恐怕同學(xué)們都會(huì)說：“當(dāng)然是自然數(shù)比偶數(shù)多了?！笨赡苓€會(huì)有同學(xué)說：“偶數(shù)個(gè)數(shù)等于自然數(shù)個(gè)數(shù)的一半！”什么道理呢？因?yàn)槠鏀?shù)與偶數(shù)合起來(lái)就是自然數(shù)，而奇數(shù)與偶數(shù)是相間排列的，所以奇數(shù)與偶數(shù)一樣多，其個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的一半。

自然數(shù)包括偶數(shù)，偶數(shù)是自然數(shù)的一部分，自然數(shù)比偶數(shù)多這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？聽起來(lái)好像確實(shí)是這么一回事，可事實(shí)是不是這樣的呢？

16世紀(jì)，意大利著名科學(xué)家伽利略給出了正確的答案。他曾提出過一個(gè)著名的悖論，叫作“伽利略悖論”，內(nèi)容就是偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。這似乎違背常識(shí)，因?yàn)樵?～10中，你只要數(shù)一下，就可以知道自然數(shù)有10個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)，兩者相比較，很清楚，自然數(shù)比偶數(shù)多5個(gè)。但這是在有限的情況下，畢竟自然數(shù)和偶數(shù)可遠(yuǎn)不止那幾個(gè)，所以在比較兩者數(shù)量的時(shí)候這往往是不正確的，為此伽利略提出了無(wú)限的問題。對(duì)于無(wú)限的數(shù)量，數(shù)的辦法是不行了，因?yàn)闊o(wú)限多是永遠(yuǎn)數(shù)不完的。

那有什么方法可以用來(lái)比較它們的數(shù)量呢？其實(shí)，我們可以用“一對(duì)一”的方法來(lái)進(jìn)行比較。一一對(duì)應(yīng)是比較物體的集合是否相等的最簡(jiǎn)便、最直接的方式。比如教室里有48個(gè)座位，老師走進(jìn)教室，一看座位坐滿了，他不必張三李四一個(gè)一個(gè)地點(diǎn)名，便知道此時(shí)聽課的學(xué)生人數(shù)為48。這是因?yàn)槊總€(gè)人都占了一個(gè)座位，而每個(gè)座位上都坐著一個(gè)人，兩者建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。如果這時(shí)空了一些座位，老師就知道聽課的學(xué)生人數(shù)少于48，因?yàn)椴糠中∮谡w。

這種方法同樣可以用在無(wú)限上，關(guān)鍵看要比較的兩者之間能否建立起這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。如果能建立，我們就可以認(rèn)為兩者的數(shù)量相等。伽利略在自然數(shù)與偶數(shù)之間建立了如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

自然數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 …… n

↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓

偶 數(shù)：0 2 4 6 8 10 12 ……2n

給出一個(gè)自然數(shù)，我們可以找出一個(gè)偶數(shù)與之對(duì)應(yīng)，給出的自然數(shù)不同，與之相對(duì)應(yīng)的偶數(shù)也不同；反過來(lái)，對(duì)于每一個(gè)偶數(shù)，我們都可以找到一個(gè)自然數(shù)與其對(duì)應(yīng)，偶數(shù)不同，所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)也不同；由此我們稱自然數(shù)與偶數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以自然數(shù)與偶數(shù)一樣多。其實(shí)不僅偶數(shù)與自然數(shù)一樣多，所有3的倍數(shù)、4的倍數(shù)也與自然數(shù)一樣多。

在無(wú)限中，“部分”可以等于“整體”。如果一個(gè)量等于它的一部分量，那么這個(gè)量必是無(wú)限量；反之，無(wú)限量必然可以等于它的某一部分量。