“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”求解探究

馮永樂(lè)

[摘 要]

動(dòng)態(tài)問(wèn)題變化形式多樣，綜合性強(qiáng)，教學(xué)中教師應(yīng)抓住數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想，揭示變量與變量，變量與不變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]

動(dòng)態(tài)問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合;分類(lèi)討論

動(dòng)態(tài)問(wèn)題是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的部分，其變化形式多樣，根據(jù)不同的變化情況可歸納為動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)形三種類(lèi)型。它的綜合性強(qiáng)，是對(duì)學(xué)生的綜合能力、思維能力、創(chuàng)新能力的綜合考查，在考試中常以壓軸題的形式出現(xiàn)。因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題思維跨度大，而且還需要有動(dòng)與靜的辯證思考等等，學(xué)生覺(jué)得難度大。因此要讓學(xué)生掌握，就應(yīng)教給學(xué)生解決問(wèn)題的思想方法，采用“動(dòng)靜結(jié)合，以靜制動(dòng)”等思維方法，揭示變量與變量，變量與不變量之間的關(guān)系，揭示動(dòng)態(tài)問(wèn)題背后蘊(yùn)含著核心的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想，從而達(dá)到掌握解題思路及探究方法。

一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

（一）動(dòng)點(diǎn)形成函數(shù)問(wèn)題

例1.如圖，點(diǎn)P是□ABCD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→D→C→B的路徑移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，△BAP的面積是y，則下列能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）。

分析：分三段來(lái)考慮點(diǎn)P沿A→D運(yùn)動(dòng)，△BAP的面積逐漸變大;點(diǎn)P沿D→C移動(dòng)，△BAP的面積不變;點(diǎn)P沿C→B的路徑移動(dòng)，△BAP的面積逐漸減小，據(jù)此選擇即可。

本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，注意分段考慮。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用畫(huà)圖，結(jié)合分類(lèi)討論思想，將問(wèn)題分解成幾個(gè)“靜態(tài)”問(wèn)題，由“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“靜”求解。

（二）動(dòng)點(diǎn)形成最值問(wèn)題

例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3m）（其中m>0），頂點(diǎn)為D。

（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）;

（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值;

（3）分析：①利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式;

②先求出S的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值;

本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。第（2）問(wèn)重點(diǎn)考查了圖形面積的計(jì)算方法;運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)及方程思想是解題的關(guān)鍵。

（三）動(dòng)點(diǎn)形成的存在性問(wèn)題

例3.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C。若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：①將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)。

②等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ。借助垂直平分線，畫(huà)圓易得E大致位置，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示其他邊后，利用勾股定理易得E坐標(biāo)。

本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵。

二、動(dòng)線問(wèn)題

例4.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）。

（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形;

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng);

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：①如圖1所示，可證明AE=ED=DF=FA;

②如圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;

③如圖3所示，分三種情形，需要分類(lèi)討論，分別求解，其中第一種情況不存在。

本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類(lèi)型。第（1）問(wèn)考查了菱形的判別方法;第（2）問(wèn)考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值;第（3）問(wèn)考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

三、動(dòng)形問(wèn)題

抓住變量與不變量，探索平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等幾何圖形變換的解決方法。

（一）幾何圖形的平移變換

例5.如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.沿斜邊AB邊上的中線CD把這張紙片剪成△AC1D1和△BC2D2兩個(gè)三角形.將紙片△AC1D1沿直線D2B（AB）方向平移（點(diǎn)A、D1、D2、B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)D1與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移。在平移過(guò)程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E，AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P。

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖2所示的位置時(shí)，猜想圖中的D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分面積為y，請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍;

（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的x的值，使重疊部分面積y等于原三角形ABC的面積的[14]，若存在，請(qǐng)求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

抓住此圖形在平移過(guò)程中的角的不變量，線段的不變量，用變量x表示D1E、BD1、D2F的長(zhǎng)，利用相似三角形、方程思想和以靜制動(dòng)的思維方法是解題的關(guān)鍵。

（二）幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換

例6.將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°;在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。

（1）求∠ADE的度數(shù);

（2）如圖②，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0°<α<60°），此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，試（下轉(zhuǎn)第33頁(yè)）（上接第19頁(yè)）判斷[PMCN]的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出[PMCN]的值;反之，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=[12]AB，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠BDC=∠B=60°，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計(jì)算即可得解;

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得∠PDM=∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得[PMCN=PDCD]為定值。

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)。解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與以靜制動(dòng)的思維方法的應(yīng)用。

（三）幾何圖形的翻折變換

例7.矩形紙片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是邊BC上的點(diǎn)，以AE為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________。

分析：①如圖1，當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，且點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，利用勾股定理列式求出AC，設(shè)BE=x，表示出CE=8-x，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AF=AB=6，EF=BE=x，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解可得BE=3;②如圖2，當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，且點(diǎn)F在AD上，判斷出四邊形ABEF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BE=AB=6。

本題考查了翻折變化的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，此類(lèi)題目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本題難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀。

在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用中，常常遇到關(guān)于圖形變換問(wèn)題的求解，就其變化方式而言，主要由點(diǎn)、線、面的變換而得出的問(wèn)題求解。在解決問(wèn)題的思維方式，即找出變與不變的關(guān)系，由動(dòng)到靜，由靜想到動(dòng)。此類(lèi)問(wèn)題的應(yīng)用廣泛，舉不勝舉。在學(xué)習(xí)和教學(xué)中要善于歸納小結(jié)，解決問(wèn)題的思路，萬(wàn)變不離其宗，當(dāng)然因其解題過(guò)程滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，因此，教師的教學(xué)應(yīng)注重歸納，達(dá)到事半功倍的效果，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]周冬琴.“圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題”教學(xué)中難點(diǎn)的分析與突破[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（12）.

[2]陳龍彬.談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的分析策略[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2014（3）.

[3]盧海明.探析初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1、2）.

（責(zé)任編輯：張華偉）