具有非期望產(chǎn)出的隨機(jī)DEA模型研究

朱佳欣++孫玉華++楊麗明

摘要為解決含有不確定信息的非期望產(chǎn)出效率評價問題，建立了一個非期望產(chǎn)出的隨機(jī)DEA模型.該模型將非期望產(chǎn)出作為負(fù)期望產(chǎn)出進(jìn)行處理，引入了期望效率值、顯著性水平來刻畫隨機(jī)問題，并通過機(jī)會約束規(guī)劃的相關(guān)知識將模型轉(zhuǎn)化為確定形式.對模型的最優(yōu)值的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了探討，說明最優(yōu)值與期望效率值、顯著性水平之間的關(guān)系.最后給出數(shù)值實驗說明該模型的有效性.

關(guān)鍵詞數(shù)據(jù)包絡(luò)分析；非期望產(chǎn)出；隨機(jī)性

中圖分類號O221.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

Research on Stochastic DEA Model

for Undesirable Outputs Evaluation

ZHU Jiaxin1 ，SUN Yuhua1 ，YANG Liming2

（1.School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing100803， China；

2.College of Science， China Agricultural University， Beijing100083，China ）

Abstract In order to solve the evaluation problem with undesirable outputs and uncertain information， this paper established a stochastic DEA model with undesirable outputs. The model treats undesirable outputs as negative desirable outputs. Meanwhile， it introduces the desired value and the efficiency of the significant level to describe the stochastic problem. By using the knowledge of chance constrained programming， we derived a deterministic equivalent model， discussed the related properties of the optimal value of the model， and explained the relationship among the optimal value， the efficiency value and the significant level. Finally， numerical experiments were presented to illustrate the validity of the model.

Key wordsdata envelopment analysis（DEA）； undesirable outputs； stochastic

1引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（data envelopment analysis，DEA），是數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)和計算機(jī)科學(xué)的一個交叉領(lǐng)域，是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型評價具有多個投入和產(chǎn)出的部門或單位間相對有效性的分析方法[1].傳統(tǒng)DEA模型都是基于確定性問題進(jìn)行研究，但是在實際生活中，由測量、經(jīng)濟(jì)規(guī)律隨機(jī)性等因素的干擾會產(chǎn)生非精確數(shù)據(jù)問題.隨機(jī)DEA主要用于處理具有不確定信息下的同類決策單元的相對績效評價問題，現(xiàn)在越來越受到學(xué)者的重視.Sengupta[2]最先提出了隨機(jī)DEA模型，之后許多學(xué)者使用不同方法對具有隨機(jī)性影響的效率評價問題進(jìn)行了研究.Cooper等[3]提出了機(jī)會約束方法，將約束條件表達(dá)成概率函數(shù)的形式，以此來對隨機(jī)性進(jìn)行分析.Sueyoshi等[4]為了預(yù)測決策單元的未來績效，提出了未來DEA隨機(jī)模型.藍(lán)以信等[5]從理論上對未來DEA隨機(jī)模型的性質(zhì)進(jìn)行了探討.Tosionas等[6]引入貝葉斯后驗概率的方法，對機(jī)會約束DEA模型的評價效率值進(jìn)行統(tǒng)計推斷，并對希臘銀行進(jìn)行了效率評估.Udhayakumar等[7]則將遺傳算法的隨機(jī)模擬與機(jī)會約束方法結(jié)合起來對DEA模型進(jìn)行了研究.

從環(huán)境治理方面考慮，帶有污染性的非期望輸出如廢水、廢氣、廢渣都是不可避免的.國內(nèi)外許多學(xué)者從不同方面對具有非期望產(chǎn)出的評價問題進(jìn)行了研究.Fare等[8]提出了一種非線性的曲線測度評價方法，用“非對稱”的方式處理非期望產(chǎn)出，但是計算上較為復(fù)雜.Zhou等[9]為了對環(huán)境性能進(jìn)行評價，在非期望產(chǎn)出的非參數(shù)DEA效率模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合非徑向Malmquist環(huán)境性能指標(biāo)建立了新模型，對多邊環(huán)境性能進(jìn)行了比較分析.Hua等[10]對非期望產(chǎn)出量做數(shù)據(jù)變換，定義了一個參考集，在保持投入量恒定的前提下對生態(tài)效率進(jìn)行了評價.Hailu等[11]將污染物作為投入指標(biāo)來處理，用DEA模型分析了加拿大的造紙工業(yè)的環(huán)境效率.許平等[12]結(jié)合生產(chǎn)可能集建立了徑向和非徑向的具有非期望產(chǎn)出的模型，并對兩種模型的效率值大小、相對有效性等問題進(jìn)行了證明.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 32卷第3期

朱佳欣等：具有非期望產(chǎn)出的隨機(jī)DEA模型研究

以上學(xué)者都是從隨機(jī)方面或者非期望產(chǎn)出方面來考慮效率評價問題.將兩者結(jié)合起來，將非期望產(chǎn)出作為負(fù)期望產(chǎn)出進(jìn)行處理，在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上提出了具有非期望產(chǎn)出的隨機(jī)DEA模型.利用機(jī)會約束規(guī)劃將模型轉(zhuǎn)化為確定形式，并對確定形式的模型最優(yōu)值的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行探討，說明了最優(yōu)值與期望效率值、顯著性水平之間的關(guān)系.最后用數(shù)值模擬驗證了該模型的有效性.endprint

2模型描述

假設(shè)有n個決策單元，DMUj（j=1，2，…n）為第j個決策單元，它的投入、期望產(chǎn)出、非期望產(chǎn)出向量分別為xj=（x1j，…，xmj）T，j=（1j，…，sj）T，j=（1j，…，rj）T，j=1，…，n.

其中，m表示投入量的個數(shù)，投入是精確數(shù)據(jù)；s和r分別表示期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出的個數(shù)，期望產(chǎn)出和非期望產(chǎn)出是隨機(jī)數(shù)據(jù).為了方便起見，記DMUj0為DMU0，則DMUj0的投入量、期望產(chǎn)出量和非期望產(chǎn)出量分別記為xj0=x0，yj0=y0，zj0=z0，1≤j0≤n.

借鑒隨機(jī)DEA期望值模型，可得到第j01≤j0≤n個決策單元對應(yīng)的具有非期望產(chǎn)出的隨機(jī)DEA期望值模型（I）：

maxE∑sp=1μpp0-∑rq=1ωqq0∑mi=1υixi0

s.t.P∑sp=1μppj-∑rq=1ωqqj∑mi=1υixij≤β≥1-αμp≥0，ωq≥0，υi≥0，j=1，…，n；p=1，…，s；q=1，…，r；i=1，…，m.

其中，E·表示期望值，表示概率.在傳統(tǒng)DEA模型中，通常要求決策單元產(chǎn)出的組合與投入的組合之比，即效率值不大于1.為了更具一般性，在本文模型中，要求決策單元DMUj在顯著性水平α下所得的隨機(jī)效率不大于β.β∈0，1代表決策單元的期望效率水平，由決策者根據(jù)外部條件來進(jìn)行限制.α∈0，1表示產(chǎn)出的組合與投入的組合之比大于β的可能性，可以當(dāng)作一個風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)，1-α則是代表滿足約束條件的可能性.易知，當(dāng)β=1，α=0時，約束條件的形式與傳統(tǒng)DEA模型一致.

利用CharnrsCooper變換，原模型可以改寫成模型（II）：

maxE∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0

s.t.∑mi=1vixi0=1；P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj≤β∑mi=1vixij≥1-α；up≥0，wq≥0，vi≥0，j=1，…，n；p=1，…，s；q=1，…，r；i=1，…，m.

為了讓模型計算具有可行性，下面利用機(jī)會約束規(guī)劃的概念將模型（II）轉(zhuǎn)化成確定形式.模型中期望產(chǎn)出變量pj、非期望產(chǎn)出變量qj都是隨機(jī)變量。假設(shè)隨機(jī)變量pj可以表示為pj=pj+bpjε，p=1，…，s；j=1，…，n，pj是pj的期望，bpj是pj的標(biāo)準(zhǔn)差；qj表示為qj=qj-cqjε（q=1，…，r；j=1，…，n），qj是qj的期望，cqj是qj的標(biāo)準(zhǔn)差.由于隨機(jī)干擾來源于數(shù)據(jù)，由中心極限定理可知，大量數(shù)據(jù)通常滿足于正態(tài)分布，故假設(shè)ε服從正態(tài)分布N0，σ2.由上面假設(shè)，將目標(biāo)函數(shù)表示成

E∑sp=1uppo-∑rq=1wqq0

=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0.（1）

另外，約束條件

P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj≤β∑mi-1vixij≥1-αj的等價形式為

P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj-EjVj≤β∑mi-1vixij-EjVj≥1-αj，j=1，…，n.

其中，Ej=∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj，

Vj=∑sp=1upbpj+∑rq=1wqcqj2σ2.

定義一個新變量

zj=∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj-EjVj， 顯然，zj服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則約束條件寫成Pzj≤β∑mj=1vixij-EjVj≥1-α，j=1，…，n，轉(zhuǎn)化成

β∑mi-1vixij-EjVj≥F-11-α.（2）

其中F表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，F(xiàn)-1為其逆函數(shù).將（1） （2）代入模型（II）中可得模型（III）：

maxM0=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，（3）

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α）+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α）≥0，

up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.（4）

定義1 對于任意DMU0，若有M0<β，則稱DMU0在期望效率β下是無效的.

定義2 對于任意DMU0，若有M0=β，則稱DMU0在期望效率β下是有效的.

定義3 對于任意DMU0，若有M0>β，則稱DMU0在期望效率β下是超有效的.

定理1 模型（III）存在可行解，且關(guān)于最優(yōu)值M有以下結(jié)論：

1）當(dāng)0<α<0.5時，M<β對所有決策單元恒成立.

2）當(dāng)α=0.5時，M

SymbolcB@ β對所有決策單元恒成立.

3）當(dāng)0.5<α<1時，M≥β對某些決策單元成立.

證明先證明存在可行解.令v*=x0‖x0‖2≥0，u*=u*1，0，…，0T≥0，u*1=min1≤j≤nv*Tβxj1j+b1jσF-11-α>0，w*=（0，…，0）≥0，則有v*Tx0=xT0‖x0‖2x0=1，式（3）成立.

又因為

∑mi=1v*iβxij-∑sp=1u*ppj+bpjσF-11-α+∑rq=1w*qqj-cqjσF-11-α=∑mi=1v*iβxij-u*11j+b1jσF-11-α≥0，

式（4）成立，故u*，v*，w*是原模型的可行解.證畢.

1）當(dāng)0<α<0.5時，有F-11-α>0.當(dāng)j=j0時，由式（4）可知

β≥

∑sp=1up（p0+bp0σF-1（1-α））-∑rq=1wq（q0-cq0σF-1（1-α））∑mi=1vixi0.endprint

又因為∑mi=1vixi0=1，故

β≥∑sp=1up（p0+bp0σF-1（1-α））

-∑rq=1wqq0-cq0σF-11-α.

由F-11-α>0，知

∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0

<∑sp=1upp0+bp0σF-11-α

-∑rq=1wqq0-cq0σF-11-α≤β.

再由j0的任意性可知，對所有決策單元，M<β恒成立.證畢.

2）當(dāng)α=0.5時，由正態(tài)分布函數(shù)逆函數(shù)的性質(zhì)，F(xiàn)-11-α=F-10.5=0，易知對所有決策單元均有M≤β成立.證畢.

3）假設(shè)DMU0在α=0.5下存在一組最優(yōu)解u*，v*，w*使最優(yōu)值滿足M0=β.

此時F-11-α=F-10.5=0，模型（Ⅲ）化成

maxM0=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+∑rq=1wqqj≥0，

up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，

p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.

當(dāng)0.5<α<1時，由F-11-α

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-11-α+∑rq=1wqqj-cqjσF-11-α>∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+∑rq=1wqqj≥0.

即式（4）成立，因此u*，v*，w*是模型（III）在0.5<α<1時的一組可行解，此時目標(biāo)值為M0=β.假設(shè)當(dāng)0.5<α<1時，DMU0在模型（III）下的最優(yōu)值為M，有M≥M0=β.證畢.

定理2在模型（III）中，當(dāng)期望效率β保持不變時，最優(yōu)值M隨著α的增大而增大.

證明設(shè)0<α1<α2<1，有

F-11-α2

α1對應(yīng)的模型（IV）為

max∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α1）

+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α1）≥0.

α2對應(yīng)的模型（V）為

max∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，s.t∑mi=1vixi0=1，∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α2）+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α2）≥0，up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.

記M01和M02分別為模型（IV）和（V）的最優(yōu)值，假設(shè)u*，v*，w*是模型（IV）的最優(yōu)解.由

F-11-α2

定理3在模型（III）下，當(dāng)顯著性水平α保持不變時，最優(yōu)值M隨著β的增大而增大.

證明與定理2類似，此處略.

3結(jié)束語

將隨機(jī)DEA模型推廣到具有非期望產(chǎn)出的問題，建立的模型（I）是具有非期望產(chǎn)出的隨機(jī)DEA模型，并結(jié)合機(jī)會約束的相關(guān)知識得出了確定型模型（III）.對確定型模型（III）的可行性進(jìn)行了分析，對不同顯著性水平下模型最優(yōu)值與期望效率值之間的關(guān)系進(jìn)行了研究.由定理2和定理3知，固定顯著性水平值和期望效率值中任意一個，最優(yōu)值都隨著另外一個指標(biāo)的增大而增大，這為決策者在實際中對決策單元進(jìn)行評價時提供了更多有效信息.最后的數(shù)值模擬也進(jìn)一步驗證了模型的可行性和結(jié)論的正確.

參考文獻(xiàn)

[1]魏權(quán)齡.評價相對有效性的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型-DEA和網(wǎng)絡(luò)DEA[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2012.

[2]J K Senguptga. Efficiency measurement in stochastic inputoutput system[J]. International Journal of Systems Science，1982，13（2）：273-287.

[3]W W COOPER， H DEING， Z M HUANG， et al. Chance constrained programming approaches to technical efficiencies and inefficiencies in stochastic data envelopment analysis[J]. Journal of the Operational Research Society，2002，53（12）：1347-1356.

[4]T SUEYOSHI. Stochastic DEA for restructure strategy： an apportionto Japanese petroleum company[J]. Omega，2000，28（4）：385-398.

[5]藍(lán)以信，王應(yīng)明.隨機(jī)DEA期望值模型的一些性質(zhì)[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報，2014，18（2）：29-39.

[6]E G TSIONAS， E N PAPADAKIS. A Bayesian approach to statistical inference in stochastic DEA[J]. Omega，2010（38）：309-314.

[7]A UDHAYAKUMAR， V CHARLES， K MUKESH. Stochastic simulation based genetic algorithm for chance constrained data envelopment analysis problems[J]. Omega，2011（39）：387-397.

[8]R FARE， S GROSSKOPF， C A K LOVELL，et al. Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a non-parametric approach[J] . The Review of Economics and Statistics，1989，71（1）：90-98.

[9]P ZHOU， K L POHA， B W ANGA. A nonradial DEA approach to measuring environmental performance[J]. European Journal of Operational Research， 2007， 178（1）： 1-9.

[10]Z S HUA， Y BIANA， L LIANGA. Ecoefficiency analysis of paper mills along the Huai River： An extended DEA approach[J]. Omega： The International Journal of Management Science， 2007， 35（5）： 578-587.

[11]A HAILU， T S VEEMAN. Nonparametric productivity analysis with undesirable outputs： An application to the Canadian pulp and paper industry[J]. American Journal of Agricultural Economics，2001（83）：605-616.

[12]許平，孫玉華.非期望產(chǎn)出的DEA效率評價[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（1）：90-93.