不完全信息四人幫模型的建設(shè)工程競(jìng)標(biāo)合作均衡分析

李海霞+等

摘要建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)決策中引入博弈論的精髓在于博弈中的一個(gè)理智決策者必須以考慮其他參與者的反應(yīng)為基礎(chǔ)來確定自身最理智的投標(biāo)報(bào)價(jià)方案.應(yīng)用信息不完全重復(fù)博弈的KMRW“四人幫”聲譽(yù)模型原理，通過設(shè)定兩方競(jìng)標(biāo)者的非理智概率q，建立建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)中兩方投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)的重復(fù)博弈模型，并對(duì)模型的精煉貝葉斯均衡進(jìn)行求解及分析，得出兩投標(biāo)者在有限次重復(fù)博弈中的競(jìng)爭(zhēng)合作規(guī)律，為企業(yè)競(jìng)標(biāo)把握競(jìng)爭(zhēng)合作規(guī)律提供理論參考.

關(guān)鍵詞建筑經(jīng)濟(jì)學(xué)；KMRW模型；博弈論；投標(biāo)報(bào)價(jià)；均衡分析

中圖分類號(hào)F224.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Construction Project Bid Cooperation Equilibrium

Analysis on KMRW Model of Incomplete Information

LI Haixia， WANG Zuhe， XIU Yingchang， WANG Genxia

（College of Economics and Mangement， Shandong University

of Science and Technology， Qingdao，Shandong266590， China）

AbstractBased on the principle of Game theory of KMRW reputation model with incomplete information， this paper established repeated dynamic game model of construction project bidding between two bidders. By setting irrational probability of two bidders， we analyzed and solved the perfect Bayesian equilibrium of the model and got the principle of the balance of cooperation between two bidders in a finite number of repeated Game theory.

Key wordsBuilding economics；KMRW model；Game theory；bid；equilibrium analysis

1引言

博弈論作為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)分支，主要應(yīng)用于分析競(jìng)爭(zhēng)形勢(shì)，競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果往往不僅是個(gè)人選擇和機(jī)會(huì)的結(jié)果，還依賴于其他參與者的決策.因此競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果是由所有參與者的行為決定的，每個(gè)競(jìng)爭(zhēng)參與者都試圖得到其他參與者選擇信息，再做出自己的最佳策略.建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)決策中，投標(biāo)者競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)鍵是智勝對(duì)手，引入博弈論的精髓在于博弈中的一個(gè)理智決策者必須以考慮其他參與者的反應(yīng)為基礎(chǔ)來確定自身最理智的投標(biāo)報(bào)價(jià)方案.因此博弈論適用于研究投標(biāo)報(bào)價(jià)決策問題.

研究結(jié)果表明[1]，在完全信息條件下，只要是有限次的博弈重復(fù)，不論重復(fù)的次數(shù)是多少，都能出現(xiàn)唯一的子博弈精煉納什均衡，即所有參與者在每次博弈中都選擇靜態(tài)策略（假設(shè)存在唯一靜態(tài)博弈的精煉納什均衡），也即參與人在有限次重復(fù)博弈條件下不會(huì)選擇合作.但在實(shí)際投標(biāo)活動(dòng)中經(jīng)常存在投標(biāo)者之間相互串標(biāo)，導(dǎo)致投標(biāo)價(jià)大幅提高或者出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)者以低于其成本中標(biāo)的結(jié)果.可見應(yīng)用完全信息條件下靜態(tài)博弈來研究投標(biāo)者的報(bào)價(jià)決策有一定的局限性，不完全符合實(shí)際狀況.

基于博弈論的投標(biāo)報(bào)價(jià)模型的基本假設(shè)是所有投標(biāo)者的決策都是針對(duì)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手決策行為直接反映并且所有投標(biāo)者的決策都是其最優(yōu)報(bào)價(jià)決策[2].在求解最優(yōu)報(bào)價(jià)過程中，通常對(duì)成本分布函數(shù)的分布做種種假設(shè)[3]，在實(shí)際中要想獲取競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的成本分布函數(shù)非常困難.因此通過基于博弈論的投標(biāo)報(bào)價(jià)策略來預(yù)測(cè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的報(bào)價(jià)決策困難很大.鑒于此，通過基于博弈論原理來研究投標(biāo)過程中競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手之間的合作均衡規(guī)律.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 32卷第3期

李海霞等：不完全信息四人幫模型的建設(shè)工程競(jìng)標(biāo)合作均衡分析

2競(jìng)標(biāo)博弈模型的構(gòu)建

2.1精煉貝葉斯納什均衡

博弈論中先行動(dòng)者為了不讓后行動(dòng)者利用其行為結(jié)果，在行動(dòng)之前都會(huì)設(shè)法傳遞對(duì)自己最有利的信息，避免將對(duì)自己不利的信息傳遞出去.因此投標(biāo)者之間的競(jìng)爭(zhēng)決策是信息不完全的動(dòng)態(tài)博弈過程. 研究結(jié)果已經(jīng)證明“四人幫”聲譽(yù)模型（Kreps，Mailgram，Robbers and Wilson Reputation model，1982，簡(jiǎn)稱KMRW）可以有效的解決信息不完全條件下的重復(fù)博弈問題[4-5]，可以利用信息不完全有限次重復(fù)博弈的“四人幫”聲譽(yù)模型來研究建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)中投標(biāo)者之間是如何建立競(jìng)爭(zhēng)與合作的均衡關(guān)系.

若設(shè)定投標(biāo)者1具有大于0的概率q是不理智的，即在競(jìng)標(biāo)報(bào)價(jià)過程中會(huì)出現(xiàn)不論對(duì)方報(bào)價(jià)如何決策，投標(biāo)者1都有可能出現(xiàn)不理智的任何報(bào)價(jià)策略；投標(biāo)者2對(duì)投標(biāo)者1的這一不理智概率q是已知的，已知的方法是通過使用貝葉斯法則觀察投標(biāo)者1的行為中獲取的.在一般的“四人幫”模型中，對(duì)所有參與者的屬性的推斷均體現(xiàn)在他的信譽(yù)之

中[6].舉例而言，如果在向銀行貸款的過程中一個(gè)企業(yè)向來有按時(shí)還貸的良好信譽(yù)，當(dāng)在建立企業(yè)與銀行之間的信貸博弈模型并考慮劃分企業(yè)的屬性時(shí)，銀行對(duì)該企業(yè)向來能做到按時(shí)還款這種屬性賦予一個(gè)正的條件概率.

精煉貝葉斯均衡是一個(gè)先驗(yàn)戰(zhàn)略組合m*（t）=（m1*（t1），...，mn*（tn））和一個(gè)貝葉斯后驗(yàn)概率組合q=（q1，…，qn）的組合，需要滿足以下條件：

1）對(duì)于每一個(gè)參與者i，在所有的信息集A里邊，m*i（m-i，ti）∈argmax∑qi（t-idh-i）ui（mi，m-i，ti）；endprint

2）qi（t-i，dh-i）是利用貝葉斯法則從先驗(yàn)概率qi（t-i，ti）、條件dh-i和最優(yōu)策略m-i*（）中得到的.

2.2模型的基本假設(shè)

1）假設(shè)投標(biāo)者有理智和非理智兩種屬性，每個(gè)投標(biāo)者在投標(biāo)前均清楚自己的屬性，而不清楚對(duì)手的屬性，但嚴(yán)格意義上來講這種信息不完全條件實(shí)際上是相仿的信息不完全條件，所以投標(biāo)者會(huì)對(duì)對(duì)手可能的屬性有一個(gè)主觀判斷.

2）在投標(biāo)中，投標(biāo)者與招標(biāo)人之間不存在約束力關(guān)系，即各自獨(dú)立作出各方的決策.

3）投標(biāo)者的總利潤(rùn)是所有時(shí)段博弈利潤(rùn)貼現(xiàn)后的現(xiàn)值之和.

4）業(yè)主沒有對(duì)于哪一個(gè)投標(biāo)者有特殊偏愛，即所有投標(biāo)者面臨的風(fēng)險(xiǎn)是等量的.

5）本文中假設(shè)的中標(biāo)方式是最低價(jià)中標(biāo)方式.

2.3模型的博弈要素分析

1）參與人

目前雙人博弈已經(jīng)具備了比較成熟的理論和算法，而對(duì)于參與者人數(shù)n>2的多人博弈而言，計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于雙人博弈，求解過程更為困難.鑒于此，為計(jì)算簡(jiǎn)便本文將實(shí)際問題中的大于三人的博弈轉(zhuǎn)化為雙人博弈來處理，也即將所研究的一個(gè)投標(biāo)者定義為博弈者1，然后利用Friedman投標(biāo)報(bào)價(jià)模型中的平均對(duì)手法則將其余n-1個(gè)投標(biāo)者進(jìn)行虛擬等值定義為博弈者2.

2）投標(biāo)策略及利潤(rùn)函數(shù)

為了減少計(jì)算量，設(shè)定投標(biāo)者的投標(biāo)策略集合為高投標(biāo)價(jià)或低投標(biāo)價(jià)，投標(biāo)者在兩種策略下的利潤(rùn)組合如表1所示.

3競(jìng)標(biāo)博弈模型精煉貝葉斯納什均衡的求解

3.1投標(biāo)者之一為完全理智的情形

1）兩投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)的博弈順序

首先假設(shè)投標(biāo)者1有具有非理智屬性的條件概率為q，對(duì)應(yīng)的理智屬性條件概率為1-q.為計(jì)算簡(jiǎn)單，假設(shè)投標(biāo)者2是完全理智的.理智屬性的投標(biāo)者1（以下簡(jiǎn)稱Z1）可以任意選擇“高投標(biāo)價(jià)”或“低投標(biāo)價(jià)”.在對(duì)模型進(jìn)行分析時(shí)，假設(shè)非理智屬性投標(biāo)者1（以下簡(jiǎn)稱FZ1）只有一種戰(zhàn)略：勢(shì)不兩立戰(zhàn)略.這種假設(shè)下一旦他偏離了“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略，就立即暴露出他是理智的.有了這個(gè)假設(shè)，就可以集中精力對(duì)理智屬性投標(biāo)者2（以下簡(jiǎn)稱Z2）的戰(zhàn)略選擇進(jìn)行分析.對(duì)于FZ1，他的戰(zhàn)略是：開始選擇“高投標(biāo)價(jià)”，此后在y時(shí)段選擇Z2在y-1時(shí)段的選擇（即選擇Z2上次的投標(biāo)策略）.

在上述假設(shè)條件下，“四人幫”聲譽(yù)模型下兩投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)有如下的博弈順序：

①投標(biāo)者1知道自己的屬性，投標(biāo)者2只知道投標(biāo)者1屬于理智和非理智屬性的概率.

②得到第一時(shí)段博弈結(jié)果之后，進(jìn)入第二時(shí)段博弈；得到第二時(shí)段博弈結(jié)果之后，進(jìn)入第三時(shí)段博弈.如此重復(fù)博弈Y 次.

③所有時(shí)段博弈的利潤(rùn)的現(xiàn)值之和作為兩個(gè)投標(biāo)者在博弈中的總利潤(rùn)（本文假設(shè)現(xiàn)值系數(shù)θ=1）.

完全信息條件下重復(fù)博弈中兩個(gè)投標(biāo)者的屬性都是“理智的”，每個(gè)投標(biāo)者在開始時(shí)段博弈中的選擇都是合作的“高投標(biāo)價(jià)”行為.此時(shí)意味著2個(gè)投標(biāo)者都有著合作的信譽(yù)，他們都采取一種 “勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略：選擇合作一直到競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手在y時(shí)段選擇“低投標(biāo)價(jià)”（對(duì)抗）為止，然后從y+1時(shí)段開始一直到Y(jié)都選擇“低投標(biāo)價(jià)”（對(duì)抗）.勢(shì)不兩立戰(zhàn)略代表著一種“對(duì)對(duì)手的背信棄義行為絕不原諒”的原則.隨著對(duì)手的第一次選擇“低投標(biāo)價(jià)”的背叛使得這種合作的信譽(yù)終止.但是在“四人幫”模型中，投標(biāo)者1因“理智”屬性的概率是1- q，就存在概率非理智概率q去采取“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略，即開始選擇“高投標(biāo)價(jià)”（合作），以后己方采取的方案就是對(duì)方上次所選擇的方案.這樣合作的可能就出現(xiàn)在重復(fù)博弈中.至少在開始的第一時(shí)段投標(biāo)者1的合作信譽(yù)可以通過條件概率q表現(xiàn)出來，因?yàn)闂l件概率為q的非理智屬性投標(biāo)者1開始的選擇高投標(biāo)價(jià)體現(xiàn)了合作愿望.

2）博弈重復(fù)兩次的情形

用L代表“低投標(biāo)價(jià)”，即 L可以表示對(duì)抗的行為；用H 代表“高投標(biāo)價(jià)”，即H 表示合作行為.現(xiàn)在從最后一個(gè)時(shí)段（y=2）開始逆向倒退進(jìn)行討論.在最后博弈時(shí)段，因?yàn)長(zhǎng)嚴(yán)優(yōu)于H，所以Z2和Z1都會(huì)選擇L報(bào)價(jià).而這時(shí)FZ1的選擇依賴于Z2在第一時(shí)段的選擇，不妨設(shè)選R（R可以是L或H）.退到第一時(shí)段，根據(jù)假設(shè)，因?yàn)镕Z1采取“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略，所以FZ1開始應(yīng)選擇H（“高投標(biāo)價(jià)”）； Z1必然選擇他的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略L，而且他這時(shí)的選擇不會(huì)影響Z2在第二時(shí)段的選擇.這樣，討論的中心問題就集中到Z2在第一時(shí)段的選擇R到底是L還是H上.因?yàn)樗倪x擇直接影響到FZ1在第二時(shí)段的選擇.兩時(shí)段博弈進(jìn)行情況如表2所示.對(duì)于第1時(shí)段博弈收益結(jié)果可以由圖1所示的擴(kuò)展式中表述.

如果Z2選擇R=H，也就是選擇合作行為，這時(shí)他的期望利潤(rùn)為

q×G2HH+（1-q）×G2LH

=（G2HH-G2LH）q+G2LH. （1）

由于Z2在第一時(shí)段選擇了H ，因而在第二時(shí)段中，F(xiàn)Z1和Z1以及Z2的選擇依次是H、L、L.因此，在第二時(shí)段中，Z2的期望利潤(rùn)為

q×G2HL+（1-q）×G2LL

=（G2HL-G2LL）q+G2LL （2）

這樣，由于前面設(shè)定θ=1，兩時(shí)段博弈Z2總的期望利潤(rùn)就是

G2HH-G2LHq+G2LH+（（G2HL-G2LL）q+G2LL）=（G2HH+G2HL-G2LH-G2LL）q+（G2LH+G2LL）. （3）

類似地，如果Z2在第1時(shí)段選擇R=L，也就是選擇對(duì)抗行為，這時(shí)他的期望利潤(rùn)為

q×G2HL+（1-q）×G2LL

=（G2HL-G2LL）q+G2LL. （4）

這樣，Z2在兩時(shí)段博弈的總期望利潤(rùn)就是

（G2HL-G2LL）×q+G2LL+G2LL

=（G2HL-G2LL）×q+2×G2LL. （5）endprint

因此，當(dāng)不等式

（G2HH+G2HL-G2LH-G2LL）q+（G2LH+G2LL）≥（G2HL-G2LL）×q+2×G2LL成立時(shí)，即

q≥（G2LL-G2LH）/（G2HH-G2LH）. （6）

Z2在重復(fù)博弈的開始時(shí)段（第一時(shí)段）將會(huì)選擇R=H.這表明，如果非理智屬性的投標(biāo)者1的條件概率q≥G2LL-G2LH/G2HH-G2LH，Z2將會(huì)在第一時(shí)段博弈選擇H ，也就是選擇合作行為.這也即說明，Z2選擇合作時(shí)段的數(shù)量只與條件概率q有關(guān).

在前文的討論中，只對(duì)投標(biāo)者1的屬性進(jìn)行了兩種假設(shè)，投標(biāo)者2只有一種屬性，屬于單邊非對(duì)稱信息假設(shè).這樣建立的合作均衡不屬于精煉貝葉斯納什均衡.這是因?yàn)?，如果Z2在y=Y-1 時(shí)段不選擇H，到了最后時(shí)段（y=Y），F(xiàn)Z1跟著也不會(huì)選擇H.這樣，y=Y-2 與y=Y-1組成的兩時(shí)段博弈，Z2在y=Y-2 時(shí)段也不會(huì)選擇H.依次類推，沒有任何一個(gè)時(shí)段上理智的Z2選擇H ，Z1也不會(huì)選擇嚴(yán)劣戰(zhàn)略H.唯一的精煉貝葉斯納什均衡是時(shí)段博弈納什均衡（L，L），即（低投標(biāo)價(jià)，低投標(biāo)價(jià)）重復(fù)Y-1次，這與在完全信息情況基本一樣，區(qū)別只有Z1在第1時(shí)段選擇了H .即信息完全和單邊非對(duì)稱信息不完全的有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競(jìng)標(biāo)出現(xiàn)合作行為的概率為0.

3.2兩投標(biāo)者都具有大于零的概率是非理智的情形

前面討論的投標(biāo)者1具有非理智概率q而投標(biāo)者2完全理智的情形，本節(jié)討論投標(biāo)者1和投標(biāo)者2均具有非理智概率q的情形，即本節(jié)討論非理智投標(biāo)者2的期望利潤(rùn).根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，在兩投標(biāo)者信息不完全有限次重復(fù)博弈中，非理智屬性投標(biāo)者選擇的戰(zhàn)略為“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略改換為“苛刻戰(zhàn)略”，但最后產(chǎn)生的均衡是一樣的.為了論證方便，也將非理智投標(biāo)者選擇的戰(zhàn)略由“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略改換為“苛刻戰(zhàn)略”，即“開始第一時(shí)段選擇H（合作），合作直到對(duì)手選擇L（對(duì)抗），然后一直以牙還牙選擇L.”

所以如果對(duì)手是FZ1，F(xiàn)Z2的期望利潤(rùn)是G2HH×Y，兩方均不會(huì)做出背叛選擇（因?yàn)榉抢碇菍傩酝稑?biāo)者選擇“苛刻戰(zhàn)略”，在y=1時(shí)段，只會(huì)選擇H）.即一直處于合作狀態(tài).

如果對(duì)手Z1在y=1時(shí)段選擇L，F(xiàn)Z2在y=1時(shí)段選擇H，從y=2時(shí)段開始，兩個(gè)投標(biāo)者都將選擇L，直到最后一個(gè)時(shí)段（y=Y）.這是一個(gè)均衡：從y=2時(shí)段開始，F(xiàn)Z2選擇L是根據(jù)“苛刻戰(zhàn)略”報(bào)復(fù)Z1；Z1的最優(yōu)選擇總是嚴(yán)優(yōu)戰(zhàn)略L.這種情況下FZ2的期望利潤(rùn)是：

G2LH+G2LL+...+G1LL=G2LH+G2LL（Y-1）. （7）

考慮到投標(biāo)者1屬于兩種屬性的條件概率分別為q 與1-q，這樣FZ2從這一戰(zhàn)略得到的期望利潤(rùn)應(yīng)為：

q×（G2HH×Y）+（1-q）×（G2LH+G2LL（Y-1））=qY（G2HH-G2LL）+Y×G2LL+G2LH-G2LL-q×G2LH+q×G2LL. （8）

考慮投標(biāo)者2，如果他在第一時(shí)段（y=1）上選擇L，會(huì)暴露他是理智屬性.這時(shí)投標(biāo)者2的期望利潤(rùn)為：

（1-q）×（G2LL×Y）+q×（G2HL+G2LL（Y-1））. （9）

比較式（8）與式（9）的結(jié)果，對(duì)于投標(biāo)者2，第二戰(zhàn)略優(yōu)于第一戰(zhàn)略的條件為：

Y>qG2HL+（1-2q）G2LL-（1-q）G2LHq（G2HH+G2LL）. （10）

這個(gè)不等式結(jié)果表明 ，只要Y大于式（10）右邊取整后的Y*，則可以說明從一開始就選擇L（對(duì)抗）不是投標(biāo)者2的最優(yōu)戰(zhàn)略.由上式可以看出，q越小，Y*取值越大.也就是說，對(duì)手理智的概率與選擇合作的可能性具有正相關(guān)性.不論q多么小，總存在一個(gè)Y*，使得對(duì)所有的Y>Y* ，投標(biāo)者2在y=1時(shí)段選擇L不是最優(yōu)戰(zhàn)略，最優(yōu)戰(zhàn)略為選擇高報(bào)價(jià)（合作戰(zhàn)略）.根據(jù)對(duì)稱性原理，類似的結(jié)論對(duì)投標(biāo)者1也成立.這個(gè)結(jié)果表明，對(duì)于非理智投標(biāo)者，即便存在微小的非理智概率，如果跟對(duì)手達(dá)到足夠多的重復(fù)博弈次數(shù)Y，合作成為最優(yōu)戰(zhàn)略.

4結(jié)論

應(yīng)用信息不完全條件下有限次重復(fù)博弈的“四人幫”聲譽(yù)模型原理，建立建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)中兩投標(biāo)者進(jìn)行競(jìng)標(biāo)的重復(fù)博弈模型，并求解及分析報(bào)價(jià)模型的精煉貝葉斯納什均衡，得到如下結(jié)論.

1）信息完全有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競(jìng)標(biāo)出現(xiàn)合作行為的概率為0，而信息不完全有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競(jìng)標(biāo)存在合作的均衡規(guī)律.

2）兩投標(biāo)者在有限次重復(fù)博弈競(jìng)標(biāo)中，如果每一個(gè)投標(biāo)者都具有非理智的概率q>0，不論q多小，只要進(jìn)行了足夠多的博弈重復(fù)次數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)合作均衡的局面，并且對(duì)抗非合作時(shí)段的總數(shù)與博弈重復(fù)的次數(shù)無關(guān)，而只與這種非理智的概率有關(guān).

3）對(duì)于一方投標(biāo)者，競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的理智概率決定了選擇與其合作的可能性.不理智的概率越小，合作的時(shí)段越會(huì)提前.

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