基于極值符號序列分析的EMD端點效應處理方法*

徐卓飛， 劉　凱

（西安理工大學機械與精密儀器工程學院 西安，710048）

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基于極值符號序列分析的EMD端點效應處理方法*

徐卓飛1， 劉凱1

（西安理工大學機械與精密儀器工程學院 西安，710048）

針對經(jīng)驗模式分解（Empirical mode decomposition，簡稱EMD）的端點效應提出一種新的抑制方法?？紤]到極值序列在EMD分解的包絡線形成中占有主導地位，將信號局部極值序列進行符號化，根據(jù)符號特征進行特征匹配，在信號兩端依據(jù)符號序列特征匹配結果進行符號序列拓延與對應信號還原，對拓延還原后的信號進行EMD分解以實現(xiàn)端點效應抑制。筆者所提方法對于隨機信號與周期信號都有著明顯的抑制效果，通過對仿真信號和軸承故障信號端點效應的分析驗證了方法的正確性。研究與ARMA模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、鏡像拓延等常見方法進行了對比，筆者所提方法的各分量有效值指標均值為19.64％，低于其他方法，說明對低頻分量有著更好的抑制效果。

經(jīng)驗模式分解；端點效應；信號拓延；波形特征匹配；符號序列

引 言

經(jīng)驗模式分解于20世紀90年代由Huang等［1-2］提出，它是一種具有自適應性的時頻分析方法，可根據(jù)信號的局部時變特征進行自適應的時頻分解，將信號分解成若干個本征模式分量（Intrinsic mode function，簡稱IMF），每個分量反映出信號的一種特有頻率信息。EMD具有良好的高頻分辨率與自適應性，若對IMF分量進行Hilbert-Huang變換獲取Hilbert譜，可準確描述信號的能量隨時間和頻率的變化規(guī)律，相關研究內(nèi)容已廣泛應用于圖像處理技術、機械測試與故障診斷、材料結構損傷檢測、地球物理學等領域。

在機械故障診斷中，振動信號是最主要的特征來源，EMD與H HT變換對于振動信號的特征提取有著非常重要的意義，但由于其采用了三次樣條曲線進行插值，使得信號端點處極值點不確定，信號兩端往往會產(chǎn)生發(fā)散現(xiàn)象。隨著分解過程逐步進行，這種發(fā)散會逐漸向內(nèi)污染整個信號序列，進而使分解結果失真并失去實際意義，這就是所謂EMD的端點效應，對于較短低頻信號序列影響尤為明顯［3-5］。

在EMD的實際應用中，需要有效地抑制端點效應，同時還應該兼顧信號本身的趨勢，避免扭曲信號端部的特征，Huang等在提出EMD方法的同時，還提出了根據(jù)特征波對原始數(shù)據(jù)進行延拓以抑制端點效應的方法，該特征波是由信號兩端2個連續(xù)的極值點及其頻率與幅值所決定，該方法已申請了專利［6］。近年來相關學者對此問題進行了深入研究，一般認為端點效應的抑制需要合理有效地拓延信號，目前主要拓延方式有信號序列拓延、極值點拓延、鏡像拓延等：楊建文等［7-8］利用時變參數(shù)（ARMA）模型對信號進行了預測和拓延，類似方法對于隨機性較強的信號效果較差，受限于模型復雜度和參數(shù)的不確定性［9］；Cheng Junsheng等［3］利用支持向量機對信號序列進行了邊界的拓延，但支持向量機參數(shù)和核函數(shù)的變化會影響結果，規(guī)律并不易掌握［10］；蔡艷平等［9］結合混沌相空間重構理論，提出一種基于改進型Lyapunov指數(shù)邊界拓延方法，對于無規(guī)律具有混沌特征的非平穩(wěn)信號端點效應抑制更具優(yōu)勢；除了拓延方法外，祁克玉等［11-12］提出了基于余弦函數(shù)窗的端點效應抑制方法，通過余弦窗與原信號的內(nèi)積運算，對信號兩端處進行處理，這樣一來保留了內(nèi)部大部分信號的正確性，因此在低頻段分量進行分析時，該方法的效果優(yōu)于信號拓延法，但對較短信號存在局限性，在一定程度上改變了原有的信號；楊斌等［4］利用標準互相關函數(shù)對信號進行拓延，由于拓延信號保持了原始信號的內(nèi)部特征，取得了很好的效果，其研究針對包絡線進行特征匹配，未從信號本身出發(fā)。在實際應用中，計算效率是不能忽略的重要因素，特別對在線信息處理、信號分析等問題，信號拓延的計算效率偏低。因此王學敏等［5］提出了極值平移法，考慮到信號局部極值對于拓延影響效果最為明顯，提出直接利用兩端極值進行拓延，提高了計算效率，但由于忽略了信號內(nèi)部序列，誤差會增大。從上述研究內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，信號拓延依然是抑制EMD端點效應最為普遍的方法，但其中仍存在如下問題：信號拓延則多以信號自身為匹配對象，這樣不但匹配計算量增加，也容易受信號局部異常點的干擾；由于不同信號的周期性與長度都存在較大差異，不同拓延方法往往具有一定的局限性。

考慮到極值序列在EMD包絡線形成中起到主要作用，提出了一種基于符號序列分析的信號拓延方法，以實現(xiàn)端點效應抑制，該方法具有以下特點：a.由于僅對極值特征分析，計算效率會相應提高；b.適用于周期與非周期信號，不受信號長短的限制，只需調節(jié)匹配所用符號特征長度即可實現(xiàn)調節(jié)。主要研究內(nèi)容包括：信號極值序列的符號化、符號化序列的特征匹配、符號序列拓延與信號還原等。拓延信號以原始信號的極值為預測基準，在保證極值走勢正確的前提下，忽略了局部細微變化對于信號拓延的干擾。最后通過仿真混疊信號、軸承故障信號進行了方法的驗證，并在此基礎上實現(xiàn)了基于EMD與HHT相關特征集的故障模式聚類分析。

2 EMD端點效應分析

EMD分解主要過程如下［1］：a.確定信號x（t）的局部極大值序列和局部極小值序列，分別記為xmax和xmin；b.依據(jù)xmax和xmin確定信號x（t）的上下包絡譜及局部均值m（t）=（xmax+xmin）/2；c.信號與局部均值的差記為h1（t）=x（t）-m（t），若h1（t）符合IMF條件，則將其作為x（t）的第1個IMF分量，若不滿足條件，則使x（t）=h1（t），重復上述步驟n次，直至得到第1個基本模式分量c1（t）；d.分解出第1個基本模式分量后，從x（t）中減去c1（t），得到剩余值序列r1（t）=x（t）-c1（t）。重復上述步驟，依次繼續(xù)獲得第2、第3個基本模式分量，記為c2（t），c3（t）等，最后原始信號剩余部分為rn（t），則有

其中：ci（t）為EMD分解得到的各個IMF；rn（t）為信號分解后的余項；i和n為分解次數(shù)。以上步驟b中局部均值是通過對信號極值點進行樣條插值后求均值得到，因此在插值時，上下包絡線兩端并不是由信號數(shù)據(jù)確定，從而產(chǎn)生信號兩端包絡線發(fā)散的現(xiàn)象，進而產(chǎn)生數(shù)據(jù)擬合的誤差；步驟b～d中逐步分解IMF分量的過程中，每次誤差都會累積，逐步向信號的內(nèi)部以及低頻分量傳播，使頻率較低的分量最終失去實際物理意義。

3 基于符號序列分析的端點效應處理方法

信號拓延是抑制端點效應的主要方法，但一般拓延方法不注重信號的大尺度特性，更強調對局部進行預測分析，這樣易被信號中攜帶噪聲干擾，從而影響分解結果；考慮信號的EMD是以局部極值為基準展開的，擬將符號化信號的優(yōu)點引入極值分析，通過極值的符號化序列特征匹配實現(xiàn)信號拓延，之后再進行EMD與HHT變換從而抑制端點效應。

符號時間序列分析是從符號動力學理論、混沌理論以及信息理論基礎上發(fā)展起來的一種分析方法，它根據(jù)一定規(guī)則的閾值函數(shù)，對時間序列進行離散處理，將不同的數(shù)值序列轉化為相異的符號序列［13-15］。所提出端點效應抑制方法技術路線如圖1所示，主要包括原始信號的極值符號化、信號兩端的符號序列匹配搜索與拓延、拓延序列還原等內(nèi)容。

圖1　基于符號序列分析的EMD分析流程Fig.1 The analysis process of EMD based on symbol sequence

3.1原始信號的極值序列符號化

在EMD分解中，極值點對于信號包絡線有著非常重要的影響，針對極值拓延可提高計算效率［5］。在以極值為主要特征進行拓延之前，對其進行符號化處理，以消除局部變化對特征的影響，以保證信號趨勢預測的準確性，選取最為常見的均值二進制序列進行符號化。

極值序列符號化過程如圖2所示。首先，獲取信號的極值序列，將原始信號｛xn｝的局部極大值和局部極小值提取出來組成極值序列｛yn｝，對其進行二進制符號化，以獲取反映時序信號大尺度特征的符號統(tǒng)計特征值，并且降低噪聲對信號的不良影響，在二進制符號化過程中以均值為界，轉化規(guī)則為極值序列｛yn｝經(jīng)過轉換成為二進制符號序列｛Sn｝，分別劃分為兩種符號模式0和1，由于0和1是原始信號局部最大值、最小值和均值之間相互大小關系的體現(xiàn)，這樣就從一個基于局部極值的角度獲得了信號變化趨勢，忽略了其余信號點，故稱其為體現(xiàn)大尺度變化特征。由于振動信號中的確定信號對應的符號編碼呈現(xiàn)大概率值，而隨機噪聲對應的符號編碼呈現(xiàn)小概率值，故這種編碼方法可以減小信號中隨機噪聲的影響從而捕捉信號中大尺度特點。

完成均值符號化后，需要先將｛Sn｝劃分為短序列后再進行編碼，若符號序列長度為L，將由N個0或1連續(xù)構成的單元稱為一個基本編碼單元，詳細過程如圖2所示。如式（3）所示

圖2　原始信號的極值序列符號化Fig.2 The extreme symbolization of original signal sequence

其中：k=1，2，…，L-（N-1）。

由于振動信號中的確定信號對應的符號編碼呈現(xiàn)大概率值，而隨機噪聲對應的符號編碼呈現(xiàn)小概率值，這種編碼方法可以減小信號中隨機噪聲的影響從而捕捉信號中大尺度特點。N的長短選取不同，會影響所提取特征符號是否能夠更精確地描述信號，對于同一個信號而言，N越小則編碼基本單元越短、編碼位數(shù)越長，更突出局部特征；N越大則編碼基本單元越長、編碼位數(shù)越短，更突出整體特征。根據(jù)符號化研究內(nèi)容：進行符號化變換所獲得的符號序列可以較好地區(qū)分原時間序列中的確定結構和動力學噪聲，當Shannon熵有最小值時所確定的段符號序列長度L為最佳，為滿足這一要求并結合相關研究文獻，選N=3時滿足信號拓延要求。編碼過長過短都會導致計算復雜、特征不突出、編碼失效等問題［16-17］。

3.2符號序列的匹配與拓延

標準互相關函數(shù)通過對連續(xù)信號點的計算，可以描述兩段相同長度不同的信號間的相關性，若相關性越高則認為其兩端變化趨勢越接近，所對應的匹配系數(shù)也就越小，故本研究選取標準互相關函數(shù)作為依據(jù)。將極值符號序列兩端邊緣處序列分別截取下來，依次與整個序列進行匹配，以標準互相關函數(shù)作為判定函數(shù)，若w0（x）為從符號序列兩端截取的匹配符號序列，將其和其余符號序列依次進行匹配，每次匹配選取相同長度序列wi（x），記m為w0（x）與wi（x）長度。為了有效地獲取信號的周期性特征，對于周期信號而言，m應當大于信號一個周期所對應的符號編碼序列長度；對于非周期信號而言，m應當大于實際零件或設備的一個工作周期中所采集的信號對應的符號編碼長度；此外，匹配長度需要考慮符號序列本身長度，如果匹配長度較短，考慮的點較少則導致預測可靠性低，反之則可靠性高，但是選取過長則會導致無法匹配。依次計算w0（x）與wi（x）之間的匹配系數(shù)c，如式（4）所示

根據(jù)互相關函數(shù)性質，當c最小時匹配符號序列w0（x）與整個序列中某一段wmin（x）最為接近；之后，選取wmin（x）前后的序列對原序列進行拓延，將兩端拓延序列還原為對應信號；對拓延信號進行EMD分解后，將各個分量兩端拓延部分截去，即可獲得較為準確的IMF分量。

研究所提出方法在符號化過程中強調了對極值點的控制，這樣就忽略了信號非極值部分的變化，從極值序列變化對信號進行了匹配。本方法另一個特點是利用原始信號的某一段進行拓延，所以同時適用于周期信號和非周期信號。對于周期信號而言，所提出方法可根據(jù)其信號極值的周期性變化實現(xiàn)特征匹配，自動測量出信號的周期性并實現(xiàn)信號的正確匹配，可實現(xiàn)周期信號的準確拓延；對于非周期信號，由于該方法最終從信號本身選取一段進行拓延，具有較強的可靠性。

4 周期信號分析

對于周期信號式（5）而言，其由3個余弦信號組成，其頻率分別為50，100和200 Hz，具體如圖3所示，其中采樣數(shù)據(jù)點長度為1 024。

圖3　信號x（t）及各分量信號Fig.3 The signal x（t）and its components

直接對信號x（t）進行EMD分解，結果如圖4（a）所示，對比原始信號分量，分量IMF1-3邊緣處都發(fā)生了嚴重的失真；圖4（b）是經(jīng)過端點效應抑制的結果，各個分量的邊緣發(fā)散現(xiàn)象明顯得到消除，信號更加接近原始分量；c（t）是余項，其大小程度則反映了信號EMD分解之后產(chǎn)生的累積誤差，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過拓延后的信號余項遠小于直接分解的余項。

通過對比仿真分析發(fā)現(xiàn)：由于所提出拓延方法對信號的結構進行了匹配，所以可以準確拓延周期信號，起到端點效應抑制效果，這是非拓延類端點效應抑制方法所無法做到的。故本方法在針對周期信號處理上具有優(yōu)勢，且受信號長短約束較?。?0-11］，只要目標信號的長度包含一個周期即可準確拓延。

圖4　信號IMF分量的拓延對比Fig.4 The contrast of IMFs with signal extending

5 工程信號分析

實際工程中遇到的機械振動信號往往會體現(xiàn)出一定的周期性，但局部又存在很強的隨機性，為證明所提出方法的可靠性，與相關EMD端點效應進行了對比試驗，以實際軸承故障信號為研究對象，所用工程信號數(shù)據(jù)來自美國Case Western Reserve University電氣工程實驗室的滾動軸承故障數(shù)據(jù)庫。

軸承型號和實驗參數(shù)列于表1中，其中軸承損傷通過電火花加工在其外圈、內(nèi)圈和轉子上。圖5為實驗裝置，滾動軸承安裝在馬達驅動的旋轉機械系統(tǒng)上，將振動加速度傳感器垂直固定在感應電機驅動端支撐軸承上方機殼進行數(shù)據(jù)采集。

表1　實驗參數(shù)Tab.1 Experimental parameters

圖5　實驗裝置Fig.5 Experimental device

5.1工程信號對比分析

對正常工作狀態(tài)下軸承信號進行拓延與EMD分解，圖6對比了抑制端點效應前后效果。圖6（a）是不經(jīng)端點效應抑制而直接得到的IMF分量；圖6（b）是按文中方法處理后的結果，發(fā)現(xiàn)圖6（a）中高頻分量IMF2和IMF4分量的兩端產(chǎn)生了明顯發(fā)散現(xiàn)象，圖6（b）中相應位置的發(fā)散現(xiàn)象則得到了很好的抑制。

圖6　正常軸承的EMD分解結果Fig.6 The decomposition result of normal bearing

為證明筆者所提出方法的正確性，將其與鏡像拓延、ARMA預測拓延、SVM信號預測等幾類常見方法進行了對比。為了評估端點效應對IMF的影響程度，采用一種基于能量的評價指標［5］。先計算原信號和各個IMF的均方根有效值RMS，如式（5）

其中：RMS為信號有效值；s（i）為信號序列；n為信號采樣點數(shù)。

計算各個IMF分量有效值RMSi與原信號有效值RMSre，計算其評價指標θi，如式（6）所示

其中：θi為第i個IMF的評價指標，

若端點效應對EMD沒有影響，則θi=0；θi越大說明端點效應對該IMF影響越大。

對于實際工程信號而言，不可絕對準確地獲得其IMF真實分量，故先將整個較長的原始信號進行EMD分解，在截取其中一段采樣長度1 024的信號作為研究對象，將原始信號各IMF分量與之對應部分作為其近似真實IMF分量。

表2　評價指標的對比分析（％）Tab.2 Comparative analysis of evaluation indicator（％）

表2中記錄了ARMA模型預測信號、鏡像拓延、BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測信號三種較為常見的EMD端點效應抑制方法，通過計算各個方法獲取分量IMF1-7的評價指標θi，與筆者所提方法進行對比。

對比高頻分量IMF1-3，發(fā)現(xiàn)各類方法都可以起到較好的端點效應抑制效果，相應的有效值評價指標θi在10％～20％的范圍內(nèi)，認為與真實信號相似度較高，各類方法差異不大，這與端點效應本身易于影響低頻分量，對高頻分量影響小有直接關系［5，7］。

相對而言，在低頻分量IMF4-7中端點效應雖經(jīng)過抑制但依然明顯：ARMA模型的IMF7分量高達64％，低頻分量IMF5-7失真較平均接近40％；鏡像拓延與BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測的結果中，近一半低頻分量的θi值接近40％；而筆者提出方法各個低頻分量的有效值評價指標最佳，其中IMF5-7均得到了最小的θi值且整體均值最小，故認為本方法失真度低，穩(wěn)定性較好。此外，類似BP神經(jīng)網(wǎng)絡及相關方法，需要訓練網(wǎng)絡，對于工程信號而言，訓練復雜度高，計算耗時長于本方法；類似筆者直接通過計算特征拓延的方法具有很強的普遍適用性。

5.2故障分類應用

通過實現(xiàn)軸承故障分類應用，驗證提出方法的可行性和正確性：對軸承加速度信號進行拓延，將拓延信號進行EMD分解與HHT變換，依靠變換后所提取的特征集，進行聚類分析。實驗選取了軸承的4種狀態(tài)數(shù)據(jù)：a.正常；b.內(nèi)圈故障；c.滾動體故障；d.外圈故障。按照表3計算IMF分量與其對應瞬時頻率的統(tǒng)計特征值，重新進行聚類分析。圖7是經(jīng)過PCA聚類得到的結果，選取前兩個主元，累積貢獻率為99.83％。從圖7中可見經(jīng)過EMD與H HT變換所獲取的基本統(tǒng)計特征集對于滾子故障有著較好的區(qū)分效果。

表3　所選取特征Tab.3 The selected features

圖7　軸承故障PCA聚類結果Fig.7 The PCA clustering results of bearing failure

為準確評估分類效果，進行K均值聚類分析，選取每類軸承樣本30個，共計120個，進行均值聚類，結果如圖8所示。只有一個樣本判斷錯誤，其余全部正確聚類，結合本方法提取EMD特征能夠準確實現(xiàn)軸承故障分類。

圖8　K均值聚類結果Fig.8 The K-means clustering results of bearing failure

6 結 論

1）對仿真信號和工程信號進行了分析，相對于其他端點效應處理方法，極值符號序列分析同時對周期信號可實現(xiàn)無誤差準確拓延；對非周期信號都有著很好地拓延效果，可有效抑制信號的發(fā)散現(xiàn)象，保持各個IMF分量不失真；試驗驗證了該方法對于各類信號有著較強的普適性。

2）通過與ARMA、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、鏡像拓延等常見方法對比，以各個IMF分量的有效值特征為評價標準，驗證了筆者方法對低頻分量處理的優(yōu)越性；對實際工程信號進行分析，并提取EMD與H HT的相關特征集，實現(xiàn)了滾動軸承故障的準確聚類。

本方法重點考慮了信號的極值變化規(guī)律，同時適用于周期信號與非周期工程信號，可為EMD與H HT相關研究及應用的正確性提供新方法和保證。

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TH17；TH165+.3

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.030

徐卓飛，男，1985年12月生，博士生。主要研究方向為機械工程及精密儀器設計。曾發(fā)表《A method for the fault prediction of printing press based on statistcal process control of registration accuracy》（《Journal of Information and computational Science》2013，Vol.10，No.17）論文。

E-mail：xzf-34216606@163.com

*國家自然科學基金資助項目（51275406，51305340）；陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目（2013JM7009）；陜西省教育廳科學研究計劃資助項目（2013JK1030）

2013-11-23；

2014-09-03